Analiza matematyczna i algebra liniowa
Materiały do zajęć:
Równania różniczkowe
" Równanie różniczkowe zwyczajne.
" Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.
" Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego.
Materiały przygotowane w ramach projektu  Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA  POKL.04.01.01-00-011/09-00
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
1. Organizacja zajęć.
Temat 5: Równania różniczkowe.
1. Równanie różniczkowe zwyczajne  definicja i podstawowe pojęcia
2. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
3. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
2. Literatura:
1) Krysicki W., Włodarski L. [2008],  Analiza matematyczna w zadaniach część II ,
wydanie 27, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
2) Matwiejew N. M. [1974],  Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych , PWN,
Warszawa.
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 2
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
3. Materiały do zajęć:
Temat 5: Równania różniczkowe.
2
zad. 1) Rozwiązać równanie różniczkowe y = x2 .
Å„Å‚ y'= x2
zad. 2) RozwiÄ…zać równanie òÅ‚ .
óły(0) = 1
zad. 3) Rozwiązać równania:
dy
a) 2x2 = y ,
dx
y lny
b) y'= ,
sin2 x
Å„Å‚ y2 + 1
ôÅ‚y'=
c) ,
òÅ‚
xy
ôÅ‚
y(-2) = 1
ół
d) y''= x2 ,
dy
e) sin x = y cos x ,
dx
f) (1 + x2)dy = 1 - y2 ,
dx
2
Å„Å‚ - y) + 1
(x
ôÅ‚y'=
g) ,
1
òÅ‚
y(0) =
ôÅ‚
ół 2
h) y'= 2x + 3y + 1 ,
dy
i) 2xy - x2 - 2y2 = 0 ,
dx
5 dy
öÅ‚
j) (x - 1)(y2 - y + 1)- (2y - 1)ëÅ‚ x2 + x + = 0 ,
ìÅ‚ ÷Å‚
4 dx
íÅ‚ Å‚Å‚
y 1
k) y'- = ,
x 2y
l) y'-2xy = 2x3y2 ,
1 1 1
m) y'= 1 + - - ,
x y2 + 1 x(y2 + 1)
dy
n) x - y = 2x3 ,
dx
2
Å„Å‚
y'= (2x + y - 3) - 2(2x + y - 3)- 1
o) ,
òÅ‚
y(0) = 2
ół
Å„Å‚y'-xy = xe x2
ôÅ‚
p) ,
òÅ‚
ôÅ‚ y(0) = 4
ół
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 3
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
dy
q) - 2y = 2e3x ,
dx
dy
r) - 4y = 2e4 x ,
dx
dy
s) + 2y = x2 ,
dx
dy
t) + y = 7sin3x .
dx
zad. 4) Cenowa elastyczność popytu jest funkcją postaci Ef (x) = 4x2 . Wyznaczyć funkcję
popytu f , jeśli f(0) = 1 .
dx
zad. 5) Równanie logistyczne = x(a - bx) opisuje wzrost populacji pewnego gatunku
dt
w izolowanym środowisku (np. żółwi olbrzymich na jednej z wysp archipelagu
Galapagos). Przez x(t) oznaczamy wielkość (zagęszczenie) populacji,
a (współczynnik rozrodczości gatunku) i b (współczynnik konkurencji między
osobnikami jednego gatunku) są pewnymi stałymi empirycznymi.
a) Znalez
ć rozwiązanie tego równania.
1 4
b) Wyznaczyć stałą C jeśli dla a = 2 , b = mamy x(0) = . Narysować wykresy
2 3
otrzymanego rozwiązania dla kilku wybranych wartości parametrów a i b .
c) Wykazać, że x(t) a / b (tzw. pojemności środowiska) gdy t " dla
wszystkich wartości x(0) z wyjątkiem x(0) = 0 . Zinterpretować otrzymany
wynik.
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 4
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania.
zad. 1) Rozwiązać równania:
a) y'= 2y ,
1 y
b) y'= + ,
y
x
3 +
x
c) (x - 1)(y2 - y - 2)- (y + 1)(x2 + x + 1)dy = 0 ,
dx
dy 1
d) x2 = sin ,
dx x
2
dy
ëÅ‚ öÅ‚
e) sin2 x + = 1 ,
ìÅ‚ ÷Å‚
dx
íÅ‚ Å‚Å‚
dy
f) cos y = 3siny(5cos3 x - 3cos x),
dx
dy
2
g) (x + y) = a2 ,a > 0 ,
dx
dy
h) x2 = x2 + xy + y2 ,
dx
2
dy
i) ex = -xy ,
dx
dy
x2
j) - xy = xe ,
dx
k) y'+y + x y = 0 ,
dy
l) sin x + y cos x = sin2x ,
dx
2
dy
ëÅ‚ öÅ‚
m) x2 + = 1 ,
ìÅ‚ ÷Å‚
dx
íÅ‚ Å‚Å‚
1
-
dy
x
n) e y3 + x2y2 = 0 ,
dx
dy
o) (x2 + y2)= 2xy ,
dx
y
p) y'- = 2x2 ,
x
dy
q) cos x + 2y sin x = 2sin x ,
dx
dy
r) + 2y = 25x2e3x ,
dx
dy
s) + y = e-x ,
dx
dy
t) + 2y = x2 - x - 1 ,
dx
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 5
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
7 7 11 9
u) y'+ y = x2 - x + ,
4 2 4 2
dy
v) - y = 5cos2x ,
dx
dy
w) - y = xe2x .
dx
Odpowiedz
(jeśli nie podano inaczej C "R ):
a) y(x) = Ce2x ,
2
y 1 y
ëÅ‚ öÅ‚
b) 3 + = ln x + C ,
ìÅ‚ ÷Å‚
x 2 x
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 2 3 1
öÅ‚
÷Å‚+C
ln(x2 +x+1)- 3arctgìÅ‚ ëÅ‚ x+
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
c) y(x) = Ä…e2 ,
1
d) y(x) = cos + C ,
x
e) y(x) = Ä… sin x + C ,
f) siny = Ce6 sin x-5sin3 x ,
y - C
g) x = -y + atg ,
a
h) y(x) = xtg(lnx + C),
1
- x2
2
i) y(x) = Ce ,C `" 0 ,
1
x2
2
j) y(x) = ex + Ce2 ,
2
1
ëÅ‚ - x öÅ‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
k) y(x) = - x + 2 + Ce ,
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
C
l) y(x) = sin x + ,
sin x
1
m) y(x) = Ä… (x 1 - x2 + arcsin x)+ C, x "[-1,1],
2
1
-
x
n) y(x) = Cee ,
2 2
o) y(x) = Ä… (x - C) - C ,
p) y(x) = x3 + Cx ,
q) y(x) = 1 + C cos2 x ,
2
ëÅ‚5x öÅ‚e
2 3x
r) y(x) = - 2x + + Ce-2x ,
ìÅ‚ ÷Å‚
5
íÅ‚ Å‚Å‚
s) y(x) = (x + C)e-x ,
1
t) y(x) = Ce-2x + x2 - x ,
2
4
x
27 234
7
u) y(x) = 2x2 - x + + Ce ,
7 49
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 6
Materiały pomocnicze dla studentów
Analiza matematyczna i algebra liniowa
v) y(x) = 2sin2x - cos2x + Cex ,
w) y(x) = (x - 1)e2x + Cex .
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 7