Wprowadzenie do matematyki
Materiały do zajęć (5):
Funkcje elementarne.
�� Wielomiany.
�� Funkcja wymierna.
�� Funkcja homograficzna.
�� Funkcja potęgowa.
Materiały przygotowane w ramach projektu  Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA  POKL.04.01.01-00-011/09-00
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
5. Wielomiany.
Definicja.
Wielomianem stopnia n��N nazywamy funkcję określoną wzorem:
W(x) =� anxn +� an-�1xn-�1 +� ..... +� a1x +� a0 , gdzie a0 , a1 ,..., an ��R, an ą� 0 , x��R.
Dziedziną funkcji wielomianowej jest zbiór R.
Stałe a0 , a1 ,..., an nazywamy współczynnikami wielomianu, a0 jest wyrazem wolnym.
Liczbę n��N nazywamy stopniem wielomianu W.
Dwa niezerowe wielomiany W oraz Q są równe wtedy i tylko wtedy, gdy
W(x) =� Q(x) dla każdego x��R. Oznacza to, że wielomiany W oraz Q są tego samego stopnia
i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Definicja.
Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy liczbę x0 , dla której W(x0) =� 0 .
Twierdzenie B�zout.
Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest
podzielny przez dwumian (x -� x0) .
Przykład.
Podzielić wielomian W(x) =� x4 +� 5x3 -�12x2 +� 5x +� 1 przez dwumian P(x) =� x -�1 oraz
rozwiązać nierówność x4 +�5x3 -�12x2 +�5x +�1Ł� 0 .
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 46
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Wzory skróconego mnożenia:
�� (a +� b)2 =� a2 +� 2ab +� b2 ,
�� (a -�b)2 =� a2 -�2ab +� b2 ,
�� a2 -� b2 =� (a -� b)(a +� b),
�� (a +� b)3 =� a3 +� 3a2b +� 3ab2 +� b3,
�� (a -�b)3 =� a3 -�3a2b+�3ab2 -�b3 ,
�� a3 +� b3 =� (a +� b)(a2 -� ab +� b2),
�� a3 -� b3 =� (a -� b)(a2 +� ab +� b2).
Działania na potęgach:
1
�� dla x ą� 0 i n��N: x-�n =� ,
xn
1
n
n
�� dla x >� 0 oraz n��N i n >�1: x =� x ,
m
n
n
�� dla x >� 0 , m��Z oraz n��N i n >�1: x =� xm ,
�� dla dowolnych liczb x, y >� 0 oraz m, n��R (lub x, y ą� 0 i m, n��Z) prawdziwe są
zależności:
a) xm �� xn =� xm+�n ,
xm
b) =� xm-�n ,
xn
n
c) (�xm)� =� xm��n ,
d) xn �� yn =� (x �� y)n ,
n
xn ć� x ��
e) =� �� �� .
��
yn �� y
Ł� ł�
Przykład.
(x8 �� x3)4
Sprowadzić do najprostszej postaci wyrażenie .
x-�7 �� x-�9
Rozwiązanie:
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 47
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
6. Funkcja wymierna.
Definicja.
Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci:
W(x)
f(x) =� , gdzie W oraz P są wielomianami i P(x) ą� 0 .
P(x)
Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych takich, że P(x) ą� 0 ,
Df =� {x��R: P(x) ą� 0} .
Przykład.
-� x3 -� x2 +� 2x
Wyznaczyć dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f(x) =� .
x4 +� 3x2 -� 4
W(x)
Wartości funkcji wymiernej f(x) =� dla P(x) ą� 0 :
P(x)
�� f przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy W(x)��P(x) >� 0 ;
�� f przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy W(x)��P(x) <� 0 .
Przykład.
-� x3 -� x2 +� 2x
Rozwiązać: <� 0 .
x4 +� 3x2 -� 4
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 48
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
7. Funkcja homograficzna.
Definicja.
Funkcją homograficzną nazywamy funkcję wymierną określoną wzorem:
ax +� b
f(x) =� , ad -� bc ą� 0 i c ą� 0.
cx +� d
d a
�� �� �� ��
Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór R \ , zbiorem wartości R \ .
��-� ż� �� ż�
c c
�� �� �� ��
d
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola o asymptotach x =� -� (asymptota
c
a
pionowa), y =� (asymptota pozioma). Hiperbola jest symetryczna względem punktu
c
d a
ć� ��
.
��-� , ��
c c
Ł� ł�
Przykład.
-� 3x -� 5
Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości i asymptoty wykresu funkcji f(x) =� .
x +� 2
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 49
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Wzór każdej funkcji homograficznej można zapisać w postaci:
s
f(x) =� +� q, s ą� 0 .
x -� p
Położenie hiperboli w układzie współrzędnych zależy od znaku liczby s ą� 0 . Dla
s
s >� 0 wykres funkcji g(x) =� znajduje się w I i III ćwiartce układu współrzędnych, dla s <� 0
x
w ćwiartce II i IV.
Przykład.
-� 3x -� 5
Narysować wykres funkcji f(x) =� .
x +� 2
s
Przedziały monotoniczności funkcji homograficznej f(x) =� +� q, s ą� 0 zależą od
x -� p
znaku współczynnika s:
8. Funkcja potęgowa.
Definicja.
Funkcją potęgową nazywamy funkcję postaci f(x) =� xa , a��R
Własności funkcji potęgowej zależą od wykładnika potęgi a��R .
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 50
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Przykład.
Określić dziedzinę funkcji:
a) f(x) =� x3 , Df =� & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
1
b) f(x) =� x-�2 =� , Df =� & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
x2
1
2
c) f(x) =� x =� x , Df =� & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
5
7
7
d) f(x) =� x =� x5 ,Df =� & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
3
8
8
e) f(x) =� x =� x3 , Df =� & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
3
-�
1
5
f) f(x) =� x =� , Df =� & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
5
x3
1
-�
1
4
g) f(x) =� x =� , Df =� & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
4
x
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 51
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Zadania
Wielomiany
zad. 1) Obliczyć:
2
-�
-�1
3
a) 9[�(�1,5)� +�9-�1,5]�-�27 ��15000 ,
-�5
1 1 1 1
5
-�5
(�1,4)� ��ć� �� +� 52 ��52 +� 72 ��72
�� ��
7
Ł� ł�
b) ,
(�31,5 -� 7)�(�31,5 +� 7)�
3
3
1 2
�� -� ł�
-� -� 2 1
2 3
c) ��b(�ab-�2)� (�a-�1)� dla a =� i b =� .
ę�a 2 ś�
3
2 2
�� ��
zad. 2) Dany jest wielomian W(x) =� x4 -� mx3 +� nx2 -� 8, wartość tego wielomianu dla x =� 2
jest taka sama jak dla x =� -�2. Natomiast W(3) =� 82. Wyznaczyć wartość liczb m i
n .
zad. 3) Wiedząc, że wielomian W(x) =� ax3 +� bx2 -� 9x -�10 jest podzielny przez dwumian
(�x -� 2)� i przez dwumian (�x +� 1)� znalez
ć współczynniki a i b .
zad. 4) Rozłożyć wielomiany na czynniki i podać ich pierwiastki:
a) W(x) =� 3x3 -�2x2 -�9x +�6 ,
b) P(x) =� 2x4 +� 9x2 +� 7,
2
c) Q(x) =� x4 -�(�x +�2)� ,
d) S(x) =� x3 +� 4x2 +� x -�6.
zad. 5) Dany jest wielomian W(x) =� x3 -� 4 2x2 +�10x -� 4 2 .
a) Obliczyć W( 2),
b) Ile różnych pierwiastków ma wielomian W ?
c) Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian P(x) =� x +� 2 .
zad. 6) Dla jakich wartości parametru k równanie x5 +�(�1 -�2k)�x3 +�(�k2 -�1)�x =� 0 ma
dokładnie trzy pierwiastki?
zad. 7) Rozwiązać nierówności:
3
a) x2(�x -�1)�(�3 -� x)� Ł� 0 ,
b) (�x2 -� 4)�(�x2 -� 7)�<� 0 ,
c) x4 -�16 >� 0 ,
2
d) 2(�x -�1)� Ł� x2 -�1,
e) x3 -� 5x2 +� 3x -�15ł� 0,
f) x3 -� x Ł� 3x ,
3
g) x -�2 -�7�� 2-� x >� 0.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 52
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Funkcja wymierna
zad. 8) Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
x2 -�2x +� 7
a) f(x) =� ,
x3 -� x2 -� 3x
1 -� x2
b) f(x) =� ,
2x2 +� 3x +� 2
7x -�2
c) f(x) =� .
16 -� x2
zad. 9) Rozwiązać równania:
7 -� x
a) =� 2 ,
x2 -�1
2 4x
b) =� ,
x +� 2 x2 -� 4
1 2
c) +� =� -�x ,
x -�1 x +� 2
x -� 2
d) +� 1 =� 0 .
x2 -� 4x -� 2
zad. 10) Rozwiązać nierówności:
x +� 5 3x -�1
a) Ł� ,
x -�1 x +� 2
-� 2 3
b) -� <� 0 ,
2
(�x +� 4)� x +� 4
1 1
c) x2 -� x +� -� ł� 0 ,
x x2
2x
d) Ł� -�1 .
x2 +� 1
6x -� 3
zad. 11) Dana jest funkcja f(x) =�
2x +� 8
a) zapisać wzór funkcji f w postaci kanonicznej,
b) wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji f ,
c) wyznaczyć miejsca zerowe funkcji f ,
d) wyznaczyć asymptoty funkcji f ,
e) wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f ,
f) narysować wykres funkcji f .
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 53
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Zadania do samodzielnego rozwiązania
zad. 1) Obliczyć:
-�2
1
��ć� 81 ��-�0,75 ć�12 ��3 ł�
a) : -�(�0,125)�3 ,
�� �� �� ��
ę� ś�
��Ł� 625 ł� Ł� 3 ł� ��
-�2
ć� ��
16
3
4
�� ��
b) 0,375 ��3 9 +���3-�1 -� ,
��
81
Ł� ł�
-�2
1
1 1
�� -� -� ł�
2 2
(�x2 +� a2)� +�(�x2 -�a2)� ć� m2 +� n2 ��2
ę� ś�
c) dla x =� a�� �� , a >� 0, n >� m >� 0 .
1 1
�� ��
ę� -� -� ś�
2mn
Ł� ł�
2 2
(�x2 +� a2)� -�(�x2 -�a2)�
�� ��
Odpowiedz
:
a) 4,
1
b) 10 ,
2
m2
c) .
n2
zad. 2) Wykonać dzielenie wielomianu W przez wielomian P:
a) W(x) =� 3x4 -�2x3 -� 2x2 -� x -� 4 , P(x) =� x +�1,
b) W(x) =�2x3 +� 4x2 -� 7x -�10 , P(x) =� x +� 2 .
Odpowiedz
:
a) 3x3 -� 5x2 +� 3x -� 4 ,
4
b) 2x2 -� 7 +� .
x +� 2
zad. 3) Wielomian W przy dzieleniu przez (x -� 5) daje resztę 1, a przy dzieleniu przez
(x +� 3)
daje resztę (-�7). Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian
P(x) =� x2 -�2x -�15.
Odpowiedz
:
R(x) =� x -�4 .
zad. 4) Dla jakich wartości parametru m��R reszta z dzielenia wielomianu
W(x) =� m2x6 -� 8x3 +� 5m przez dwumian (x +�1) jest równa 2?
Odpowiedz
:
m��{-�3, -�2} .
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 54
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
zad. 5) Rozłożyć na czynniki wielomiany i podać ich pierwiastki:
4
a) W(x) =�(�x2 +� x)� -�1 ,
b) W(x) =�2x4 -�13x2 +� 6 ,
2
c) W(x) =� x3(�x2 -� 7)� -� 36x ,
d) W(x) =� 3x5 -�2x4 +� 3x -�2 .
Odpowiedz
:
1+� 5 1-� 5 -�1-� 5 -�1+� 5
a) W(x) =�(�x +� )�(�x +� )�(�x2 +� x +�1)�(�x4 +�2x3 +� x2 +�1)�, x��{� , }�,
2 2 2 2
2 2 2 2
b) W(x) =� 2(�x -� )�(�x +� )�(�x -� 6)�(�x +� 6)�, x��{�-� 6,-� , , 6}�,
2 2 2 2
c) W(x) =� x(x -�1)(x +�1)(x -�2)(x +�2)(x -�3)(x +�3) , x��{-�3, -�2, -�1, 0,1,2,3} ,
2
d) W(x) =� (x4 +�1)(3x -�2) , x��{� }�.
3
zad. 6) Rozwiązać nierówności:
a) (x +� 5)(x -� 3)3(2 -� x)2 ł� 0 ,
b) x4 +� 8x3 +�12x2 >� 0,
c) 4x3 -� 7x +� 3<� 0,
3
d) 4 x -� x <� 0 ,
e) x -�23 -� 4 x -�22 Ł� 0 ,
f) x3 -� 4x >� x3 -� 4x .
Odpowiedz
:
a) x��(-�Ą�, -�5]��{2} ��[3, +�Ą�),
b) x��(�-� Ą�, -� 6)���(�-� 2, 0)���(�0, +� Ą�)�,
3 1
����ć�
c) x��ć�-�Ą�, -� ,1�� ,
�� �� �� ��
2 2
Ł� ł� Ł� ł�
d) x��(-�Ą�, -�2)��(2, +� Ą�),
e) x��[-�2, 6],
f) x��(-�Ą�, -�2)��(0,2) .
zad. 7) Wyznaczyć dziedzinę oraz miejsca zerowe funkcji:
x +� 4
a) f(x) =� ,
x2 +� 6x +� 9
x2 +� 2x +� 6
b) f(x) =� .
x3 -� 5x2 +� 6x
Odpowiedz
:
a) Df =�R \ {-�3} , miejsce zerowe x =� -�4 ,
b) Df =� R \ {0,2, 3} , funkcja nie ma miejsc zerowych.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 55
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
zad. 8) Rozwiązać równania:
5-� x 2
a) =� ,
5x 5+� x
1 2
b) -� =�1,
x +� 2 x -�1
1 3x
c) 2 -� =� .
x x +� 2
Odpowiedz
:
a) x ��{�-�5-�5 2, -�5+� 5 2}�,
b) x���,
c) x��{1,2} .
zad. 9) Rozwiązać równania:
3
a) =�1 ,
2x -� 3
3
b) =� 2 .
x -�1 -�1
Odpowiedz
:
a) x��{�0, 3}�,
3 7��
b) x����-� , .
�� ż�
2 2
�� ��
zad. 10) Rozwiązać nierówności:
x2 -� 5x +� 6
a) Ł� 0 ,
9 -� x2
3
b) ł� -�2 ,
x
1
c) 9x <� ,
x
5x -� 4
d) >� 2 .
3x -� 2
Odpowiedz
:
a) x��(-�Ą�, -�3)��[2, 3)��(3, +�Ą�),
b) x��(-�Ą�; -�1,5]��(0, +�Ą�) ,
1 1
����ć�0, ��
c) x��ć�-�Ą�, -� ,
�� �� �� ��
3 3
Ł� ł� Ł� ł�
2
��.
d) x��ć�0,
�� ��
3
Ł� ł�
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 56
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
zad. 11) Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości, asymptoty oraz określić przedziały
monotoniczności funkcji:
3
a) f(x) =� -�1 ,
x -�2
2x -�3
b) f(x) =� ,
x +�1
3x +� 4
c) f(x) =� .
x +� 3
Odpowiedz
:
a) Df =�R \ {2} , D-�1 =� R \ {-�1} , asymptoty: x =� 2, y =� -�1, funkcja jest malejąca
f
w przedziałach: (-�Ą�,2), (2, +�Ą�) ,
b) Df =�R \ {-�1} , D-�1 =� R \ {2} , asymptoty: x =� -�1, y =� 2, funkcja jest rosnąca
f
w przedziałach: (-�Ą�, -�1), (-�1, +�Ą�) ,
c) Df =� R \ {-�3} , D-�1 =� R \ {3} , asymptoty: x =� -�3, y =� 3, funkcja jest rosnąca
f
w przedziałach: (-�Ą�, -� 3), (-�3, +� Ą�).
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 57