IS Matematyka C S 02 zbiory


Wprowadzenie do matematyki
Materia艂y do zaj臋膰 (2):
Teoria mnogo艣ci.
佛 Definicje dzia艂a艅 na zbiorach, ich w艂asno艣ci i przyk艂ady.
佛 Dzia艂ania uog贸lnione.
佛 Iloczyn kartezja艅ski zbior贸w.
Materia艂y przygotowane w ramach projektu  Uruchomienie
unikatowego kierunku studi贸w Informatyka Stosowana odpowiedzi膮
na zapotrzebowanie rynku pracy ze 艣rodk贸w Programu Operacyjnego
Kapita艂 Ludzki wsp贸艂finansowanego ze 艣rodk贸w Europejskiego
Funduszu Spo艂ecznego nr umowy UDA  POKL.04.01.01-00-011/09-00
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
6. Definicje dzia艂a艅 na zbiorach, ich w艂asno艣ci i przyk艂ady.
Definicja.
Zbi贸r A zawiera si臋 w zbiorze B (A 甜 B) wtedy i tylko wtedy, gdy
"饃 (饃勿A 摒 x勿B).
Definicja.
Dwa zbiory A, B 甜 X s膮 r贸wne (A = B) wtedy i tylko wtedy, gdy
"饃 (饃勿A 垧 x勿B).
Niech A, B 甜 X .
Definicja.
a) Sum膮 zbior贸w A i B nazywamy zbi贸r: A 瑞B = {x勿X : x勿A 陴 x勿B} .
b) Iloczynem zbior贸w A i B nazywamy zbi贸r: A 丘B = {x勿X : x勿A 艁 x勿B} .
c) R贸偶nic膮 zbior贸w A i B nazywamy zbi贸r: A \ B = {x勿X : x勿A 艁 x橡B} .
贸
d) Dope艂nieniem zbioru A (do przestrzeni X) nazywamy zbi贸r A = X \ A.
Powiemy, 偶e:
a) x勿A 瑞B 垧 (饃勿A 陴 x勿B),
b) x勿A 丘B 垧 (饃勿A 艁 x勿B),
c) x勿A \ B 垧 (饃勿A 艁 x橡B),
贸
d) x勿A 垧 (饃勿X 艁 x橡A).
贸 贸
Zgodnie z definicj膮 dope艂nienia zbioru A w przestrzeni X: A 瑞 A = X i A 丘 A = 膯.
Zbiory A, B 甜 X takie, 偶e A 丘B = 膯 nazywamy roz艂膮cznymi.
Przyk艂ad.
Niech A = {x勿R: x < -2 陴 x 艂 3} oraz B = {x勿R: x 艂 -4 艁 x <1} .
贸 贸
Wyznaczy膰 zbiory: A 瑞B, A 丘B, A \ B, B \ A, A , B .
Odpowiedz:
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 22
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Niech A, B,C 甜 X .
W艂asno艣ci dzia艂a艅 na zbiorach:
佛 przemienno艣膰 sumy zbior贸w: A 瑞B = B 瑞 A,
佛 艂膮czno艣膰 sumy zbior贸w: A 瑞(B 瑞C) = (A 瑞B) 瑞C ,
佛 A 瑞 膯 = A ,
佛 przemienno艣膰 iloczynu zbior贸w: A 丘B = B 丘 A,
佛 艂膮czno艣膰 iloczynu zbior贸w: A 丘(B 丘C) = (A 丘B) 丘C ,
佛 A 丘膯 = 膯,
佛 rozdzielno艣膰 iloczynu zbior贸w wzgl臋dem sumy: (A 瑞B) 丘C = (A 丘C) 瑞(B 丘C) ,
佛 rozdzielno艣膰 sumy zbior贸w wzgl臋dem iloczynu: (A 丘B) 瑞C = (A 瑞C) 丘(B 瑞C) ,
Prawa de Morgana dla zbior贸w:
贸 贸 贸
佛 dope艂nienie sumy zbior贸w: (A 瑞B) = A 丘B ,
贸 贸 贸
佛 dope艂nienie iloczynu zbior贸w: (A 丘B) = A 瑞B .
Przyk艂ad.
Niech A, B 甜 X . Wykaza膰:
贸 贸
a) (A 甜 B) 垧 (B 甜 A ),
贸 贸 贸
b) (A 丘B) = A 瑞B .
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 23
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
7. Dzia艂ania uog贸lnione.
Niech X 膮 膯.
Definicja.
Sum膮 uog贸lnion膮 zbior贸w An 甜 X , n勿N nazywamy zbi贸r:
A1 瑞 A2 瑞..... 瑞 An 瑞..... = =饆饃勿 X : $餹勿N x勿An}.
U餉
n
n勿N
Definicja.
Iloczynem uog贸lnionym zbior贸w An 甜 X , n勿N nazywamy zbi贸r:
A1 丘 A2 丘..... 丘 An 丘..... = =饆饃勿 X : " n勿N x勿An}.
I餉
n
n勿N
W og贸lnym przypadku x勿 垧 ($餿 勿T x勿At ) oraz x勿 垧 ("餿 勿T x勿At ).
U餉t I餉t
t勿T t勿T
Element x nale偶y do zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy nale偶y on przynajmniej do
U餉
t
t勿T
jednego ze zbior贸w At dla t 勿T . Z kolei element x nale偶y do zbioru wtedy i tylko
I餉
t
t勿T
wtedy, gdy nale偶y on do ka偶dego ze zbior贸w At dla t 勿T .
Przyk艂ad.
祓x勿R: 1 艁 x < 1 + 1 , n勿N. Wyznaczy膰 oraz .
Niech An =
眇 偶 U餉 I餉
n n
n n
铕  n勿N n勿N
Odpowiedz:
Wybrane w艂asno艣ci dzia艂a艅 uog贸lnionych.
佛
琊 黟 琊 黟
I(A 丘Bt) = 膰餓餉 鲳 丘膰餓養 鲳 ,
t t t
t勿T 艁餿勿T 艂 艁餿勿T 艂
佛
琊 黟 琊 黟
U(A 瑞Bt) = 膰餟餉 鲳 瑞膰餟養 鲳 ,
t t t
t勿T 艁餿勿T 艂 艁餿勿T 艂
膰 鲳 膰 鲳
佛
琊 黟 琊 黟
I餉 瑞 I養 甜 I(A 瑞 Bt ) ,
t t t
艁餿勿T 艂 艁餿勿T 艂 t勿T
佛
琊 黟 琊 黟
U(A 丘 Bt ) 甜 膰餟餉 鲳 丘 膰餟養 鲳
t t t
t勿T 艁餿勿T 艂 艁餿勿T 艂
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 24
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Prawa de Morgana:
贸
膰 鲳
贸
佛 琊 黟 = ,
U餉t I餉t
琊 黟
艁 t勿T 艂 t勿T
贸
膰 鲳
贸
佛 琊 黟 = .
I餉t U餉t
琊 黟
艁 t勿T 艂 t勿T
8. Iloczyn kartezja艅ski zbior贸w.
Definicja.
Niech A, B 膮 膯. Iloczynem kartezja艅skim zbior贸w A i B nazywamy zbi贸r
A答B =饆(a, b): a勿A 艁 b勿B}.
Jest to zbi贸r uporz膮dkowanych par (a, b) . Powiemy, 偶e para
(a, b)勿A答B 垧 (a勿A 艁 b勿B) .
Zbi贸r A答 A = A2 .
Iloczyn kartezja艅ski zbior贸w nie jest dzia艂aniem przemiennym, tzn. je艣li A 膮 B , to:
A答B 膮 B答 A.
Przyk艂ad.
Zbi贸r R2 = R答R = {(x,y): x勿R 艁 y勿R} jest zbiorem wszystkich punkt贸w p艂aszczyzny.
Zbi贸r R3 = R答R答R = {(x,y,z): x勿R 艁 y勿R 艁 z勿R} jest zbiorem wszystkich punkt贸w
przestrzeni 3-wymiarowej.
Zbi贸r Rn = {x = (x1 , x2 ,....., xn): xi 勿R dla i勿{1,....., n}, n勿N} jest zbiorem wszystkich
ci膮g贸w n elementowych o wyrazach rzeczywistych.
Przyk艂ad.
Wyznaczy膰 zbiory: A答B, B答 A, A2 gdy:
a) A =饆0,1,2}, B = {-1,1} ,
b) A = (-鹉勷,2), B = R ,
c) A =餥-1, 3), B = N.
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 25
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Podstawowe w艂asno艣ci iloczynu kartezja艅skiego dla zbior贸w A, B,C 膮 膯:
佛 Rozdzielno艣膰 iloczynu kartezja艅skiego zbior贸w wzgl臋dem sumy mnogo艣ciowej:
a) A答(B 瑞C) = (A答B) 瑞(A答C), b) (B 瑞C)答 A = (B答 A) 瑞(C 答 A).
佛 Rozdzielno艣膰 iloczynu kartezja艅skiego zbior贸w wzgl臋dem iloczynu mnogo艣ciowego:
c) A答(B 丘C) = (A答B) 丘(A答C), d) (B 丘C)答 A = (B答 A) 丘(C 答 A).
佛 Rozdzielno艣膰 iloczynu kartezja艅skiego zbior贸w wzgl臋dem r贸偶nicy mnogo艣ciowej:
e) A答(B \ C) = (A答B) \ (A答C), f) (B \ C)答 A = (B答 A) \ (C 答 A).
佛 A膮czno艣膰 iloczynu kartezja艅skiego zbior贸w:
g) A答(B答C) = (A答B)答C .
Przyk艂ad.
Wykaza膰: (餉 甜C 艁 B 甜 D) 摒 A答B = (A答D) 丘(C 答B) .
Rozwi膮zanie:
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 26
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Zadania
zad. 1) Niech:
a) A =饆饃勿R: (饃 - 2 < 3)疒(2x 艂1 - x)饈, B =饆饃勿R: -2 艁 x 艁 4},
b) A =饆饃 勿R: x2 -2x -15 < 0}, B =饆饃 勿R: x2 -6x > 0},
c) A =饆饃 勿R: x2 - 5x + 4 = 0}, B =饆饃勿R: x 艂 6艁 x < 2}.
Wyznaczy膰: A瑞B, A丘B, A \ B, B \ A, A', B' .
zad. 2) Wykaza膰, 偶e:
a) B \ A = B丘 A',
b) A瑞(養 \ A)= A瑞B .
zad. 3) Wyznaczy膰 uog贸lnione sumy i iloczyny zbior贸w:
1 1
轲3 艂
a) An = + , 4 - ,
臋 艣
n n
腽 
b) Bn =餥餹-1,n ].
Odpowiedz:
7
祓 
a) =餥3,4], = ,
眇 偶
U餉n I餉n
2
铕 
n勿N n勿N
b) =餥0,+ 膭), = .
U養n I養n
n勿N n勿N
zad. 4) Wyznaczy膰 i narysowa膰:
a) A答B , (餉答B)' ,
je偶eli A =饆饃勿R: (饃 艂 -2 艁 x <1)疒 (饃 >2 艁 x 艁 5)饈, B =饆饄 勿R: y 艁 2陴 y > 6},
b) A2 , A答N,
je偶eli A =饆饃 勿R: x2 - 4x 艁 0},
c) A答B , A答B' , Z答 A,
zad. 5) Wykaza膰 ,偶e:
a) (養瑞C)鸫 A = (養答 A)鹑(餋 答 A),
b) A答(養丘C)= (餉答B)鹎(餉答C),
c) (餉\ B)鸫餋 =(餉答C)餦(養答C).
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 27
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Zadania do samodzielnego rozwi膮zania
zad. 1) Niech:
a) A =餥- 6,- 3]鹑餥3,6], B =(- 5,-1)鹑(0,4),
b) A =饆饃 勿R: x2 + 3x 勿(- 膭,4]饈, B =饆饃勿R: 3 - 4x勿[7,19)饈.
Wyznaczy膰: A瑞B, A丘B, A \ B, B \ A, A', B' .
Odpowiedz:
a) A瑞B =餥- 6,-1)鹑(0,6], A丘B =(- 5,- 3]鹑餥3,4), A \ B =餥- 6,- 5]鹑餥4,6],
B \ A =(- 3,-1)鹑(0,3), A'=(-鹉勷,-6)鹑(-3, 3)鹑(6,+鹉勷),
B'=(- 膭,- 5]鹑餥-1,0]鹑餥4,+ 膭)
5艂
轲
b) A 瑞 B = 4, , A 丘B =(- 4, 1], A\ B =饆-4}, B \ A = , A'=(-鹉勷,-4)鹑(1,+ 膭),
臋-
2艣
腽 
5
膰
B'= (- 膭,- 4]鹑 ,+ 膭瘀 .
琊 黟
2
艁 艂
zad. 2) Wykaza膰, 偶e:
a) A瑞(養丘C)= (餉瑞B)鹎(餉瑞C),
b) (餉丘B)'= A'瑞B' .
zad. 3) Wyznaczy膰 uog贸lnione sumy i iloczyny zbior贸w:
轲1 1 1 艂
a) An = - , 1 + ,
臋 艣
n n
腽 
b) Bn =饆饃勿R: x = cos(餹p )饈,
1 1
膰 鲳
c) Cn = ,1+ .
琊- 黟
n n
艁 艂
Odpowiedz:
a) =餥0,2], =饆1},
U餉n I餉n
n勿N n勿N
b) =饆- 1,1}, = ,
U養n I養n
n勿N n勿N
c) =(-1,2), =餥0,1].
U餋n I餋n
n勿N n勿N
zad. 4) Wyznaczy膰 i narysowa膰:
a) A答B , A2 , Z答B ,
je偶eli A =(- 膭,- 3]鹑(0,4], B =(-1,2]鹑饆3}鹑餥4,7).
b) A答B , A答B' , A'答B, B2 ,
je偶eli A =饆饃勿R: (饃 -3)(饃 + 4)< 0}, B =饆饄勿R: (2 - x)(饃 + 3)鹋傪 0}.
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 28
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Odpowiedz:
a) A答B =饆(饃,y)鹞餜2 : x勿(- 膭,- 3]鹑(0,4]鹋侌 y勿(-1,2]鹑饆3}鹑餥4,7)饈,
A2 =饆(饃,y)鹞餜2 : x勿(- 膭,- 3]鹑(0,4]鹋侌 y勿(- 膭,- 3]鹑(0,4]饈,
Z答B =饆(饃,y)鹞餜2 : x 勿Z 艁 y 勿(-1,2]鹑饆3}鹑餥4,7)饈,
b) A答B =饆(饃,y)鹞餜2 : x勿(- 4,3)鹋侌 y 勿[-3,2)饈,
A答B'=饆(饃,y)鹞餜2 : x勿(- 4,3)鹋侌 y勿(- 膭,- 3)鹑餥2,+ 膭)饈,
2
A'答B =饆(饃,y)鹞餜2 : x勿(- 膭,- 4]鹑餥3,+ 膭)鹋侌 y勿[- 3,2)饈; B2 = [- 3,2) .
zad. 5) Wykaza膰 ,偶e:
a) A答(養瑞C)= (餉答B)鹑(餉答C),
b) A答(養 \ C)= (餉答B)餦 (餉答C).
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 29


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
superkid matematyka 1 02
IS Matematyka C S 03
IS Matematyka C S 06 f trygonometryczne
IS Matematyka C S 4 rownania rozniczkowe
02 zbiory
IS Matematyka C S 01 logika
IS Matematyka W S 4 rownania rozniczkowe
IS Matematyka C S 04 f kwadratowa

wi臋cej podobnych podstron