Wprowadzenie do matematyki
Materiały do zajęć (3, 4):
Funkcje elementarne.
�� Funkcja kwadratowa.
Materiały przygotowane w ramach projektu  Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA  POKL.04.01.01-00-011/09-00
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
4. Funkcja kwadratowa.
Definicja.
Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję postaci:
f(x) =� ax2 +� bx +� c , a��R \ {0}, b, c��R, x��R.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o równaniu y =� ax2 +� bx +� c ,
a, b, c��R i a ą� 0 . Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy liczbę: D� =� b2 -� 4ac .
b D�
Współrzędne wierzchołka paraboli: W(p, q), gdzie p =� -� , q =� -� =� f(p).
2a 4a
+ + + + + +
+ + + + + + + +
+ + +
x1 x2 x
x0
  
x x
a>0
a>0 a>0
">0
"=0 "<0
a<0 a<0 a<0
">0 "=0 "<0
+ + +
x0
  
x1 x2 x
     
       
x x
Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej zależą od znaku współczynnika a :
�� dla a >� 0 funkcja jest malejąca w przedziale (-�Ą�, p) i rosnąca w przedziale (p, +� Ą�),
�� dla a <� 0 funkcja jest rosnąca w przedziale (-�Ą�, p) i malejąca w przedziale (p, +� Ą�).
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 40
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej są rozwiązaniami równania ax2 +� bx +� c =� 0 i ich
ilość zależy od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego:
-� b -� D� -� b +� D�
�� dla D� >� 0 są dwa miejsca zerowe: x1 =� , x2 =� ,
2a 2a
b
�� dla D� =� 0 jest jedno miejsce zerowe: x0 =� p =� -� ,
2a
�� dla D� <� 0 miejsca zerowe nie istnieją.
Przykład.
Narysować wykresy funkcji:
a) f(x) =� x2 -� 2x +� 3,
b) f(x) =� 2x2 +� 5x -� 3 ,
1
c) f(x) =� -� x2 -� 3x ,
2
d) f(x) =� 3x2 +� 1.
Wyznaczyć miejsca zerowe i podać zbiór wartości.
Różne postacie trójmianu kwadratowego:
niech a��R \ {0}, b, c��R, x��R.
�� postać ogólna: f(x) =� ax2 +� bx +� c ,
�� postać kanoniczna: f(x) =� a(x -� p)2 +�q ,
�� postać iloczynowa (tylko dla D� ł� 0):
-� b -� D� -� b +� D�
dla D� >� 0 : f(x) =� a(x -� x1)(x -� x2), gdzie x1 =� , x2 =� ,
2a 2a
dla D� =� 0 : f(x) =� a(x -� p)2 .
Wzory Viete a.
Jeśli równanie ax2 +� bx +� c =� 0 (a ą� 0) ma dwa rozwiązania ( x1 , x2), to:
b c
x1 +� x2 =� -� oraz x1 �� x2 =� .
a a
Przykład.
Wyznaczyć współczynniki b i c trójmianu kwadratowego f(x) =� x2 +� bx +� c wiedząc, że
jego miejsca zerowe x1 , x2 spełniają warunki: x1 =� -�6, x1 �� x2 =� 24 .
Rozwiązanie:
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 41
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Zadania
zad. 1) Funkcja f określona jest wzorem f(x) =� x2 +�2x -�3
a) określić zbiór wartości funkcji f ,
b) określić jej przedziały monotoniczności,
c) znalez
ć najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale [�-� 3,2]�,
d) zapisać wzór funkcji f w postaci kanonicznej i iloczynowej (o ile jest to
możliwe).
zad. 2) Rozwiązać równania:
a) 4x2 -� 9 =� 0 ,
b) 2x -� 7x2 =� 0,
c) -� x2 +� 3x -� 5=� 0 .
zad. 3) Rozwiązać nierówności:
a) x2 -�16 Ł� 0 ,
b) 4x2 -�12x +� 9 >� 0 ,
c) -� x2 +� 2x -�3<� 0.
zad. 4) Funkcje f i g określone są wzorami f(x) =� 2x2 +� 6x +� c i g(x) =� -�x2 +� bx -�25.
Funkcja f ma jedno miejsce zerowe, zaś funkcja g osiąga największą wartość dla
argumentu 5. Wyznaczyć współczynniki b i c oraz rozwiązać nierówność
f(-�x) +� 4g(x) ł� 0 .
zad. 5) Dane jest równanie (�m-�1)�x2 +� m 7x +� m2 +� m+�1 =� 0 z niewiadomą x . Sporządzić
wykres funkcji m �� f(m), gdzie f(m) oznacza liczbę pierwiastków danego
równania.
zad. 6) Dla jakich wartości parametru p równanie px2 +�2x +� p-�2 =� 0 ma dwa pierwiastki
mniejsze od 1 ?
zad. 7) Wyznaczyć te wartości parametru x , dla których nierówność
(�x -�2)�p2 +�(�x -�2)�p+� x -�1 <� 0 nie ma rozwiązań.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 42
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Zadania do samodzielnego rozwiązania
zad. 1) Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji:
a) f(x) =�2x2 +� 3x -� 5,
b) f(x) =� 6x2 +� x ,
c) f(x) =� 9x2 -�1,
d) f(x) =�2x2 +� 32.
Odpowiedz
:
a) x��{-�2,5; 1} ,
1
b) x����-� , 0�� ,
�� ż�
6
�� ��
1 1��
c) x����-� , ,
�� ż�
3 3
�� ��
d) x���.
zad. 2) Zapisać wzór funkcji f w postaci kanonicznej i iloczynowej (o ile jest to możliwe),
wyznaczyć jej miejsca zerowe oraz podać współrzędne wierzchołka paraboli:
a) f(x) =� x2 -�2x +� 3,
b) f(x) =�2x2 +� 8x +� 3,
1
c) f(x) =� -� x2 -� 3x ,
2
d) f(x) =� 3x2 +�1.
Odpowiedz
:
a) f(x) =� (x -�1)2 +�2, W(1,2), barak miejsc zerowych,
-� 4 -� 10
b) W(-�2, -�5); postać kanoniczna: f(x) =� 2(x +� 2)2 -� 5 , miejsca zerowe: x1 =�
2
ć� ��ć� ��
-� 4 +� 10 4 +� 10 4 -� 10
�� ���� ��
oraz x2 =� ; postać iloczynowa: f(x) = �� x +� x +� ;
���� ��
2 2 2
Ł� ł�Ł� ł�
1
c) Postać iloczynowa: f(x) =� -� x(x +� 6); miejsca zerowe: x =� 0 oraz x =� -�6 ;
2
W(-�3;4,5) ; postać kanoniczna: f(x) =� -�0,5(x +� 3)2 +� 4,5,
d) W(0,1) ; postać kanoniczna: f(x) =� 3x2 +�1; brak miejsc zerowych.
zad. 3) Określić zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności funkcji f określonej
wzorem:
a) f(x) =� -�2x2 +� 5,
b) f(x) =� -�x2 +�8x -�15 ,
c) f(x) =�2(x -�1)2 +� 4 .
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 43
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Odpowiedz
:
a) D-�1 =� (-�Ą�, 0) ; funkcja jest rosnąca w przedziale (-�Ą�, 0) i malejąca w przedziale
f
(0, +� Ą�) ,
b) D-�1 =� (-�Ą�,1]; funkcja jest rosnąca dla x��(-�Ą�, 4) i malejąca dla x��(4, +� Ą�),
f
c) D-�1 =� [4, +� Ą�) , funkcja jest rosnąca w przedziale (1, +� Ą�) i malejąca w przedziale
f
(-�Ą�,1).
zad. 4) Podać wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej wiedząc, że f(x) =� -�(x -�m)2 +� k
oraz dla argumentu 3 funkcja osiąga wartość największą równą 4.
Odpowiedz
:
f(x) =� -�x2 +� 6x -� 5.
zad. 5) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w podanym przedziale:
a) f(x) =� -�x2 +�2x +� 5, x ��[0, 3],
b) f(x) =� x2 -� 2, x��[-�2, -�1],
c) f(x) =� x2 -� 3x, x��[1, 3].
Odpowiedz
:
a) fmax =� f(1) =� 6 ; fmin =� f(3) =� 2,
b) fmax =� f(-�2) =� 2; fmin =� f(-�1) =� -�1,
3 9
ć� ��
c) fmax =� f(3) =� 0; fmin =� f =� -� .
�� ��
2 4
Ł� ł�
zad. 6) Wyznaczyć współczynniki b i c trójmianu kwadratowego f(x) =� x2 +� bx +� c
wiedząc, że jego miejsca zerowe x1, x2 spełniają warunki:
a) x2 =� 3, x1 �� x2 =� -�6 ,
b) x2 =� 2,5, x1 +� x2 =� -�1,5.
Odpowiedz
:
b =� -�1
��
a)
��c =� -�6,
��
b =� 1,5
��
b)
��c =� -�10.
��
zad. 7) Rozwiązać równania:
a) 2x2 +� 5x -�12 =� 0 ,
b) -� x2 +� 5x -�15 =� 0 ,
1 1
c) x2 -� x =� 0 .
3 2
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 44
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Odpowiedz
:
a) x =� -�4 �� x2 =�1,5 ,
b) brak rozwiązań,
3��
c) x ����0,
�� ż�.
2
�� ��
zad. 8) Rozwiązać nierówności:
1
a) -� x2 +� 2x ł� 0 ,
2
b) x2 +� 2x -� 3 >� 0 ,
c) 4x2 +� 4x +�1Ł� 0 ,
d) -� x2 +�14x -� 49 <� 0,
e) -� 5x2 -�1<� 0 .
Odpowiedz
:
a) x��[0, 4],
b) x��(-�Ą�, -� 3)��(1, +� Ą�) ,
c) x��{-�0,5} ,
d) x��R \ {7} ,
e) x��R .
zad. 9) Wyznaczyć współczynniki a i b trójmianu kwadratowego f(x) =� ax2 +� bx +�10
wiedząc, że do jego wykresu należy punkt (1, 6) , a jednym z jego miejsc zerowych
jest liczba 2. Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie?
Odpowiedz
:
a =� -�1, b =� -�3; funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x��(-�5,2) .
zad. 10) Dana jest funkcja f(x) =� mx2 +� mx -�1 . Wyznaczyć wszystkie wartości m��R, dla
których:
a) funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne,
b) zbiorem wartości funkcji f jest przedział [-�3, +� Ą�).
Odpowiedz
:
a) m��(-�4, 0),
b) m��{8} .
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 45