WYMAGANI A EGZAMI NACYJNE %
I. Wymagania egzaminacyjne1
Standardy wymagał
egzaminacyjnych
Standardy wymagał
, b´dÄ…ce podstawÄ… przeprowadzania egzaminu maturalnego z matematyki,
obejmujÄ… trzy obszary:
I. WiadomoĘci i rozumienie
II. Korzystanie z informacji
III. Tworzenie informacji.
W ramach kaŻdego obszaru cyframi arabskimi i literami oznaczono poszczególne standardy wynika-
jÄ…ce z Podstawy programowej.
PrzedstawiajÄ… one:
 zakres treĘci nauczania, na podstawie których moÅ»e byç podczas egzaminu sprawdzany stopieÅ‚

opanowania okreĘlonej w standardzie umiej´tnoĘci,
 rodzaje informacji do wykorzystywania,
 typy i rodzaje informacji do tworzenia.
Schemat ten dotyczy poziomu podstawowego i rozszerzonego.
Przedstawione poniŻej standardy wymagał
egzaminacyjnych sÄ… dos"ownym przeniesieniem frag-
mentu rozporzÄ…dzenia Ministra Edukacji Narodowej i Sportu z dnia 10 kwietnia 2003 r. zmieniajÄ…ce-
go rozporządzenie w sprawie standardów wymagał
b´dÄ…cych podstawÄ… przeprowadzania spraw-
dzianów i egzaminów.
I. WiadomoĘci i rozumienie
ZdajÄ…cy wie, zna i rozumie:
Poziom podstawowy Poziom rozszerzony
1) liczby i ich zbiory: 1) jak na poziomie podstawowym oraz:
a) co to jest zbiór, suma, iloczyn i róŻnica zbio- a) zasad´ indukcji matematycznej,
rów, b) metody rozwiÄ…zywania i interpretacj´ geo-
b) podstawowe prawa rachunku zdał
, metryczną równał
i nierównoĘci z warto-
c) co to jest zbiór liczb rzeczywistych i jego ĘciÄ… bezwzgl´dnÄ…,
podzbiory, liczby naturalne (liczby pierw- c) prawa dzia"ał
na pot´gach o wyk"adniku
sze), liczby ca"kowite, wymierne i niewy- rzeczywistym,
mierne, rozwini´cie dziesi´tne liczby rze-
czywistej,
1 Cytat za: Informator maturalny od 2005 roku z matematyki, Warszawa 2003.
www. operon. pl
5
 % WYMAGANI A EGZAMI NACYJNE
d) prawa dotyczące dzia"ał
arytmetycznych
na liczbach rzeczywistych,
e) definicj´ pot´gi o wyk"adniku wymiernym
oraz prawa dzia"ał
na pot´gach o wyk"adni-
ku wymiernym,
f) co to jest oĘ liczbowa i co to jest uk"ad
wspó"rz´dnych na p"aszczynie,
g) definicj´ przedzia"u liczbowego na osi oraz
definicj´ sumy, iloczynu i róŻnicy przedzia"ów,
h) definicj´ wartoĘci bezwzgl´dnej liczby rze-
czywistej i jej interpretacj´ geometrycznÄ…,
i) poj´cie b"´du przybliÅ»enia oraz zasady sza-
cowania wartoĘci liczbowych,
j) co to jest procent i jak wykonuje si´ obli-
czenia procentowe,
2) funkcje i ich w"asnoĘci: 2) jak na poziomie podstawowym oraz:
a) definicj´ funkcji oraz definicj´ wykresu a) definicj´ i w"asnoĘci funkcji róŻnowartoĘciowej,
funkcji liczbowej, b) definicj´ i w"asnoĘci funkcji parzystej, nie-
b) poj´cia: dziedzina funkcji, miejsce zerowe, parzystej i okresowej,
zbiór wartoĘci, wartoĘç najmniejsza i naj- c) definicj´ przekszta"cenia wykresu funkcji
wi´ksza funkcji w danym przedziale, mono- przez zamian´ skali i przez symetri´ wzgl´-
tonicznoĘç funkcji, dem osi,
c) jak wykonaç przesuni´cia wykresu funkcji
wzd"uÅ» osi x oraz osi y,
3) wielomiany i funkcje wymierne: 3) jak na poziomie podstawowym oraz:
a) definicj´ i w"asnoĘci funkcji liniowej, a) wzory Viéte'a,
b) definicj´ i w"asnoĘci funkcji kwadratowej, b) sposoby rozwiÄ…zywania równaÅ‚
i nierówno-
jej wykres i miejsca zerowe, Ęci kwadratowych z parametrem,
c) definicj´ wielomianu i prawa dotyczÄ…ce c) definicj´ funkcji wymiernej oraz metody
dzia"ał
na wielomianach: dodawanie, odej- rozwiązywania równał
i nierównoĘci wy-
mowanie, mnoŻenie i dzielenie, miernych,
d) sposoby rozk"adu wielomianu na czynniki, d) co to jest dwumian Newtona,
e) twierdzenie Bézouta,
f) definicj´ funkcji homograficznej i jej w"asnoĘci,
g) zasady wykonywania dzia"ał
na wyraŻe-
niach wymiernych,
h) sposoby rozwiązywania równał
wielomia-
nowych oraz równał
i nierównoĘci z funk-
cjÄ… homograficznÄ…,
4) funkcj´ wyk"adniczÄ… i logarytmicznÄ…:
a) definicje, w"asnoĘci i wykresy funkcji loga-
rytmicznej i wyk"adniczej,
b) metody rozwiązywania równał
i nierówno-
Ęci wyk"adniczych i logarytmicznych,
4) funkcje trygonometryczne: 5) jak na poziomie podstawowym oraz:
a) definicje funkcji trygonometrycznych kÄ…ta a) wzory redukcyjne,
ostrego w trójkącie prostokątnym, b) sposoby rozwiązywania równał
trygono-
b) poj´cie miary "ukowej kÄ…ta oraz definicje, metrycznych,
w"asnoĘci i wykresy funkcji trygonome-
trycznych dowolnego kÄ…ta,
c) co to są toŻsamoĘci trygonometryczne,
5) ciÄ…gi liczbowe: 6) jak na poziomie podstawowym oraz:
a) definicj´ ciÄ…gu liczbowego, a) przyk"ady ciÄ…gów zdefiniowanych rekurencyjnie,
b) definicj´ ciÄ…gu arytmetycznego i geome- b) definicj´ granicy ciÄ…gu liczbowego oraz
trycznego, wzór na n-ty wyraz, wzór na su- sposoby obliczania granic ciągów,
m´ n poczÄ…tkowych wyrazów ciÄ…gu aryt- c) poj´cie sumy szeregu geometrycznego,
metycznego i geometrycznego,
www. operon. pl
6
STANDARDY WYMAGAÄ„ EGZAMI NACYJNYCH %
c) co to jest procent sk"adany, oprocentowa-
nie lokat i kredytów,
7) ciÄ…g"oĘç i pochodnÄ… funkcji:
a) poj´cie funkcji ciÄ…g"ej,
b) poj´cie pochodnej, jej interpretacj´ geome-
trycznÄ… i fizycznÄ…,
c) wzory do obliczania pochodnych wielomia-
nów i funkcji wymiernych,
d) zwiÄ…zek pochodnej z istnieniem ekstremum
i z monotonicznoĘcią funkcji,
6) planimetri´: 8) jak na poziomie podstawowym oraz:
a) w"asnoĘci czworokątów wypuk"ych, twier- a) twierdzenie sinusów i cosinusów,
dzenie o okr´gu wpisanym w czworokÄ…t b) poj´cia: symetria osiowa, przesuni´cie, ob-
i okr´gu opisanym na czworokÄ…cie, rót, symetria Ęrodkowa oraz w"asnoĘci tych
b) związki miarowe w figurach p"askich z za- przekszta"ceł
,
stosowaniem trygonometrii, c) definicj´ wektora, sumy wektorów i iloczy-
c) poj´cie osi symetrii i Ęrodka symetrii figury, nu wektora przez liczb´,
d) twierdzenie Talesa i jego zwiÄ…zek z podo- d) definicj´ i w"asnoĘci jednok"adnoĘci,
bieł
stwem,
e) cechy podobieł
stwa trójkątów,
7) geometri´ analitycznÄ…: 9) jak na poziomie podstawowym oraz:
a) róŻne typy równania prostej na p"aszczyÄ™nie a) równanie okr´gu i nierównoĘç opisujÄ…cÄ… ko"o,
oraz opis pó"p"aszczyzny za pomocÄ… nierów- b) wzajemne po"oÅ»enie prostej i okr´gu oraz
noĘci, pary okr´gów na p"aszczyÄ™nie,
b) poj´cie odleg"oĘci na p"aszczyÄ™nie karte-
zjał
skiej,
8) stereometri´: 10) jak na poziomie podstawowym oraz:
a) rozróŻnia: graniastos"upy, ostros"upy, walce, a) co to są przekroje p"askie graniastos"upów
stoŻki i kule, i ostros"upów,
b) poj´cie kÄ…ta nachylenia prostej do p"aszczy- b) poj´cie wieloĘcianu foremnego,
zny i kąta dwuĘciennego,
c) zwiÄ…zki miarowe w bry"ach z zastosowa-
niem trygonometrii,
9) rachunek prawdopodobieł
stwa: 11) jak na poziomie podstawowym oraz:
a) poj´cia kombinatoryczne: permutacje, kom- a) poj´cie prawdopodobieÅ‚
stwa warunkowe-
binacje, wariacje z powtórzeniami i bez po- go oraz twierdzenie o prawdopodobieł
-
wtórzeł
, stwie ca"kowitym,
b) poj´cie prawdopodobieÅ‚
stwa i jego w"asno- b) co to są zdarzenia niezaleŻne,
Ęci, c) schemat Bernoulliego.
c) elementy statystyki opisowej: Ęrednia aryt-
metyczna, Ęrednia waŻona, mediana, wa-
riancja i odchylenie standardowe (liczone
z próby).
www. operon. pl
7
 % WYMAGANI A EGZAMI NACYJNE
II. Korzystanie z informacji
ZdajÄ…cy wykorzystuje i przetwarza informacje:
Poziom podstawowy Poziom rozszerzony
1) umie poprawnie interpretowaç tekst matema- 1) jak na poziomie podstawowym,
tyczny:
a) stosuje podanÄ… definicj´, twierdzenie lub
wzór do rozwiązania problemu matema-
tycznego,
b) stosuje przedstawiony algorytm do rozwiÄ…-
zania problemu praktycznego lub teore-
tycznego,
2) posiada wiedz´ i sprawnoĘç w zakresie roz- 2) jak na poziomie podstawowym oraz zapisuje
wiązywania zadał
matematycznych: proste zaleŻnoĘci i formu"uje wnioski wynika-
a) pos"uguje si´ znanÄ… definicjÄ… lub twierdze- jÄ…ce z podanych zapisów matematycznych.
niem,
b) odczytuje informacje iloĘciowe oraz jako-
Ęciowe z tabel, diagramów i wykresów,
c) pos"uguje si´ odpowiednimi miarami oraz
przybliÅ»eniami dziesi´tnymi liczb rzeczywi-
stych, stosuje zapis funkcyjny.
III. Tworzenie informacji
ZdajÄ…cy rozwiÄ…zuje problemy:
Poziom podstawowy Poziom rozszerzony
1) analizuje sytuacje problemowe: 1) jak na poziomie podstawowym oraz interpre-
a) podaje opis matematyczny danej sytuacji tuje jakoĘciowo informacje przedstawione
(takŻe praktycznej) w postaci wyraŻenia al- w formie tabel, diagramów, wykresów, ustala
gebraicznego, funkcji, równania, nierówno- zaleÅ»noĘci mi´dzy nimi i wykorzystuje je
Ęci, przekszta"cenia geometrycznego i wy- do analizy sytuacji problemowych i rozwiązy-
korzystuje go do rozwiązania problemu, wania problemów,
b) dobiera odpowiedni algorytm do wskazanej
sytuacji problemowej i ocenia przydatnoĘç
otrzymanych wyników,
c) przetwarza informacje przedstawione w po-
staci wyraŻenia algebraicznego, równania,
wzoru, wykresu funkcji lub opisu s"ownego
w innÄ… postaç u"atwiajÄ…cÄ… rozwiÄ…zanie pro-
blemu,
d) stosuje definicje i twierdzenia do rozwiÄ…zy-
wania problemów,
2) potrafi argumentowaç i prowadzi rozumowa- 2) jak na poziomie podstawowym oraz przepro-
nie typu matematycznego: wadza dowód twierdzenia.
a) interpretuje treĘç zadania, zapisuje warunki
i zaleÅ»noĘci mi´dzy obiektami matematycz-
nymi, analizuje i interpretuje otrzymane
wyniki,
b) formu"uje i uzasadnia wnioski oraz opisuje
je w sposób czytelny i poprawny j´zykowo.
www. operon. pl
8
OPI S WYMAGAÄ„ EGZAMI NACYJNYCH %
Opis wymagał
egzaminacyjnych
Uwaga: tekst pisany pogrubionÄ… kursywÄ… dotyczy wiadomoĘci i umiej´tnoĘci wymaganych na pozio-
mie rozszerzonym.
Opis wymagał

Dzia"
ZdajÄ…cy zna: ZdajÄ…cy potrafi:
1. Zbiory; suma, iloczyn, róŻ- a) wyznaczaç: sum´, iloczyn, róŻnic´ zbiorów,
nica zbiorów. Podstawo- b) wyznaczaç dope"nienie zbioru,
we poj´cia rachunku c) stosowaç w"asnoĘci dzia"aÅ‚
na zbiorach,
zdał
. d) stosowaç j´zyk matematyki w zapisie rozwiÄ…zaÅ‚
zadał
,
e) stosowaç alternatyw´, koniunkcj´, implikacj´, równowaÅ»-
noĘç zdaÅ‚
oraz zaprzeczenie zdania,
f) stosowaç prawa logiczne w dowodzeniu twierdzeÅ‚
;
2. Zbiór liczb rzeczywistych a) planowaç i wykonywaç obliczenia,
i jego podzbiory: liczby na- b) porównywaç liczby wymierne, rzeczywiste,
turalne (liczby pierwsze), c) przedstawiaç liczby wymierne w róŻnych postaciach
liczby ca"kowite, wymier- (u"amek zwyk"y, u"amek dziesi´tny),
ne i niewymierne. Rozwi- d) usuwaç niewymiernoĘç z mianownika u"amka,
ni´cie dziesi´tne liczby e) wyznaczaç przybliÅ»enia dziesi´tne danej liczby
rzeczywistej. rzeczywistej z zadaną dok"adnoĘcią (równieŻ z uŻyciem
kalkulatora),
f) wykonywaç dzia"ania na wyraÅ»eniach algebraicznych
(w tym stosowaç wzory skróconego mnoÅ»enia, równieÅ» na
szeĘcian sumy i róŻnicy oraz sum´ i róŻnic´ szeĘcianów);
3. Dzia"ania na pot´gach. wykonywaç dzia"ania na pot´gach o wyk"adnikach
Pot´ga o wyk"adniku wy- ca"kowitych i wymiernych;
miernym.
4. OĘ liczbowa. Przedzia"y a) zapisywaç za pomocÄ… przedzia"ów zbiory opisane
na osi liczbowej. Sumy nierównoĘciami,
przedzia"ów; iloczyny b) wyznaczaç sum´, iloczyn, róŻnic´, dope"nienie
i róŻnice takich zbiorów. przedzia"ów liczbowych oraz innych podzbiorów zbioru
liczb rzeczywistych;
5. WartoĘç bezwzgl´dna licz- a) obliczaç wartoĘç bezwzgl´dnÄ… liczby,
by rzeczywistej. Interpre- b) zaznaczaç na osi liczbowej zbiory opisane za pomocÄ…
tacja geometryczna. równał
i nierównoĘci z wartoĘciÄ… bezwzgl´dnÄ… typu:
x - a = b, x - a < b, x - a > b,
c) obliczaç odleg"oĘç punktów na osi liczbowej;
6. Poj´cie b"´du przybliÅ»enia. a) szacowaç wyniki obliczeÅ‚
z zadaną dok"adnoĘcią,
Szacowanie wartoĘci licz- b) wyznaczaç b"Ä…d wzgl´dny i bezwzgl´dny,
bowych. Obliczenia pro- c) pos"ugiwaç si´ procentem w rozwiÄ…zywaniu zadaÅ‚
,
centowe. d) porównywaç wielkoĘci;
7. Indukcja matematyczna. stosowaç zasad´ indukcji matematycznej w dowodzeniu
twierdzeł
;
8. Równania i nierównoĘci a) rozwiÄ…zywaç równania, nierównoĘci i uk"ady równaÅ‚
li-
z wartoĘciÄ… bezwzgl´dnÄ… niowych z wartoĘciÄ… bezwzgl´dnÄ…,
i ich interpretacja geo- b) stosowaç definicj´ wartoĘci bezwzgl´dnej liczby rzeczy-
metryczna.
wistej i jej w"asnoĘci (np.: -x = x , x H 0, xy = x $ y )
w rozwiązywaniu zadał
;
www. operon. pl
9
I. Liczby i ich zbiory
 % WYMAGANI A EGZAMI NACYJNE
Opis wymagał

Dzia"
ZdajÄ…cy zna: ZdajÄ…cy potrafi:
1. Poj´cie funkcji. Wykres a) podawaç przyk"ady funkcji,
funkcji liczbowej. b) okreĘlaç funkcj´ wzorem, tabelkÄ…, wykresem, grafem,
opisem s"ownym,
c) wyznaczaç wartoĘç funkcji dla danego argumentu,
d) szkicowaç wykres funkcji okreĘlonej: grafem, tabelkÄ…,
wzorem, s"ownie;
2. Wyznaczanie dziedziny a) okreĘlaç z wykresu:
funkcji, jej miejsc zero- " dziedzin´ funkcji,
wych, zbioru wartoĘci, " zbiór wartoĘci funkcji,
wartoĘci najwi´kszej i naj- " wartoĘç funkcji, majÄ…c dany argument,
mniejszej w danym prze- " argument, majÄ…c danÄ… wartoĘç funkcji,
dziale, przedzia"ów mono- " miejsca zerowe funkcji,
tonicznoĘci. " przedzia"y monotonicznoĘci funkcji,
" zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje warto-
Ęci dodatnie (ujemne),
" najmniejszÄ… i najwi´kszÄ… wartoĘç funkcji,
b) wyznaczaç dziedzin´ funkcji okreĘlonej wzorem,
c) badaç monotonicznoĘç funkcji na podstawie definicji;
3. Zastosowania funkcji a) okreĘlaç zaleÅ»noĘç funkcyjnÄ… mi´dzy wielkoĘciami liczbo-
do opisu zaleŻnoĘci wymi,
w przyrodzie, gospodarce b) opisywaç za pomocÄ… funkcji zaleÅ»noĘci w przyrodzie,
i Życiu codziennym. gospodarce i Życiu codziennym,
c) interpretowaç zaleÅ»noĘci funkcyjne na podstawie danego
wzoru;
4. Przesuwanie wykresu a) przesuwaç wykres funkcji wzd"uÅ» osi x lub osi y uk"adu
funkcji wzd"uÅ» osi x i osi y. wspó"rz´dnych,
b) przesuwaç wykres funkcji o dany wektor,
c) zapisywaç wzór funkcji otrzymanej w wyniku przesuni´-
cia o dany wektor;
5. RóŻnowartoĘciowoĘç a) okreĘlaç na podstawie wykresu róŻnowartoĘciowoĘç
funkcji. funkcji,
b) badaç róŻnowartoĘciowoĘç funkcji z wykorzystaniem
definicji;
6. Funkcje parzyste, niepa- a) okreĘlaç na podstawie wykresu parzystoĘç, nieparzystoĘç
rzyste, okresowe. i okresowoĘç funkcji,
b) badaç z wykorzystaniem definicji: parzystoĘç, nieparzy-
stoĘç, okresowoĘç funkcji;
7. Przekszta"canie wykresu a) na podstawie danego wykresu funkcji y = f_xisporzÄ…-
funkcji przez zmian´ skali
dzaç wykresy funkcji:
i przez symetri´ wzgl´-
y =- f_xi, y = f_-xi, y =- f_-xi, y = f_x - ai+ b,
dem osi.
y = k$f_xi, y = f_k$xi, y = f` x j, y = f_xi,
b) zapisywaç wzór funkcji otrzymanej w wyniku danego
przekszta"cenia;
www. operon. pl
10
II. Funkcje i ich w"asnoĘci
OPI S WYMAGAÄ„ EGZAMI NACYJNYCH %
Opis wymagał

Dzia"
ZdajÄ…cy zna: ZdajÄ…cy potrafi:
1. Funkcja liniowa. a) sporzÄ…dzaç wykres funkcji liniowej,
b) podawaç wzór funkcji liniowej o zadanych w"asnoĘciach,
c) rozwiÄ…zywaç równania i nierównoĘci liniowe z jednÄ… nie-
wiadomÄ…,
d) okreĘlaç liczb´ rozwiÄ…zaÅ‚
równania liniowego z jedną nie-
wiadomÄ…,
e) rozwiÄ…zywaç zadania tekstowe prowadzÄ…ce do równaÅ‚

i nierównoĘci liniowych z jedną niewiadomą,
f) rozwiÄ…zywaç algebraicznie i graficznie uk"ady równaÅ‚
li-
niowych z dwiema niewiadomymi,
g) rozwiÄ…zywaç zadania tekstowe prowadzÄ…ce do uk"adów
równał
liniowych z dwiema niewiadomymi,
h) rozwiÄ…zywaç uk"ady trzech równaÅ‚
liniowych z trzema
niewiadomymi,
i) rozwiÄ…zywaç uk"ady dwóch równaÅ‚
liniowych z parame-
trem (w tym okreĘlaç liczb´ rozwiÄ…zaÅ‚
uk"adu w zaleÅ»-
noĘci od parametru);
2. Trójmian kwadratowy i je- a) wyznaczaç miejsca zerowe funkcji kwadratowej,
go pierwiastki. Wykres b) przedstawiaç funkcj´ kwadratowÄ… w róŻnych postaciach:
funkcji kwadratowej. ogólnej, iloczynowej, kanonicznej,
c) sporzÄ…dzaç wykresy funkcji kwadratowych,
d) odczytywaç w"asnoĘci funkcji kwadratowej z jej wykresu,
e) okreĘlaç przedzia"y monotonicznoĘci funkcji kwadratowej,
f) wyznaczaç najwi´kszÄ… i najmniejszÄ… wartoĘç funkcji kwa-
dratowej w przedziale,
g) wykorzystywaç w"asnoĘci funkcji kwadratowej i jej wykre-
su do rozwiązywania zadał
optymalizacyjnych;
3. Rozwiązywanie zadał
pro- a) rozwiÄ…zywaç równania i nierównoĘci kwadratowe z jednÄ…
wadzących do równał
niewiadomÄ…,
i nierównoĘci stopnia dru- b) graficznie rozwiÄ…zywaç równania i nierównoĘci kwadrato-
giego. we z jednÄ… niewiadomÄ…,
c) rozwiÄ…zywaç zadania tekstowe prowadzÄ…ce do równaÅ‚

i nierównoĘci kwadratowych z jedną niewiadomą,
d) stosowaç wzory Viete'a,
e) rozwiÄ…zywaç równania, nierównoĘci i uk"ady równaÅ‚
stop-
nia drugiego z wartoĘciÄ… bezwzgl´dnÄ… lub z parametrem,
f) rozwiÄ…zywaç algebraicznie i graficznie uk"ady równaÅ‚

z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno
jest stopnia drugiego;
4. Wielomiany. Dzia"ania a) rozpoznawaç wielomian jednej zmiennej i okreĘlaç jego
na wielomianach. stopieł
,
b) wykonywaç dzia"ania (dodawanie, odejmowanie, mnoÅ»e-
nie) na wielomianach jednej zmiennej,
c) rozpoznawaç wielomiany równe;
5. Dzielenie wielomianów a) wykonywaç dzielenie wielomianu przez wielomian,
z resztÄ…. Twierdzenie b) sprawdzaç, czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu,
Bézouta. Zastosowanie c) rozk"adaç wielomiany na czynniki mi´dzy innymi z wyko-
do znajdowania pierwiast- rzystaniem twierdzenia Bézouta oraz twierdzenia o wy-
ków wielomianów metodą miernych pierwiastkach wielomianu o wspó"czynnikach
rozk"adania na czynniki. ca"kowitych,
d) rozwiÄ…zywaç równania wielomianowe,
e) okreĘlaç krotnoĘç pierwiastka wielomianu,
f) rozwiÄ…zywaç równania, nierównoĘci wielomianowe
z wartoĘciÄ… bezwzgl´dnÄ… lub z parametrem;
www. operon. pl
11
²%
²%
III. Wielomiany i funkcje wymierne
 % WYMAGANI A EGZAMI NACYJNE
Opis wymagał

Dzia"
ZdajÄ…cy zna: ZdajÄ…cy potrafi:
6. Dzia"ania na wyraÅ»eniach a) okreĘlaç dziedzin´ wyraÅ»enia wymiernego,
wymiernych. Funkcja ho- b) wykonywaç dzia"ania na wyraÅ»eniach wymiernych,
mograficzna. c) okreĘlaç dziedzin´ i zbiór wartoĘci funkcji homograficznej,
d) szkicowaç wykresy funkcji homograficznych,
e) wyznaczaç miejsce zerowe funkcji homograficznej,
f) wyznaczaç przedzia"y monotonicznoĘci funkcji homogra-
ficznej;
7. Rozwiązywanie równał
rozwiÄ…zywaç równania i nierównoĘci zwiÄ…zane z funkcjÄ… ho-
i nierównoĘci z funkcją mograficzną;
homograficznÄ….
8. Definicja funkcji wymier- a) wyznaczaç dziedzin´ funkcji wymiernej,
nej. RozwiÄ…zywanie rów- b) rozwiÄ…zywaç równania i nierównoĘci wymierne,
nał
i nierównoĘci wy- c) rozwiÄ…zywaç równania, nierównoĘci oraz uk"ady równaÅ‚

miernych. i nierównoĘci wymiernych z wartoĘciÄ… bezwzgl´dnÄ… lub
z parametrem;
9. Dwumian Newtona. a) obliczaç wspó"czynniki rozwini´cia dwumianu Newtona,
b) korzystaç z dwumianu Newtona w rozwiÄ…zywaniu zadaÅ‚
;
1. Funkcje trygonometrycz- a) obliczaç wartoĘci funkcji trygonometrycznych kÄ…ta ostre-
ne kÄ…ta ostrego w trójkÄ…- go oraz wyznaczaç miar´ kÄ…ta, gdy dana jest wartoĘç
cie prostokÄ…tnym. funkcji trygonometrycznej tego kÄ…ta,
b) rozwiÄ…zywaç zadania geometryczne z wykorzystaniem
funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie pro-
stokÄ…tnym;
2. Miara "ukowa kÄ…ta. Defini- a) stosowaç miar´ "ukowÄ… i stopniowÄ… kÄ…ta,
cja funkcji trygonome- b) stosowaç definicje funkcji trygonometrycznych dowolne-
trycznych dowolnego kÄ…ta. go kÄ…ta oraz zmiennej rzeczywistej;
3. Wykresy funkcji trygono- szkicowaç wykresy funkcji trygonometrycznych i na podsta-
metrycznych. wie wykresu okreĘlaç ich w"asnoĘci;
4. Najprostsze toÅ»samoĘci a) stosowaç zwiÄ…zki mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi
trygonometryczne. tego samego kąta do dowodzenia toŻsamoĘci trygonome-
2 2
sina
trycznych: sin a+ cos a= 1, tga=
cosa, tga$ctga= 1,
b) stosowaç wzory na funkcje trygonometryczne sumy
i róŻnicy kątów, wzory na sumy i róŻnice funkcji trygo-
nometrycznych, wzory na funkcje trygonometryczne
wielokrotnoĘci kąta;
5. Wzory redukcyjne. stosowaç wzory redukcyjne do przekszta"cania wyraÅ»eÅ‚

trygonometrycznych;
6. Proste równania trygono- rozwiÄ…zywaç równania trygonometryczne (równieÅ» z wy-
metryczne. korzystaniem wzorów wymienionych w pkt 4b i 5a);
www. operon. pl
12
²%
²%
III. Wielomiany i funkcje wymierne
IV. Funkcje trygonometryczne
WYMAGANI A EGZAMI NACYJNE %
Opis wymagał

Dzia"
ZdajÄ…cy zna: ZdajÄ…cy potrafi:
1. Definicja i przyk"ady ciÄ…- a) okreĘlaç ciÄ…g wzorem ogólnym,
gów liczbowych. b) wyznaczaç wyrazy ciÄ…gu okreĘlonego wzorem ogólnym,
c) sporzÄ…dzaç wykres danego ciÄ…gu,
d) podawaç w"asnoĘci ciÄ…gu na podstawie jego wykresu;
2. CiÄ…g arytmetyczny i geo- a) badaç, czy ciÄ…g jest arytmetyczny (geometryczny),
metryczny. Wzór na n-ty b) wyznaczaç ciÄ…g arytmetyczny (geometryczny) na podsta-
wyraz. Wzór na sum´ n wie wskazanych danych,
poczÄ…tkowych wyrazów. c) obliczaç sum´ n kolejnych wyrazów ciÄ…gu arytmetycznego
(geometrycznego),
d) stosowaç w"asnoĘci ciÄ…gu arytmetycznego (geometrycz-
nego) w zadaniach (takŻe tekstowych);
3. Procent sk"adany. Opro- stosowaç procent sk"adany w zadaniach równieÅ» dotyczÄ…-
centowanie lokat i kredy- cych oprocentowania lokat i kredytów;
tów.
4. Przyk"ady ciÄ…gów zdefi- a) okreĘlaç ciÄ…g wzorem rekurencyjnym,
niowanych rekurencyjnie. b) na podstawie okreĘlenia rekurencyjnego ciÄ…gu podawaç
wzór ogólny na n ty wyraz tego ciągu;
5. Poj´cie granicy ciÄ…gu. a) podawaç przyk"ady ciÄ…gów: zbieÅ»nego, rozbieÅ»nego,
Obliczanie granic niektó- b) stosowaç twierdzenia o granicy sumy, róŻnicy, iloczynu
rych ciągów. Suma szere- i ilorazu ciągów zbieŻnych do obliczania granic ciągów,
gu geometrycznego. c) badaç warunek istnienia sumy szeregu geometrycznego,
d) obliczaç sum´ szeregu geometrycznego,
e) zamienia u"amek okresowy na zwyk"y,
f) stosowaç w zadaniach wzór na sum´ szeregu geome-
trycznego;
1. W"asnoĘci czworokÄ…tów a) okreĘlaç w"asnoĘci podstawowych figur p"askich (odcinek,
wypuk"ych. OkrÄ…g wpisany pó"prosta, prosta, kÄ…t, wielokÄ…t, okrÄ…g, ko"o) i pos"ugiwaç
w czworokÄ…t. OkrÄ…g opisa- si´ nimi,
ny na czworokÄ…cie. b) pos"ugiwaç si´ w"asnoĘciami: symetralnej odcinka, dwu-
siecznej kąta, Ęrodkowych boków trójkąta, kątów Ęrodko-
wych i wpisanych w ko"o,
c) korzystaç z w"asnoĘci czworokÄ…tów wypuk"ych opisanych
na okr´gu i wpisanych w okrÄ…g;
2. Wyznaczanie zwiÄ…zków obliczaç obwody i pola podstawowych figur p"askich, mi´dzy
miarowych w figurach innymi z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych;
p"askich z zastosowaniem
trygonometrii.
3. OĘ symetrii i Ęrodek syme- a) rozpoznawaç wielokÄ…ty foremne,
trii figury. b) podawaç przyk"ady figur osiowosymetrycznych oraz Ęrod-
kowosymetrycznych,
c) wyznaczaç oĘ symetrii i Ęrodek symetrii figury;
4. Twierdzenie Talesa i jego a) stosowaç twierdzenie Talesa do rozwiÄ…zywania proble-
związek z podobieł
- mów teoretycznych lub praktycznych,
stwem. Cechy podobieł
- b) rozpoznaç trójkÄ…ty podobne na podstawie cech podobieÅ‚
-
stwa trójkątów. stwa trójkątów,
c) stosowaç cechy podobieÅ‚
stwa trójkątów do rozwiązywa-
nia problemów teoretycznych lub praktycznych;
www. operon. pl
13
²%
²%
V. CiÄ…gi liczbowe
VI. Planimetria
 % WYMAGANI A EGZAMI NACYJNE
Opis wymagał

Dzia"
ZdajÄ…cy zna: ZdajÄ…cy potrafi:
5. Twierdzenie sinusów stosowaç: twierdzenie cosinusów, twierdzenie sinusów,
i twierdzenie cosinusów. związki miarowe w trójkącie oraz funkcje trygonometrycz-
ne do rozwiązywania zadał
matematycznych;
6. Przyk"ady przekszta"ceł
a) stosowaç w"asnoĘci: izometrii (symetrii, obrotu i przesu-
geometrycznych: symetria ni´cia) w rozwiÄ…zywaniu zadaÅ‚
,
osiowa, przesuni´cie, ob- b) stosowaç w"asnoĘci figur przystajÄ…cych w rozwiÄ…zywa-
rót, symetria Ęrodkowa. niu zadał
;
7. Wektory. Dodawanie wek- a) wykonywaç dzia"ania na wektorach (dodawanie, odej-
torów i mnoÅ»enie wektora mowanie, mnoÅ»enie przez liczb´)  w uj´ciu analitycz-
przez liczb´. Jednok"adnoĘç. nym i syntetycznym,
b) znajdowaç obraz figury jednok"adnej do danej,
c) stosowaç w"asnoĘci jednok"adnoĘci i podobieÅ‚
stwa
w rozwiązywaniu zadał
;
1. Równanie prostej a) rozpoznawaç równanie prostej w postaci ogólnej i kierun-
na p"aszczyęnie. Pó"p"asz- kowej,
czyzna  opis za pomocÄ… b) interpretowaç wspó"czynniki w równaniu kierunkowym
nierównoĘci. prostej,
c) wyznaczaç równanie prostej okreĘlonej przez dwa punkty
o danych wspó"rz´dnych,
d) wyznaczaç równanie prostej równoleg"ej (prostopad"ej)
do danej,
e) badaç wzajemne po"oÅ»enie prostych w uj´ciu syntetycz-
nym i analitycznym,
f) graficznie przedstawiaç równania i nierównoĘci liniowe
z dwiema niewiadomymi,
g) zaznaczaç w uk"adzie wspó"rz´dnych zbiór punktów okre-
Ęlony przez uk"ad nierównoĘci liniowych,
h) opisywaç za pomocÄ… uk"adu nierównoĘci zbiory punk-
tów;
2. Odleg"oĘç na p"aszczyÄ™nie wyznaczaç odleg"oĘç: dwóch punktów, punktu od prostej,
kartezjał
skiej. dwóch prostych równoleg"ych;
3. OkrÄ…g i ko"o we wspó"- a) przedstawiaç okrÄ…g za pomocÄ… równania z dwiema nie-
rz´dnych. wiadomymi,
b) przedstawiaç ko"o za pomocÄ… nierównoĘci z dwiema
niewiadomymi,
c) graficznie przedstawiaç równania (nierównoĘci) drugie-
go stopnia z dwiema niewiadomymi  okrÄ…g (ko"o), su-
m´ mnogoĘciowÄ… dwóch prostych (kÄ…tów);
4. Punkty przeci´cia prostej a) okreĘlaç wzajemne po"oÅ»enie prostej i okr´gu oraz
z okr´giem i pary okr´- dwóch okr´gów  w uj´ciu syntetycznym i analitycznym,
gów. b) obliczaç wspó"rz´dne wspólnych punktów prostej
i okr´gu oraz dwóch okr´gów,
c) pos"ugiwaç si´ równaniem okr´gu i prostej w rozwiÄ…zy-
waniu zadał
;
www. operon. pl
14
²%
²%
VI. Planimetria
VII. Geometria analityczna
WYMAGANI A EGZAMI NACYJNE %
Opis wymagał

Dzia"
ZdajÄ…cy zna: ZdajÄ…cy potrafi:
1. Graniastos"upy i ostros"u- a) okreĘlaç w"asnoĘci podstawowych figur przestrzennych:
py. Walec, stoŻek, kula. graniastos"upów i ostros"upów (prostych, prawid"owych),
b) okreĘlaç w"asnoĘci bry" obrotowych (kuli, walca, stoÅ»ka),
c) rysowaç siatki wieloĘcianów,
d) stosowaç i przekszta"caç wzory zwiÄ…zane z polem po-
wierzchni i obj´toĘciÄ… wieloĘcianów i bry" obrotowych;
2. Wzajemne po"oÅ»enie kra- a) badaç wzajemne po"oÅ»enia prostych i p"aszczyzn w prze-
w´dzi i Ęcian bry": kÄ…t na- strzeni,
chylenia prostej do p"asz- b) stosowaç poj´cia: kÄ…ta dwuĘciennego, kÄ…ta mi´dzy prostÄ…
czyzny i kąt dwuĘcienny. i p"aszczyzną w rozwiązywaniu zadał
;
3. Wyznaczanie zwiÄ…zków wyznaczaç pola powierzchni i obj´toĘci wieloĘcianów i bry"
miarowych w bry"ach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii;
z zastosowaniem trygono-
metrii.
4. Przekroje p"askie grania- wyznaczaç przekroje p"askie wieloĘcianów;
stos"upów i ostros"upów.
5. WieloĘciany foremne. a) rozróŻniaç wieloĘciany foremne,
b) okreĘlaç w"asnoĘci wieloĘcianów foremnych,
c) stosowaç w"asnoĘci wieloĘcianów foremnych w rozwiÄ…-
zywaniu zadał
;
1. Proste zadania kombina-
n
a) obliczaç wartoĘci n! oraz e
toryczne.
ko,
b) stosowaç wzory na liczb´: permutacji, kombinacji oraz
wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeł
,
c) rozwiÄ…zywaç zadania tekstowe z zastosowaniem wzorów
kombinatorycznych;
a) okreĘlaç zbiór (skoÅ‚
czony) zdarzeł
elementarnych do-
2. Poj´cie prawdopodo-
Ęwiadczenia losowego,
bieł
stwa i jego w"asnoĘci.
b) wyznaczaç liczb´ wszystkich zdarzeÅ‚
elementarnych oraz
liczb´ zdarzeÅ‚
elementarnych sprzyjajÄ…cych danemu zda-
rzeniu losowemu,
c) stosowaç w"asnoĘci prawdopodobieÅ‚
stwa do rozwiÄ…zywa-
nia zadał
;
3. Obliczanie prawdopodo- a) obliczaç prawdopodobieÅ‚
stwa zdarzeł
losowych na pod-
bieł
stw zdarzeł
w skoł
- stawie definicji klasycznej lub za pomocÄ… drzewa,
b) obliczaç prawdopodobieÅ‚
stwa zdarzeł
losowych na pod-
czonych przestrzeniach
stawie w"asnoĘci prawdopodobieł
stwa;
probabilistycznych.
4. Elementy statystyki opiso- a) odczytywaç dane z tabel, diagramów i wykresów,
wej: Ęrednia arytmetycz- b) przedstawiaç dane empiryczne w postaci tabel, diagra-
na, Ęrednia waŻona, me- mów i wykresów,
diana, wariancja i odchyle- c) przeprowadzaç analiz´ iloĘciowÄ… przedstawianych danych,
d) obliczaç ĘredniÄ… arytmetycznÄ…, ĘredniÄ… waÅ»onÄ…, median´
nie standardowe (liczone
zbiorów danych,
z próby).
e) obliczaç wariancj´ i odchylenie standardowe danej próby,
f) przetwarzaç informacje,
g) przeprowadzaç analiz´ jakoĘciowÄ… przedstawianych da-
nych;
www. operon. pl
15
²%
²%
VIII. Stereometria
IX. Rachunek prawdopodobieł
stwa
 % WYMAGANI A EGZAMI NACYJNE
Opis wymagał

Dzia"
ZdajÄ…cy zna: ZdajÄ…cy potrafi:
5. Prawdopodobieł
stwo wa- obliczaç prawdopodobieÅ‚
stwo warunkowe i ca"kowite
runkowe. Wzór na prawdo- w skoł
czonym zbiorze zdarzeł
elementarnych;
podobieł
stwo ca"kowite.
6. NiezaleÅ»noĘç zdarzeÅ‚
. badaç niezaleÅ»noĘç zdarzeÅ‚
w skoł
czonym zbiorze zda-
rzeł
elementarnych;
7. Schemat Bernoulliego. stosowaç schemat Bernoulliego do obliczania prawdopo-
dobieł
stwa;
1. Pot´ga o wyk"adniku rze- a) porównywaç pot´gi o wyk"adnikach rzeczywistych,
czywistym. b) stosowaç w"asnoĘci pot´g do przekszta"cania wyraÅ»eÅ‚

zawierajÄ…cych pot´gi o wyk"adnikach rzeczywistych;
2. Definicja i wykresy funk- a) pos"ugiwaç si´ w"asnoĘciami funkcji wyk"adniczych i lo-
cji wyk"adniczych i loga- garytmicznych,
rytmicznych. b) szkicowaç wykresy funkcji wyk"adniczych i logarytmicz-
nych;
3. Proste równania i nie- a) rozwiÄ…zywaç równania i nierównoĘci wyk"adnicze i loga-
równoĘci wyk"adnicze rytmiczne,
i logarytmiczne. b) rozwiÄ…zywaç uk"ady równaÅ‚
i nierównoĘci wyk"adni-
czych i logarytmicznych;
1. Poj´cie funkcji ciÄ…g"ej. a) badaç ciÄ…g"oĘç funkcji,
b) korzystaç z ciÄ…g"oĘci funkcji przy badaniu w"asnoĘci
funkcji oraz rozwiązywaniu równał
;
2. Poj´cie pochodnej. Inter- a) obliczaç pochodnÄ… funkcji w punkcie na podstawie definicji,
pretacja geometryczna b) korzystaç z geometrycznej interpretacji pochodnej
i fizyczna pochodnej. funkcji w punkcie (np. wyznaczaç równanie stycznej
do wykresu funkcji w danym punkcie);
3. Obliczanie pochodnych obliczaç pochodne wielomianów i funkcji wymiernych;
wielomianów i funkcji
wymiernych.
4. ZwiÄ…zek pochodnej z ist- a) wyznaczaç przedzia"y monotonicznoĘci funkcji,
nieniem ekstremów b) wyznaczaç ekstrema funkcji,
i z monotonicznoĘciÄ… c) wyznaczaç najmniejszÄ… i najwi´kszÄ… wartoĘç funkcji
funkcji. w przedziale domkni´tym;
5. Zastosowanie pochodnej stosowaç pochodnÄ… do rozwiÄ…zywania zadaÅ‚
optymaliza-
do rozwiÄ…zywania pro- cyjnych.
stych problemów prak-
tycznych.
www. operon. pl
16
²%
²%
IX. Rachunek
prawdopodobieł
stwa
X.
XI.