Wprowadzenie do matematyki
Materiały do zajęć (2):
Teoria mnogości.
�� Definicje działań na zbiorach, ich własności i przykłady.
�� Działania uogólnione.
�� Iloczyn kartezjański zbiorów.
Materiały przygotowane w ramach projektu Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA POKL.04.01.01-00-011/09-00
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
6. Definicje działań na zbiorach, ich własności i przykłady.
Definicja.
Zbiór A zawiera się w zbiorze B (A �� B) wtedy i tylko wtedy, gdy
"�x (�x��A �� x��B)�.
Definicja.
Dwa zbiory A, B �� X są równe (A =� B) wtedy i tylko wtedy, gdy
"�x (�x��A �� x��B)�.
Niech A, B �� X .
Definicja.
a) Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór: A ��B =� {x��X : x��A �� x��B} .
b) Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór: A ��B =� {x��X : x��A Ł� x��B} .
c) Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór: A \ B =� {x��X : x��A Ł� x��B} .
ó�
d) Dopełnieniem zbioru A (do przestrzeni X) nazywamy zbiór A =� X \ A.
Powiemy, że:
a) x��A ��B �� (�x��A �� x��B)�,
b) x��A ��B �� (�x��A Ł� x��B)�,
c) x��A \ B �� (�x��A Ł� x��B)�,
ó�
d) x��A �� (�x��X Ł� x��A)�.
ó� ó�
Zgodnie z definicją dopełnienia zbioru A w przestrzeni X: A �� A =� X i A �� A =� Ć�.
Zbiory A, B �� X takie, że A ��B =� Ć� nazywamy rozłącznymi.
Przykład.
Niech A =� {x��R: x <� -�2 �� x ł� 3} oraz B =� {x��R: x ł� -�4 Ł� x <�1} .
ó� ó�
Wyznaczyć zbiory: A ��B, A ��B, A \ B, B \ A, A , B .
Odpowiedz:
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 22
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Niech A, B,C �� X .
Własności działań na zbiorach:
�� przemienność sumy zbiorów: A ��B =� B �� A,
�� łączność sumy zbiorów: A ��(B ��C) =� (A ��B) ��C ,
�� A �� � =� A ,
�� przemienność iloczynu zbiorów: A ��B =� B �� A,
�� łączność iloczynu zbiorów: A ��(B ��C) =� (A ��B) ��C ,
�� A ��� = �,
�� rozdzielność iloczynu zbiorów względem sumy: (A ��B) ��C =� (A ��C) ��(B ��C) ,
�� rozdzielność sumy zbiorów względem iloczynu: (A ��B) ��C =� (A ��C) ��(B ��C) ,
Prawa de Morgana dla zbiorów:
ó� ó� ó�
�� dopełnienie sumy zbiorów: (A ��B) =� A ��B ,
ó� ó� ó�
�� dopełnienie iloczynu zbiorów: (A ��B) =� A ��B .
Przykład.
Niech A, B �� X . Wykazać:
ó� ó�
a) (A �� B) �� (B �� A ),
ó� ó� ó�
b) (A ��B) =� A ��B .
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 23
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
7. Działania uogólnione.
Niech X ą� Ć�.
Definicja.
Sumą uogólnioną zbiorów An �� X , n��N nazywamy zbiór:
A1 �� A2 ��..... �� An ��..... =� =�{�x�� X : $�n��N x��An}�.
U�A
n
n��N
Definicja.
Iloczynem uogólnionym zbiorów An �� X , n��N nazywamy zbiór:
A1 �� A2 ��..... �� An ��..... =� =�{�x�� X : "� n��N x��An}�.
I�A
n
n��N
W ogólnym przypadku x�� �� (�$�t ��T x��At )� oraz x�� �� (�"�t ��T x��At )�.
U�At I�At
t��T t��T
Element x należy do zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy należy on przynajmniej do
U�A
t
t��T
jednego ze zbiorów At dla t ��T . Z kolei element x należy do zbioru wtedy i tylko
I�A
t
t��T
wtedy, gdy należy on do każdego ze zbiorów At dla t ��T .
Przykład.
��x��R: 1 Ł� x <� 1 +� 1 , n��N��. Wyznaczyć oraz .
Niech An =�
�� ż� U�A I�A
n n
n n
�� �� n��N n��N
Odpowiedz:
Wybrane własności działań uogólnionych.
��
�� �� �� ��
I�(A ��Bt) =� ć�I�A �� ��ć�I�B �� ,
t t t
t��T Ł�t��T ł� Ł�t��T ł�
��
�� �� �� ��
U�(A ��Bt) =� ć�U�A �� ��ć�U�B �� ,
t t t
t��T Ł�t��T ł� Ł�t��T ł�
ć� �� ć� ��
��
�� �� �� ��
I�A �� I�B �� I�(A �� Bt ) ,
t t t
Ł�t��T ł� Ł�t��T ł� t��T
��
�� �� �� ��
U�(A �� Bt ) �� ć�U�A �� �� ć�U�B ��
t t t
t��T Ł�t��T ł� Ł�t��T ł�
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 24
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Prawa de Morgana:
ó�
ć� ��
ó�
�� �� �� =� ,
U�At I�At
�� ��
Ł� t��T ł� t��T
ó�
ć� ��
ó�
�� �� �� =� .
I�At U�At
�� ��
Ł� t��T ł� t��T
8. Iloczyn kartezjański zbiorów.
Definicja.
Niech A, B ą� Ć�. Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór
A��B =�{�(a, b): a��A Ł� b��B}�.
Jest to zbiór uporządkowanych par (a, b) . Powiemy, że para
(a, b)��A��B �� (a��A Ł� b��B) .
Zbiór A�� A =� A2 .
Iloczyn kartezjański zbiorów nie jest działaniem przemiennym, tzn. jeśli A ą� B , to:
A��B ą� B�� A.
Przykład.
Zbiór R2 =� R��R =� {(x,y): x��R Ł� y��R} jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny.
Zbiór R3 =� R��R��R =� {(x,y,z): x��R Ł� y��R Ł� z��R} jest zbiorem wszystkich punktów
przestrzeni 3-wymiarowej.
Zbiór Rn =� {x =� (x1 , x2 ,....., xn): xi ��R dla i��{1,....., n}, n��N} jest zbiorem wszystkich
ciągów n elementowych o wyrazach rzeczywistych.
Przykład.
Wyznaczyć zbiory: A��B, B�� A, A2 gdy:
a) A =�{�0,1,2}�, B =� {-�1,1} ,
b) A =� (-�Ą�,2), B =� R ,
c) A =�[-�1, 3), B =� N.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 25
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Podstawowe własności iloczynu kartezjańskiego dla zbiorów A, B,C ą� Ć�:
�� Rozdzielność iloczynu kartezjańskiego zbiorów względem sumy mnogościowej:
a) A��(B ��C) =� (A��B) ��(A��C), b) (B ��C)�� A =� (B�� A) ��(C �� A).
�� Rozdzielność iloczynu kartezjańskiego zbiorów względem iloczynu mnogościowego:
c) A��(B ��C) =� (A��B) ��(A��C), d) (B ��C)�� A =� (B�� A) ��(C �� A).
�� Rozdzielność iloczynu kartezjańskiego zbiorów względem różnicy mnogościowej:
e) A��(B \ C) =� (A��B) \ (A��C), f) (B \ C)�� A =� (B�� A) \ (C �� A).
�� Aączność iloczynu kartezjańskiego zbiorów:
g) A��(B��C) =� (A��B)��C .
Przykład.
Wykazać: (�A ��C Ł� B �� D)� �� A��B =� (A��D) ��(C ��B) .
Rozwiązanie:
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 26
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Zadania
zad. 1) Niech:
a) A =�{�x��R: (�x -� 2 <� 3)���(�2x ł�1 -� x)�}�, B =�{�x��R: -�2 Ł� x Ł� 4}�,
b) A =�{�x ��R: x2 -�2x -�15 <� 0}�, B =�{�x ��R: x2 -�6x >� 0}�,
c) A =�{�x ��R: x2 -� 5x +� 4 =� 0}�, B =�{�x��R: x ł� 6Ł� x <� 2}�.
Wyznaczyć: A��B, A��B, A \ B, B \ A, A', B' .
zad. 2) Wykazać, że:
a) B \ A =� B�� A',
b) A��(�B \ A)�=� A��B .
zad. 3) Wyznaczyć uogólnione sumy i iloczyny zbiorów:
1 1
��3 ł�
a) An =� +� , 4 -� ,
ę� ś�
n n
�� ��
b) Bn =�[�n-�1,n ]�.
Odpowiedz:
7
�� ��
a) =�[�3,4]�, =� ,
�� ż�
U�An I�An
2
�� ��
n��N n��N
b) =�[�0,+� Ą�)�, =� �.
U�Bn I�Bn
n��N n��N
zad. 4) Wyznaczyć i narysować:
a) A��B , (�A��B)�' ,
jeżeli A =�{�x��R: (�x ł� -�2 Ł� x <�1)��� (�x >�2 Ł� x Ł� 5)�}�, B =�{�y ��R: y Ł� 2�� y >� 6}�,
b) A2 , A��N,
jeżeli A =�{�x ��R: x2 -� 4x Ł� 0}�,
c) A��B , A��B' , Z�� A,
zad. 5) Wykazać ,że:
a) (�B��C)�� A =� (�B�� A)���(�C �� A)�,
b) A��(�B��C)�=� (�A��B)���(�A��C)�,
c) (�A\ B)��C =�(�A��C)�\(�B��C)�.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 27
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Zadania do samodzielnego rozwiązania
zad. 1) Niech:
a) A =�[�-� 6,-� 3]���[�3,6]�, B =�(�-� 5,-�1)���(�0,4)�,
b) A =�{�x ��R: x2 +� 3x ��(�-� Ą�,4]�}�, B =�{�x��R: 3 -� 4x��[�7,19)�}�.
Wyznaczyć: A��B, A��B, A \ B, B \ A, A', B' .
Odpowiedz:
a) A��B =�[�-� 6,-�1)���(�0,6]�, A��B =�(�-� 5,-� 3]���[�3,4)�, A \ B =�[�-� 6,-� 5]���[�4,6]�,
B \ A =�(�-� 3,-�1)���(�0,3)�, A'=�(�-�Ą�,-�6)���(�-�3, 3)���(�6,+�Ą�)�,
B'=�(�-� Ą�,-� 5]���[�-�1,0]���[�4,+� Ą�)�
5ł�
��
b) A �� B =� 4, , A ��B =�(�-� 4, 1]�, A\ B =�{�-�4}�, B \ A =� �, A'=�(�-�Ą�,-�4)���(�1,+� Ą�)�,
ę�-�
2ś�
�� ��
5
ć�
B'=� (�-� Ą�,-� 4]��� ,+� Ą��� .
�� ��
2
Ł� ł�
zad. 2) Wykazać, że:
a) A��(�B��C)�=� (�A��B)���(�A��C)�,
b) (�A��B)�'=� A'��B' .
zad. 3) Wyznaczyć uogólnione sumy i iloczyny zbiorów:
��1 1 1 ł�
a) An =� -� , 1 +� ,
ę� ś�
n n
�� ��
b) Bn =�{�x��R: x =� cos(�np� )�}�,
1 1
ć� ��
c) Cn =� ,1+� .
��-� ��
n n
Ł� ł�
Odpowiedz:
a) =�[�0,2]�, =�{�1}�,
U�An I�An
n��N n��N
b) =�{�-� 1,1}�, =� �,
U�Bn I�Bn
n��N n��N
c) =�(�-�1,2)�, =�[�0,1]�.
U�Cn I�Cn
n��N n��N
zad. 4) Wyznaczyć i narysować:
a) A��B , A2 , Z��B ,
jeżeli A =�(�-� Ą�,-� 3]���(�0,4]�, B =�(�-�1,2]���{�3}���[�4,7)�.
b) A��B , A��B' , A'��B, B2 ,
jeżeli A =�{�x��R: (�x -�3)�(�x +� 4)�<� 0}�, B =�{�y��R: (�2 -� x)�(�x +� 3)�ł� 0}�.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 28
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Odpowiedz:
a) A��B =�{�(�x,y)���R2 : x��(�-� Ą�,-� 3]���(�0,4]�Ł� y��(�-�1,2]���{�3}���[�4,7)�}�,
A2 =�{�(�x,y)���R2 : x��(�-� Ą�,-� 3]���(�0,4]�Ł� y��(�-� Ą�,-� 3]���(�0,4]�}�,
Z��B =�{�(�x,y)���R2 : x ��Z Ł� y ��(�-�1,2]���{�3}���[�4,7)�}�,
b) A��B =�{�(�x,y)���R2 : x��(�-� 4,3)�Ł� y ��[�-�3,2)�}�,
A��B'=�{�(�x,y)���R2 : x��(�-� 4,3)�Ł� y��(�-� Ą�,-� 3)���[�2,+� Ą�)�}�,
2
A'��B =�{�(�x,y)���R2 : x��(�-� Ą�,-� 4]���[�3,+� Ą�)�Ł� y��[�-� 3,2)�}�; B2 =� [�-� 3,2)� .
zad. 5) Wykazać ,że:
a) A��(�B��C)�=� (�A��B)���(�A��C)�,
b) A��(�B \ C)�=� (�A��B)�\ (�A��C)�.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 29
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
superkid matematyka 1 02IS Matematyka C S 03IS Matematyka C S 06 f trygonometryczneIS Matematyka C S 4 rownania rozniczkowe02 zbioryIS Matematyka C S 01 logikaIS Matematyka W S 4 rownania rozniczkoweIS Matematyka C S 04 f kwadratowawięcej podobnych podstron