Wprowadzenie do matematyki
Materiały do zajęć (3, 4):
Funkcje elementarne.
�� Podstawowe własności funkcji.
�� Funkcja liniowa.
�� Wartość bezwzględna.
Materiały przygotowane w ramach projektu  Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA  POKL.04.01.01-00-011/09-00
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Temat 2: Funkcje elementarne
1. Podstawowe własności funkcji
Definicja.
Miejscem zerowym funkcji f nazywamy argument x��Df , dla którego f(x) =� 0 .
Definicja.
Funkcja f jest rosnąca w przedziale (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy
"� x1 , x2 ��(c, d) [x1 <� x2 �� f(x1) <� f(x2)].
Definicja.
Funkcja f jest malejąca w przedziale (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy
"� x1 , x2 ��(c, d) [x1 <� x2 �� f(x1) >� f(x2)].
Definicja.
Funkcję f nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy
"� x,-�x��Df f(x) =� f(-�x).
Definicja.
Funkcję f nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy
"� x, -� x��Df f(-�x) =� -�f(x).
Definicja.
Funkcja f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy
"� x1 , x2 ��Df [ x1 ą� x2 �� f(x1) ą� f(x2)].
Definicja.
Funkcja f jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy
$� t ą� 0 "� x �� Df [(�x +� t)��� Df Ł� (�x -� t)��� Df Ł� f (x) =� f (x +� t) ].
2. Funkcja liniowa.
Definicja.
Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci:
f(x) =� ax +� b, a, b��R, x��R,
a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, b jest wyrazem wolnym.
Dziedziną (ozn. Df) funkcji liniowej jest zbiór R.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 30
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Wykresem funkcji liniowej jest prosta o równaniu y =� ax +� b , a, b��R nachylona do osi OX
pod kątem a� takim, że a =� tga� .
y
y
y
ą
ą
x x x
a>0 a<0 a=0
x��Df nazywamy argumentem funkcji f, y =� f(x) jest wartością funkcji f dla argumentu x.
Jeśli a ą� 0 , to zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór R. Dla a =� 0 f jest funkcją stałą
o zbiorze wartości {b} , jej wykresem jest prosta o równaniu y =� b , równoległa do osi OX
i przecinająca oś OY w punkcie (0, b) . Jeśli a ą� 0 i b =� 0 , to wykresem funkcji liniowej jest
prosta y =� ax przechodząca przez początek układu współrzędnych.
Przykład.
Narysować wykres funkcji:
a) f(x) =� 2x ,
b) f(x) =� -�x +� 1 ,
c) f(x) =� 5 ,
podać jej miejsce zerowe oraz omówić podstawowe własności.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 31
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Wniosek.
Miejsce zerowe funkcji liniowej jest rozwiązaniem równania ax +� b =� 0 , a, b��R, x��R:
-� b
�� dla a ą� 0 i b��R miejscem zerowym jest x =� ,
a
�� dla a =� 0 i b =� 0 funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych: x��Df ,
�� dla a =� 0 i b ą� 0 funkcja nie ma miejsca zerowego.
Wniosek.
Funkcja liniowa f(x) =� ax +� b, x��R jest:
�� rosnąca w R, gdy a >� 0 ,
�� malejąca w R, gdy a <� 0 ,
�� stała dla a =� 0 .
Wniosek.
Funkcja liniowa f(x) =� ax +� b, x��R jest:
�� parzysta, gdy a =� 0 i b��R,
�� nieparzysta, gdy b =� 0 i a��R.
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, z kolei wykres funkcji
nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Wniosek.
Funkcja liniowa f(x) =� ax +� b, x��R jest różnowartościowa w R dla a ą� 0 .
Funkcja jest różnowartościowa w pewnym zbiorze, jeśli różnym argumentom z tego
zbioru odpowiadają różne wartości funkcji. Geometrycznie, każda prosta o równaniu y =� y0
( y0 należy do zbioru wartości funkcji f) ma z wykresem funkcji f dokładnie jeden punkt
wspólny.
Korzystając z zasady kontrapozycji powiemy, że funkcja f jest różnowartościowa
wtedy i tylko wtedy, gdy "� x1 , x2 ��Df [ f(x1) =� f(x2) �� x1 =� x2 ].
Przykład.
Narysować podzbiory płaszczyzny:
a) A =� {(x, y): x��R Ł� y��R Ł� y Ł� -�x +� 3} ,
b) B =� {(x, y): x��R Ł� y��R Ł� y >� -�1} .
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 32
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
3. Wartość bezwzględna.
Definicja.
Wartością bezwzględną (modułem) liczby x��R jest:
x, gdy x ł� 0
��
x =�
��
��-� x, gdy x <� 0.
Podstawowe własności wartości bezwzględnej:
�� x ł� 0 ,
�� x =� -� x ,
�� x �� y =� x �� y ,
x
x
�� =� , y ą� 0 ,
y y
�� x +� y Ł� x +� y ,
�� x -� y ł� x -� y ,
�� x2 =� x ,
2
�� x =� x2 .
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 33
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Wartość bezwzględna liczby x��R: x , jest liczbą nieujemną i interpretujemy ją na
osi liczbowej jako odległość liczby x od 0. Stąd dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b��R,
wyrażenie a -� b =� b -� a określa na osi liczbowej odległość między a i .
b
Własności wartości bezwzględnej dla a >� 0 :
�� x =� a �� (x =� a �� x =� -�a) ,
�� x Ł� a �� (x Ł� a Ł� x ł� -�a) �� (-�a Ł� x Ł� a) �� x��[-�a, a],
�� x ł� a �� (x ł� a �� x Ł� -�a) �� x��(-�Ą�, -�a]��[a, +� Ą�).
Dla a <� 0 równanie x =� a nie ma rozwiązania, x =� 0 �� x =� 0. Dla nierówności
ostrych x <� a , x >� a otrzymujemy rozwiązania w postaci przedziałów otwartych.
Ponadto:
dla a =� 0 : x Ł� 0 �� x =� 0,
x <� 0 �� x���,
x ł� 0 �� x��R,
x >� 0 �� x��R\{0},
dla a <� 0 : x Ł� a �� x��Ć�,
x <� a �� x���,
x ł� a �� x��R,
x >� a �� x��R.
Przykład.
Rozwiązać równania:
a) x =� 2 ,
b) x -� 2 +� 2x =�1.
Rozwiązanie:
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 34
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Przykład.
Rozwiązać nierówności:
a) 1 -� x >� 3,
b) 2 x -�2 +� x Ł� 5.
Rozwiązanie:
Przykład.
Narysować wykres funkcji f(x) =� x i omówić jej własności (dziedzina, zbiór wartości,
miejsca zerowe, parzystość, nieparzystość, różnowartościowość, monotoniczność).
Przykład.
Narysować wykres funkcji g(x) =� -� x .
Przykład.
Narysować wykres funkcji h(x) =� x -�1 +� 3.
Przykład.
Narysować wykres funkcji f(x) =� -� 0,5x +� 1 .
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 35
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Zadania
Funkcja liniowa
zad. 1) Znalez
ć wzór funkcji liniowej f(x) =� ax +� b wiedząc, że jej wykres przecina oś OY
3
w punkcie o rzędnej -� 3, a oś OX w punkcie o odciętej .
2
zad. 2) Miejscem zerowym funkcji f(x) =� ax +� b jest liczba 5 , a jej wykres nachylony jest do
osi OX pod kątem 45o� . Obliczyć współczynniki a i b .
zad. 3) Dla jakich wartości parametru k funkcja f(x) =� (�4 -� 5k)�x +� 7k -�2 jest rosnąca?
zad. 4) Znalez
ć wzór funkcji liniowej f wiedząc, że dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi
równość f(x)+� f(x +�2) =� 2(�x -�3)�.
zad. 5) Dla jakich argumentów funkcja f(x) =� -� 3x +� 2 przyjmuje wartości niedodatnie?
Wartość bezwzględna
zad. 6) Rozwiązać równania:
a) x -�2 -�3 =�1,
b) 2 x -�1 +� x -�3 =� 0 .
zad. 7) Rozwiązać nierówności:
a) 1-� x Ł� 2x +�1,
b) x +� 2 +� 3 >� 3,
c) x -� 3 +� x +�1 Ł� 4.
zad. 8) Narysować wykres funkcji:
a) f(x) =� x -�2 +� x +�2 ,
b) f(x) =� x +�1 -� 3 .
i na jego podstawie określić dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe oraz omówić
podstawowe własności.
zad. 9) Narysować podzbiory płaszczyzny:
a) A =�{�(�x,y)���R2 : (�y -� x +� 2 ł� 0)��� (�y +� x -� 2 ł� 0)�}�
,
b) B =�{�(�x,y)���R2 : y <� x -�1}�.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 36
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Zadania do samodzielnego rozwiązania
zad. 1) Narysować wykres funkcji:
a) f(x) =� x ,
b) f(x) =� -�0,5x +�1,
c) f(x) =� -�3,
podać jej miejsce zerowe oraz omówić podstawowe własności.
Odpowiedz
:
a) Miejsce zerowe: x =� 0 ; a =�1 =� tga� ; funkcja jest rosnąca i różnowartościowa,
wykres nachylony jest do osi OX pod kątem a� =� 45o� ; funkcja jest nieparzysta; wyraz
wolny b =� 0 ,
1
b) a =� -� , b =�1; miejsce zerowe: x =�2; funkcja jest malejąca i różnowartościowa;
2
wykres nachylony jest do osi OX pod kątem a� takim, że tga� =� -�0,5, stąd
p�
��
a� ��ć� ,p� ,
�� ��
2
Ł� ł�
c) a =� 0, b =� -�3; funkcja stała, parzysta.
zad. 2) Wyznaczyć wzór funkcji liniowej f wiedząc, że:
a) f(2) =� 4 i f(-�1) =� -�5 ,
b) jej wykres przecina oś OY w punkcie o rzędnej 2, a -�1 jest miejscem zerowym
funkcji f ,
c) jej wykres jest nachylony do osi OX pod kątem 60o� i przechodzi przez punkt
D =� (1, 3) .
Odpowiedz
:
a) f(x) =� 3x -�2,
b) f(x) =� 2x +�2,
c) f(x) =� 3x +�3-� 3 .
zad. 3) Dla jakich wartości parametru p��R funkcja f(x) =� (7p-�2)x -�2p+�3 jest malejąca?
Odpowiedz
:
2
��
p��ć�-� Ą�, .
�� ��
7
Ł� ł�
1
zad. 4) Dla jakich argumentów funkcja f(x) =� -� x +� 3 przyjmuje wartości:
2
a) nieujemne,
b) mniejsze od 4?
Odpowiedz
:
a) x��(-�Ą�, 6],
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 37
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
b) x��(-�2, +� Ą�).
zad. 5) Narysować podzbiory płaszczyzny:
1
��(x,
a) A =� y)��R2 : y Ł� -� x +�2�� ,
�� ż�
2
�� ��
b) A =� {(x, y)��R2 : y >� 2x -�1} .
zad. 6) Rozwiązać równania:
a) x -� 3 =�2 ,
b) x +� 1 -� 5 =� 3 ,
c) x -� 2 +� x +� 1 =� 0,
d) x -�1 +� x +� 3 =� 4 .
Odpowiedz
:
a) x��{1, 5} ,
b) x��{-�9, -�3,1, 7} ,
1
c) x =� ,
2
d) x��[-�3,1].
zad. 7) Rozwiązać nierówności:
a) x Ł� 2,
b) 2 -� x <� 3,
c) 2x -� 3 -� x +� 2 >� 0 .
Odpowiedz
:
a) x��[-�2,2],
b) x��(-�1, 5),
c) x��R .
zad. 8) Narysować wykres funkcji oraz określić zbiór jej wartości i miejsca zerowe:
a) f(x) =� x -�2 ,
b) f(x) =� x +�1 +�1,
c) f(x) =� x -�3 -�1 ,
d) f(x) =� x +�2 -� x .
Odpowiedz
:
a) D-�1 =�[�-�2,+� Ą�)�; miejsca zerowe: x��{-�2,2} ,
f
b) D-�1 =�[�1,+� Ą�)�; brak miejsc zerowych,
f
c) D-�1 =�[�0,+� Ą�)�; miejsca zerowe: x��{2, 4} ,
f
d) D-�1 =�[�-� 2, 2]�; miejsce zerowe: x =� -�1 .
f
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 38
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
Literatura (do zajęć: 3  7)
1) Borowska M., Gałązka K. [2009],  Obowiązkowa matura z matematyki, zakres
podstawowy , Wydawnictwo Pedagogiczne Operon Sp. z o. o., Gdynia.
2) Dobrowolska M., Braun M., Karpiński M., Lech J., Urbańczyk W. [2004],
 Matematyka I , Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk.
3) Dobrowolska M., Braun M., Karpiński M., Lech J. [2004],  Matematyka III , Gdańskie
Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk.
4) Gurgul H., Suder M. [2009],  Matematyka dla kierunków ekonomicznych. Przykłady
i zadania wraz z repetytorium ze szkoły średniej , Wydawnictwo Wolters Kluwer
Polska Sp. z o. o., Kraków.
5) Kiełbasa A. [2008],  Matematyka, Matura 2009, Matura 2010 poziom podstawowy
i rozszerzony, cz. 1, Wydawnictwo  2000 , Warszawa.
6) Kłaczkow K., Kurczab M., Świda E. [2002],  Matematyka, podręcznik do liceów
i techników klasa I, zakres podstawowy i rozszerzony , wydanie I, Oficyna
Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Spółka z o. o., Warszawa.
� Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 39