Dynamika
Moment bezwładności
Masa i moment bezwładności
W ruchu obrotowym bezwładność ciała zależy nie tylko od jego masy,
ale także od jej rozkładu przestrzennego
Opisując ruch ciał, uwzględniamy ich masy oraz działające na nie siły
Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności
Masa jest wielkością charakteryzującą bezwładność ciała lub jego
oddziaływanie z polem grawitacyjnym
- dla punktu materialnego o masie m
I = mr2
Masa bezwładna jest miarą bezwładności ciała tzn. oporu jaki ciało
oddalonego o r od osi obrotu
stawia sile zmieniajÄ…cej stan jego ruchu
n
I = ri2
- dla układu punktów materialnych
"mi
Środek masy układu punktów materialnych
i=1
i=n
i=n
r 1 r
czyli masa wszystkich punktów
rsm = ri gdzie
m =
"mi "mi m
n
m
i=1 2
i=1
I = lim0 iri2 = dm
- dla bryły sztywnej o masie m
""m
+"r
"mi
i=1
n " 0
Momenty bezwładności wybranych brył
Przykład: jeżeli punkty rozłożone są wzdłuż osi x to położenie środka masy
określamy jako położenie na osi x i=n
1
xśm = xi
"mi
m
i=1
Dla dwóch punktów o masach m1 i
m2 (patrz rysunek obok) środek
masy obliczamy następująco
m1x1 + m2x2
xśm =
m1 + m2
Środek masy bryły sztywnej
Rozpatrzmy ciało sztywne o ciągłym rozkładzie masy
n "
m
n
n
n
r 1 r 1 r
m = lim0 =
""mi
+"dm
rsm = lim0 "mi = dm
"mi
"ri
+"r
i=1
"mi
0
m m
i=1
0
masa ciała
Twierdzenie Steinera Pęd i moment pędu
r r
Pęd cząstki o masie m i prędkości v
p = mv
oÅ› obrotu
nowa oÅ› obrotu
przechodzÄ…ca przez
równoległa do
n n
r r r
środek masy bryły
poprzedniej osi
Pęd układu n cząstek
p = pi = vi
" "mi
i=1 i=1
d
n n
Pęd całkowity możemy wyrazić jako
r r
iloczyn wypadkowej masy oraz
rsm = ri
"mi "mi
prędkości środka masy tego układu
i=1 i=1
r r
n
d rsm n d ri
=
Różniczkując otrzymujemy
"mi "mi
dt dt
i=1 i=1
środek masy
2
n
bryły
I = I0 + md
Zakładając, że masa całkowita układu jest sumą mas
= m
"mi
poszczególnych cząstek otrzymujemy
i=1
I  moment bezwładności bryły względem
I0  moment bezwładności
n
nowej osi
r r r
względem osi przechodzącej przez
mvsm = vi = p
d  odległość między dwiema osiami
środek masy "mi
i=1
m  masa bryły
Siła i moment siły r
r r
Moment pędu cząstki o pędzie p której
L = r × p
położenie określa wektor r
Siły występujące w mechanice klasycznej zwykle maja naturę
grawitacyjnÄ… lub elektromagnetycznÄ….
n n
r r
r r
Nie będziemy teraz wnikać w makroskopową naturę sił,
Dla układu n cząstek
L = = × pi )
"Li "(ri
lecz skupimy się na skutkach spowodowanych ich działaniem.
i=1 i=1
Bezpośrednim skutkiem działania siły F na
r r
r r
r
r
Dla bryły sztywnej
ciało o masie m jest nadanie temu ciału
L = =É = ÉI
[1N=1kg·m/s2]
F = ma "Li "Ii
przyspieszenia
i i
W najbardziej ogólnym przypadku, gdy moment pędu i prędkość kątowa nie
W ruchu obrotowym odpowiednikiem siły
r r
r
moment bezwładności jest tensorem
są współliniowe (kolinearne)
[1N·m=1kg·m2/s2]
jest moment siły, który dla cząstki
M = r × F
znajdującej się w odległości r od
r r r
r r
nieruchomej osi obrotu definiujemy jako
L = IĆÉ
M = r Å" F sin Ä…
r r
r r
Dla bryły sztywnej
M =
"M = µ"I = I µ
i i
i i
Jeżeli ciało nie stanowi masy punktowej tylko ciało rozciągłe lub stanowi zbiór
Zasady dynamiki
punktów materialnych to II zasadę dynamiki można zapisać następująco
Dynamika opiera się na trzech zasadach sformułowanych przez Newtona w r
r
1686 r. w dziele:  Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Fwyp = muaśm
I zasada (zasada bezwładności)
gdzie mu jest masą układu a aśm jest przyspieszeniem środka masy.
Przykłady
Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub wypadkowa działających sił równa
się zeru, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym.
Komentarz
To czy ciało pozostaje w spoczynku czy porusza się ruchem jednostajnym
uzależnione jest od układu odniesienia lub tego co się wcześniej działo z ciałem.
I zasada dynamiki innymi słowami
Jeżeli wypadkowa sił działających na ciało jest równa zeru, to nie może zmienić
się jego prędkość, czyli nie może przyspieszyć.
Ruch rzuconej piłki baseballowej (masy Ruch rzuconego kija baseballowego
pseudo-punktowej)
II zasada (równanie ruchu)
Åšrodek masy racy po eksplozji porusza
r
siÄ™ nadal po tym samym torze
Jeżeli na ciało o masie m F
działa niezrównoważona siła to porusza się ono
ruchem jednostajnie przyspieszonym wzdłuż kierunku działania siły.
r
Przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do działającej siły i odwrotnie
a
proporcjonalne do masy ciała.
r
r
F = ma
r r
v
r
v dv d(mv) dp
F = ma = m = =
dt dt dt
Postać uogólniona II zasady dynamiki
Siła działająca na ciało jest równa pochodnej pędu względem czasu.
r
r
dp
Skok  grand jete . Tancerka zmienia położenie środka ciężkości w trakcie
F =
skoku, aby uzyskać efekt  płynięcia nad sceną.
dt
Przykłady powszechnie występujących sił
Siła ciężkości
r
Siła ciężkości (ciężar)  siła przyciągania grawitacyjnego wywierana na ciało o
Fg
masie m przez Ziemię w jej pobliżu.
r
r
Fg = mg
r
- przyspieszenie ziemskie
g
III zasada (zasada akcji i reakcji)
Rozkład siły ciężkości na równi pochyłej + inne siły na równi
r
r
FAB
Jeżeli na ciało A działa ciało B pewną siłą , to ciało B działa na A siłą r
FBA r
r
R
równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowaną.
Fg = mg
r r
Fs = Fg sinÄ…
r
r r
r r
T
FAB = -FBA
FN = Fg cosÄ…
r
r r
Fs
R = -FN
II zasada dynamiki innymi słowami
Ä…
r r
Względem każdego działania (akcji) istnieje równe mu przeciwdziałanie (reakcja)
T = ź FN
skierowane przeciwnie, tj. wzajemne działania dwóch ciał są zawsze równe sobie
r
Ä…
i skierowane przeciwnie.
FN
r
Ä…
Przykłady
Fg
Fg - siła ciężkości, Fs  siła styczna do toru, FN  siła normalna do toru (siła
nacisku), R  siła reakcji podłoża, T- siła tarcia, ź - współczynnik tarcia
Siły tarcia
Tarcie statyczne charakteryzuje siła tarcia działająca między nieruchomymi
powierzchniami
fs współczynnik tarcia statycznego  stosunek maksymalnej
źs =
FN siły fs do siły nacisku FN
Tarcie kinetyczne charakteryzuje siła tarcia działająca między
poruszającymi się względem siebie powierzchniami
fk współczynnik tarcia kinetycznego  stosunek siły fk do siły
Mechanizm tarcia poślizgowego.
źk =
a) Powierzchnia górna ślizga się po dolnej w
FN nacisku FN
prawÄ… stronÄ™.
b) Obraz powiększony pokazujący miejsca w
których doszło do  zespawania na zimno
Przykład
Współczynnik tarcia statycznego między jajkiem a patelnią pokrytą teflonem
wynosi 0,04 a między butami do wspinaczki a skałą może wynosić nawet 1,2.
Siły tarcia zależą od siły nacisku, nie zależą od wielkości powierzchni styku i
w przypadku tarcia kinetycznego od prędkości !!!
Praca, moc i energia
Siła, która przeciwstawia się ruchowi ciała
Praca
nazywana jest siłą tarcia. Jest styczna do
Praca W jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana na drodze
podłoża.
działania na ciało siłą. Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest
dodatnia, a gdy energia jest ciału odebrana, praca jest ujemna.
r
r
Na ciało działa stała siła F , przemieszczając je na drodze
"r
r
r
F
F sinÄ…
r
F cosÄ…
Ä…
r
"r
r
wartość siły F potrzebnej do poruszenia
Praca wykonana przez stałą siłę F
klocka
r r
r r
"W = F Å" "r = F "r cos "(F, "r )
[1J = 1NÅ"m]
r
r
F (r )
Praca zmiennej siły działającej na drodze od punktu A do punktu B
Moc
Szybkość z jaką siła wykonuje pracę, czyli pracę wykonywana w jednostce
Elementarna praca wykonana przez
r
r czasu nazywamy mocÄ….
r
B
r
"ri
siłę Fi na drodze
Fi(ri )
r r
r
r
r
F1(r1)
Moc chwilowa
"ri "Wi = Fi Å" "ri = Fi "ri cosÄ…i Moc Å›rednia
r
"r1
Ä…i
"W "W dW
n n
r
Ä…1 r
Pśr = P = lim =
WAB H" = Fi Å" "ri
""Wi "
"t0
"t "t dt
i=1 i=1
A
Zauważmy, że przy stałej sile moc jest równa iloczynowi skalarnemu
wektorów siły i prędkości
Jeśli długości elementarnych przesunięć "ri będą dążyć do zera, wówczas
r
r r
d r r
P = F Å" = F Å"v
[1W = J/s]
B
n
r r dt
r r r
WAB a" lim0 Fi Å" "ri a" F(r )Å" dr
"ri
i=1
A
Energia kinetyczna
Przykład
Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach jest równe polu powierzchni pod
krzywą F(x) i jest równe pracy wykonanej przez tę siłę na drodze od xpocz do
Energia kinetyczna EK jest to energia związana ze stanem ruchu ciała. Im
szybciej ciało się porusza, tym większa jest jego energia kinetyczna. Jeżeli
xkońc.
ciało pozostaje w spoczynku, jego energia jest równa zeru.
Załóżmy, że na ciało o stałej masie m działa siła zachowawcza F, nadając mu
przyspieszenie a
r
= 0°
F
r
a =
m
Wykonana praca jest więc równa
Energia potencjalna
b b b v
r
r r r dv dr
Energia zależna w sposób jawny od położenia ciała nazywana jest energią
W = F Å" dr = ma Å" dr = m Å" dr =m Å" dv =
potencjalnÄ….
dt dt
a a a v0
v
v
2
v2 mv2 mv0
= m vdv = m = - = Ek - Ek 0
2 2 2 r
r
v0
v0
Fg = mg
h
Energię kinetyczną ciała w ruchu postępowym możemy zapisać następującym
równaniem
mv2
Ek =
2
Energia potencjalna dla ciała o masie m
Ep = mgh
znajdującego się na wysokości h nad
Wyrażenie W = Ek - Ek 0 nazywamy twierdzeniem o pracy i energii ciała
powierzchnią Ziemi (w jej pobliżu)
Energia potencjalna sprężystości
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
Siła sprężystości
Energia kinetyczna ruchu obrotowego zależy
r
r
IÉ2 od momentu bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚a I i prÄ™dkoÅ›ci
F = -kx
Eko =
2
kÄ…towej É
współczynnik sprężystości
Działamy siłą zewnętrzną F równoważącą siłę
W przypadku złożenia ruchu postępowego i obrotowego (toczenia się ciała)
r
sprężystości. Przez A oznaczymy maksymalne
x
energia kinetyczna jest sumą energii ruchu postępowego i obrotowego.
wychylenie czyli xmax=A
b= A AA
r
v
o
r
É
W = F Å" dx = xdx =
+"+"(kxcos0 )dx = k+"
v
a=00 0
A
r
x2 kA2
x
= k =
2 2
0
Wykonana praca została zmagazynowana w
mv2 IÉ2
postaci pewnej energii  energii potencjalnej
Ek = +
sprężystości
2 2