IS Matematyka C S 06 f trygonometryczne


Wprowadzenie do matematyki
Materia艂y do zaj臋膰 (6):
Funkcje elementarne.
佛 Funkcje trygonometryczne.
Materia艂y przygotowane w ramach projektu  Uruchomienie
unikatowego kierunku studi贸w Informatyka Stosowana odpowiedzi膮
na zapotrzebowanie rynku pracy ze 艣rodk贸w Programu Operacyjnego
Kapita艂 Ludzki wsp贸艂finansowanego ze 艣rodk贸w Europejskiego
Funduszu Spo艂ecznego nr umowy UDA  POKL.04.01.01-00-011/09-00
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
9. Funkcje trygonometryczne.
Podstawowe w艂asno艣ci funkcji: f(x) = sinx , x勿R
佛 -1艁 sinx 艁1,
佛 sin( = -餾inx ,
-饃)
佛 sin( + 2kp) = sinx dla k勿Z ,
x
佛 sinx = 0 垧 x = kp dla k勿Z .
Podstawowe w艂asno艣ci funkcji: f(x) = cos x , x勿R
佛 -1艁 cosx 艁1,
佛 cos(-饃) = cosx ,
佛 cos(x + 2kp) = cosx dla k勿Z ,
p
佛 cosx = 0 垧 x = + kp dla k勿Z .
2
Dziedzin膮 funkcji f(x) = cosx jest zbi贸r liczb rzeczywistych, zbiorem warto艣ci jest
przedzia艂 [-1,1]. Jest to funkcja parzysta i okresowa o okresie podstawowym 2p . Ma
p
niesko艅czenie wiele miejsc zerowych, x = + kp dla k勿Z .
2
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 58
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
p
Podstawowe w艂asno艣ci funkcji: f(x) = tg x , x 膮 + kp dla k勿Z
2
佛 tg(-饃) = -餿gx ,
佛 tg(x +餶p) = tgx dla k勿Z ,
佛 tgx = 0 垧 x = kp dla k勿Z .
Podstawowe w艂asno艣ci funkcji: f(x) = ctg x , x 膮 kp dla k勿Z
佛 ctg(-饃) = -餭tgx ,
佛 ctg(x + kp) = ctgx dla k勿Z ,
p
佛 ctg x = 0 垧 x = + kp dla k勿Z .
2
kp
Dziedzin膮 funkcji f(x) = ctg x jest zbi贸r {饃勿R: x `" dla k勿Z}, czyli suma
mnogo艣ciowa przedzia艂贸w (餶p ,p + kp ), k勿Z , zbiorem warto艣ci jest zbi贸r R. Jest to funkcja
nieparzysta, okresowa o okresie podstawowym p oraz malej膮ca w ka偶dym z przedzia艂贸w
p
(餶p ,p + kp), k勿Z . Ma niesko艅czenie wiele miejsc zerowych, x = + kp dla k勿Z .
2
Wykres funkcji ma asymptoty pionowe o r贸wnaniach x = kp dla k勿Z .
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 59
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Warto艣ci funkcji trygonometrycznych dla wybranych k膮t贸w
x
p p p p
0
6 4 3 2
y
1
2 3
y = sinx
0 1
2
2 2
1
3 2
y = cosx
1 0
2
2 2
3
y = tg x
0 1 nie istnieje
3
3
3
y = ctgx
nie istnieje 1 0
3
3
Podstawowe w艂asno艣ci dla x勿R :
佛 sin2 x + cos2 x =1,
sinx p
佛 tg x = dla x 膮 + kp , k勿Z ,
cosx 2
cosx
佛 ctg x = dla x 膮 kp , k勿Z ,
sinx
佛 sin2x =2sinxcosx ,
佛 cos2x = cos2 x - sin2 x .
Z przedstawionych w艂asno艣ci wynikaj膮 zale偶no艣ci:
p
佛 tgx尊ctgx =1 dla x 膮 kp i x 膮 + kp i k勿Z ,
2
佛 cos2x =1 - 2sin2 x oraz cos2x = 2cos2 x -1 .
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 60
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
W艂asno艣ci:
佛 Je偶eli x0 jest jednym z rozwi膮za艅 r贸wnania sinx = a , a勿[-1,1], to dla ka偶dego x勿R
sinx = a 垧 (饃 = x0 + 2kp 陴 x = (p - x0) + 2kp), k勿Z .
佛 Je偶eli x0 jest jednym z rozwi膮za艅 r贸wnania cosx = a , a勿[-1,1], to dla ka偶dego x勿R
cosx = a 垧 (饃 = x0 + 2kp 陴 x = -饃0 + 2kp), k勿Z .
佛 Je偶eli x0 jest jednym z rozwi膮za艅 r贸wnania tg x = a , a勿R , to dla ka偶dego
p
x 膮 + kp , k勿Z , tgx = a 垧 x = x0 +餶p , k勿Z .
2
佛 Je偶eli x0 jest jednym z rozwi膮za艅 r贸wnania ctg x = a , a勿R , to dla ka偶dego x 膮 kp ,
k勿Z , ctgx = a 垧 x = x0 +餶p , k勿Z .
Powy偶sze zale偶no艣ci s膮 podstaw膮 rozwi膮zywania r贸wna艅 i nier贸wno艣ci
trygonometrycznych.
Przypadki szczeg贸lne:
p
佛 r贸wnanie sinx = a , x勿R dla a =1 ma rozwi膮zania x = + 2kp i k勿Z , dla a = -1 ma
2
p
rozwi膮zania x = - + 2kp i k勿Z , dla a = 0 rozwi膮zaniami s膮 miejsca zerowe funkcji
2
f(x) = sinx , dla a勿(-鹉勷, -1) 瑞(1, + 膭) nie ma rozwi膮za艅,
佛 r贸wnanie cosx = a , x勿R dla a =1 ma rozwi膮zania x = 2kp i k勿Z , dla a = -1 ma
rozwi膮zania x =餻 + 2kp = (1 + 2k)p i k勿Z , dla a = 0 rozwi膮zaniami s膮 miejsca zerowe
funkcji f(x) = cosx , dla a勿(-鹉勷, -1) 瑞(1, + 膭) nie ma rozwi膮za艅.
Przyk艂ad.
Rozwi膮za膰 r贸wnania:
1
a) sinx = ,
2
b) ctg x = - 3 ,
c) tg(3x) =1.
Przyk艂ad.
Rozwi膮za膰 r贸wnania:
4 3
a) tg x + ctg x = - , x勿(0,2p),
3
b) sinx + cosx = 0 .
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 61
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Zadania
1 鲳
zad. 1) Sprawdzi膰, czy podana r贸wno艣膰: (1-餭osa)鹉囸 1 + 黟 = sina jest to偶samo艣ci膮

sina tga
艁 艂
trygonometryczn膮. Poda膰 konieczne za艂o偶enia.
11 3

zad. 2) Wiedz膮c, 偶e ctg x = i x勿膰餻 , p wyznaczy膰 warto艣ci pozosta艂ych funkcji
琊 黟
60 2
艁 艂
trygonometrycznych.
zad. 3) Rozwi膮za膰 r贸wnania:
p

a) 2cos膰2x - = 3 ,
琊 黟
2
艁 艂
x
b) 3 tg膰 鲳 = 1, x勿[-餻 ,p餧,
琊 黟
3
艁 艂
c) sin2(3x)+ 0,5cos(3x)=1,
d) sin2 x -2sinxcosx + cos2 x = 0 ,
e) sin(2x)-2sinx = 0.
zad. 4) Rozwi膮za膰 nier贸wno艣ci:
1
a) sinx < ,
2
2
b) cosx 艂 ,
2
c) tg x > 3 ,
d) ctg x 艁1 .
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 62
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
Zadania do samodzielnego rozwi膮zania
zad. 1) Wiedz膮c, 偶e tga = 2 obliczy膰 warto艣ci pozosta艂ych funkcji trygonometrycznych dla
3p

a 勿膰餻 , .
琊 黟
2
艁 艂
Odpowiedz:
2 5 5 1
sinx = - , cosx = - , ctg x = .
5 5 2
24 p

zad. 2) Obliczy膰 sin(2x) wiedz膮c, 偶e sinx = i x勿膰 ,p .
琊 黟
25 2
艁 艂
Odpowiedz:
336
- .
625
zad. 3) Rozwi膮za膰 r贸wnania:
2
a) cosx = - , x勿[-2p ,2p ],
2
b) tg(3x) =1,
p p 3
鲳 艂
c) cos膰2x + = 1 , x勿轲- , p .
琊 黟
臋 艣
3 2 2
艁 艂 腽 
Odpowiedz:
7 3 3 7

a) x勿祓- p , - p , p , p ,
眇 偶
4 4 4 4
铕 
p kp
b) x = + , k勿Z ,
12 3
5

c) x勿祓 p .
眇 偶
6
铕 
zad. 4) Rozwi膮za膰 r贸wnania:
a) 2sin2 x + sinx -1 = 0,
b) sin2 x - 3cosx -3= 0,
c) ctg3x = 3ctg x , x勿(0,p),
d) 22sinx - 3 = 2 3 ,
e) cos(2x)- sin(2x)+ 1 = 0, x勿[-餻 ,p餧.
Odpowiedz:
p p 5
a) x = - +2kp 陴 x = +2kp 陴 x = p +2kp , k 勿Z ,
2 6 6
b) x = (2k +1)p , k勿Z ,
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 63
Materia艂y pomocnicze dla student贸w
Wprowadzenie do matematyki
p p 5

c) x勿祓 , , p ,
眇 偶
6 2 6
铕 
d) x = kp , k 勿Z ,
3 p p p

e) x 勿祓- p , - , , .
眇 偶
4 2 4 2
铕 
zad. 5) Dla jakich warto艣ci parametru m勿R r贸wnanie:
2
a) cos(3x) = ,
m
b) m2(1 - sinx) - 4m + sinx +1 = 0 ma rozwi膮zania?
Odpowiedz:
a) m勿(-鹉勷, - 2]瑞[2, + 膭) ,
1

b) m勿轲0, 瑞[2, + 膭) .

2艣
腽 
zad. 6) Rozwi膮za膰 nier贸wno艣ci:
3
a) sinx 艂 ,
2
1
b) cosx < ,
2
3
c) tgx 艁 ,
3
d) ctgx > - 3 .
Odpowiedz:
p 2

a) x勿轲 + 2kp , p + 2kp , k勿Z ,
臋 艣
3 3
腽 
p 5

b) x勿膰 + 2kp , p + 2kp , k勿Z ,
琊 黟
3 3
艁 艂
p p

c) x勿膰- + kp , + kp , k勿Z ,


2 6
艁 
2

d) x 勿膰餶p , p + kp , k勿Z .
琊 黟
3
艁 艂
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 64


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IS Matematyka C S 03
IS Matematyka C S 02 zbiory
superkid matematyka 1 06
IS Matematyka C S 4 rownania rozniczkowe
IS Matematyka C S 01 logika
IS Matematyka W S 4 rownania rozniczkowe
IS Matematyka C S 04 f kwadratowa
IS Matematyka C S 05 wielomiany f wymierna
FIDE Trainers Surveys 2014 06 29, Susan Polgar The Game Is Not Over Until It Is Over
matematyka trenig 06 A
SHSpec 06 6402C25 What Auditing Is and What It Isn t
Japanese Is Possible Lesson 06
CKE 06 Oryginalny arkusz maturalny 1 ZP Matematyka

wi臋cej podobnych podstron