Wprowadzenie do matematyki
Materia艂y do zaj臋膰 (6):
Funkcje elementarne.
佛 Funkcje trygonometryczne.
Materia艂y przygotowane w ramach projektu Uruchomienie
unikatowego kierunku studi贸w Informatyka Stosowana odpowiedzi膮
na zapotrzebowanie rynku pracy ze 艣rodk贸w Programu Operacyjnego
Kapita艂 Ludzki wsp贸艂finansowanego ze 艣rodk贸w Europejskiego
Funduszu Spo艂ecznego nr umowy UDA POKL.04.01.01-00-011/09-00
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
9. Funkcje trygonometryczne.
Podstawowe w艂asno艣ci funkcji: f(x) = sinx , x勿R
佛 -1艁 sinx 艁1,
佛 sin( = -餾inx ,
-饃)
佛 sin( + 2kp) = sinx dla k勿Z ,
x
佛 sinx = 0 垧 x = kp dla k勿Z .
Podstawowe w艂asno艣ci funkcji: f(x) = cos x , x勿R
佛 -1艁 cosx 艁1,
佛 cos(-饃) = cosx ,
佛 cos(x + 2kp) = cosx dla k勿Z ,
p
佛 cosx = 0 垧 x = + kp dla k勿Z .
2
Dziedzin膮 funkcji f(x) = cosx jest zbi贸r liczb rzeczywistych, zbiorem warto艣ci jest
przedzia艂 [-1,1]. Jest to funkcja parzysta i okresowa o okresie podstawowym 2p . Ma
p
niesko艅czenie wiele miejsc zerowych, x = + kp dla k勿Z .
2
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 58
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
p
Podstawowe w艂asno艣ci funkcji: f(x) = tg x , x 膮 + kp dla k勿Z
2
佛 tg(-饃) = -餿gx ,
佛 tg(x +餶p) = tgx dla k勿Z ,
佛 tgx = 0 垧 x = kp dla k勿Z .
Podstawowe w艂asno艣ci funkcji: f(x) = ctg x , x 膮 kp dla k勿Z
佛 ctg(-饃) = -餭tgx ,
佛 ctg(x + kp) = ctgx dla k勿Z ,
p
佛 ctg x = 0 垧 x = + kp dla k勿Z .
2
kp
Dziedzin膮 funkcji f(x) = ctg x jest zbi贸r {饃勿R: x `" dla k勿Z}, czyli suma
mnogo艣ciowa przedzia艂贸w (餶p ,p + kp ), k勿Z , zbiorem warto艣ci jest zbi贸r R. Jest to funkcja
nieparzysta, okresowa o okresie podstawowym p oraz malej膮ca w ka偶dym z przedzia艂贸w
p
(餶p ,p + kp), k勿Z . Ma niesko艅czenie wiele miejsc zerowych, x = + kp dla k勿Z .
2
Wykres funkcji ma asymptoty pionowe o r贸wnaniach x = kp dla k勿Z .
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 59
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Warto艣ci funkcji trygonometrycznych dla wybranych k膮t贸w
x
p p p p
0
6 4 3 2
y
1
2 3
y = sinx
0 1
2
2 2
1
3 2
y = cosx
1 0
2
2 2
3
y = tg x
0 1 nie istnieje
3
3
3
y = ctgx
nie istnieje 1 0
3
3
Podstawowe w艂asno艣ci dla x勿R :
佛 sin2 x + cos2 x =1,
sinx p
佛 tg x = dla x 膮 + kp , k勿Z ,
cosx 2
cosx
佛 ctg x = dla x 膮 kp , k勿Z ,
sinx
佛 sin2x =2sinxcosx ,
佛 cos2x = cos2 x - sin2 x .
Z przedstawionych w艂asno艣ci wynikaj膮 zale偶no艣ci:
p
佛 tgx尊ctgx =1 dla x 膮 kp i x 膮 + kp i k勿Z ,
2
佛 cos2x =1 - 2sin2 x oraz cos2x = 2cos2 x -1 .
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 60
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
W艂asno艣ci:
佛 Je偶eli x0 jest jednym z rozwi膮za艅 r贸wnania sinx = a , a勿[-1,1], to dla ka偶dego x勿R
sinx = a 垧 (饃 = x0 + 2kp 陴 x = (p - x0) + 2kp), k勿Z .
佛 Je偶eli x0 jest jednym z rozwi膮za艅 r贸wnania cosx = a , a勿[-1,1], to dla ka偶dego x勿R
cosx = a 垧 (饃 = x0 + 2kp 陴 x = -饃0 + 2kp), k勿Z .
佛 Je偶eli x0 jest jednym z rozwi膮za艅 r贸wnania tg x = a , a勿R , to dla ka偶dego
p
x 膮 + kp , k勿Z , tgx = a 垧 x = x0 +餶p , k勿Z .
2
佛 Je偶eli x0 jest jednym z rozwi膮za艅 r贸wnania ctg x = a , a勿R , to dla ka偶dego x 膮 kp ,
k勿Z , ctgx = a 垧 x = x0 +餶p , k勿Z .
Powy偶sze zale偶no艣ci s膮 podstaw膮 rozwi膮zywania r贸wna艅 i nier贸wno艣ci
trygonometrycznych.
Przypadki szczeg贸lne:
p
佛 r贸wnanie sinx = a , x勿R dla a =1 ma rozwi膮zania x = + 2kp i k勿Z , dla a = -1 ma
2
p
rozwi膮zania x = - + 2kp i k勿Z , dla a = 0 rozwi膮zaniami s膮 miejsca zerowe funkcji
2
f(x) = sinx , dla a勿(-鹉勷, -1) 瑞(1, + 膭) nie ma rozwi膮za艅,
佛 r贸wnanie cosx = a , x勿R dla a =1 ma rozwi膮zania x = 2kp i k勿Z , dla a = -1 ma
rozwi膮zania x =餻 + 2kp = (1 + 2k)p i k勿Z , dla a = 0 rozwi膮zaniami s膮 miejsca zerowe
funkcji f(x) = cosx , dla a勿(-鹉勷, -1) 瑞(1, + 膭) nie ma rozwi膮za艅.
Przyk艂ad.
Rozwi膮za膰 r贸wnania:
1
a) sinx = ,
2
b) ctg x = - 3 ,
c) tg(3x) =1.
Przyk艂ad.
Rozwi膮za膰 r贸wnania:
4 3
a) tg x + ctg x = - , x勿(0,2p),
3
b) sinx + cosx = 0 .
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 61
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Zadania
1 鲳
zad. 1) Sprawdzi膰, czy podana r贸wno艣膰: (1-餭osa)鹉囸 1 + 黟 = sina jest to偶samo艣ci膮
琊
sina tga
艁 艂
trygonometryczn膮. Poda膰 konieczne za艂o偶enia.
11 3
鲳
zad. 2) Wiedz膮c, 偶e ctg x = i x勿膰餻 , p wyznaczy膰 warto艣ci pozosta艂ych funkcji
琊 黟
60 2
艁 艂
trygonometrycznych.
zad. 3) Rozwi膮za膰 r贸wnania:
p
鲳
a) 2cos膰2x - = 3 ,
琊 黟
2
艁 艂
x
b) 3 tg膰 鲳 = 1, x勿[-餻 ,p餧,
琊 黟
3
艁 艂
c) sin2(3x)+ 0,5cos(3x)=1,
d) sin2 x -2sinxcosx + cos2 x = 0 ,
e) sin(2x)-2sinx = 0.
zad. 4) Rozwi膮za膰 nier贸wno艣ci:
1
a) sinx < ,
2
2
b) cosx 艂 ,
2
c) tg x > 3 ,
d) ctg x 艁1 .
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 62
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Zadania do samodzielnego rozwi膮zania
zad. 1) Wiedz膮c, 偶e tga = 2 obliczy膰 warto艣ci pozosta艂ych funkcji trygonometrycznych dla
3p
鲳
a 勿膰餻 , .
琊 黟
2
艁 艂
Odpowiedz:
2 5 5 1
sinx = - , cosx = - , ctg x = .
5 5 2
24 p
鲳
zad. 2) Obliczy膰 sin(2x) wiedz膮c, 偶e sinx = i x勿膰 ,p .
琊 黟
25 2
艁 艂
Odpowiedz:
336
- .
625
zad. 3) Rozwi膮za膰 r贸wnania:
2
a) cosx = - , x勿[-2p ,2p ],
2
b) tg(3x) =1,
p p 3
鲳 艂
c) cos膰2x + = 1 , x勿轲- , p .
琊 黟
臋 艣
3 2 2
艁 艂 腽
Odpowiedz:
7 3 3 7
a) x勿祓- p , - p , p , p ,
眇 偶
4 4 4 4
铕
p kp
b) x = + , k勿Z ,
12 3
5
c) x勿祓 p .
眇 偶
6
铕
zad. 4) Rozwi膮za膰 r贸wnania:
a) 2sin2 x + sinx -1 = 0,
b) sin2 x - 3cosx -3= 0,
c) ctg3x = 3ctg x , x勿(0,p),
d) 22sinx - 3 = 2 3 ,
e) cos(2x)- sin(2x)+ 1 = 0, x勿[-餻 ,p餧.
Odpowiedz:
p p 5
a) x = - +2kp 陴 x = +2kp 陴 x = p +2kp , k 勿Z ,
2 6 6
b) x = (2k +1)p , k勿Z ,
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 63
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
p p 5
c) x勿祓 , , p ,
眇 偶
6 2 6
铕
d) x = kp , k 勿Z ,
3 p p p
e) x 勿祓- p , - , , .
眇 偶
4 2 4 2
铕
zad. 5) Dla jakich warto艣ci parametru m勿R r贸wnanie:
2
a) cos(3x) = ,
m
b) m2(1 - sinx) - 4m + sinx +1 = 0 ma rozwi膮zania?
Odpowiedz:
a) m勿(-鹉勷, - 2]瑞[2, + 膭) ,
1
艂
b) m勿轲0, 瑞[2, + 膭) .
臋
2艣
腽
zad. 6) Rozwi膮za膰 nier贸wno艣ci:
3
a) sinx 艂 ,
2
1
b) cosx < ,
2
3
c) tgx 艁 ,
3
d) ctgx > - 3 .
Odpowiedz:
p 2
艂
a) x勿轲 + 2kp , p + 2kp , k勿Z ,
臋 艣
3 3
腽
p 5
鲳
b) x勿膰 + 2kp , p + 2kp , k勿Z ,
琊 黟
3 3
艁 艂
p p
艂
c) x勿膰- + kp , + kp , k勿Z ,
琊
艣
2 6
艁
2
鲳
d) x 勿膰餶p , p + kp , k勿Z .
琊 黟
3
艁 艂
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 64
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
IS Matematyka C S 03IS Matematyka C S 02 zbiorysuperkid matematyka 1 06IS Matematyka C S 4 rownania rozniczkoweIS Matematyka C S 01 logikaIS Matematyka W S 4 rownania rozniczkoweIS Matematyka C S 04 f kwadratowaIS Matematyka C S 05 wielomiany f wymiernaFIDE Trainers Surveys 2014 06 29, Susan Polgar The Game Is Not Over Until It Is Overmatematyka trenig 06 ASHSpec 06 6402C25 What Auditing Is and What It Isn tJapanese Is Possible Lesson 06CKE 06 Oryginalny arkusz maturalny 1 ZP Matematykawi臋cej podobnych podstron