1 Zbiory. Funkcja kwadratowa. Wzory Viete a. Równania i
nierówności stopnia drugiego z parametrem.
1
Przygotowa Izabela Wardach
la
ZBIORY. Definicje:
Zbiór - poj¸ pierwotne. Jeżeli a " A to a nazywamy elementem zbioru A. Symbolem
ecie
{a1, a2, ..., an} , ai= aj dla i = j, oznaczamy zbiór o n elementach: a1,a2,...,an. Jest to

zbiór skończony, n-elementowy. Zbiór jednoelementowy, oznaczany jako {a}, zbiór,
do którego należy dok jeden element a. Zbiór pusty - " - zbiór, do którego nie należy
ladnie
żaden element.
Równość zbiorów A = B
A = B Ò! '"x(x " A Ô! x " B) (1)
Suma zbiorów A *" B
[a " (A *" B) Ò! [(a " A (" a " B)] (2)
Iloczyn zbiorów A )" B
[a " (A )" B) Ò! [(a " A '" a " B)] (3)
Różnica zbiorów A - B
[a " (A - B) Ò! [(a " A '" a " B)] (4)
/
Inkluzja A ‚" B
A ‚" B Ô! '"x[x " A Ò! x " B] (5)
Dope A zbioru A przestrzeni X
lnienie
a " A Ô! [(a " X) '" (a " A)] (6)
/
Przyk praw rachunku zbiorów:
lady
1. przemienność dodawania
A *" B = B *" A
2. przemienność mnożenia
A )" B = B )" A
3. laczność dodawania
¸
A *" (B *" C) = (A *" B) *" C
4. laczność mnożenia
¸
A )" (B )" C) = (A )" B) )" C
1
na podstawie:
1. W.Leksiński, B.Macukow, W. Żakowski Matematyka dla maturzystów - definicje, twierdzenia, wzory,
przyk WNT, Warszawa 1994.
lady,
2. W.Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,
Warszawa 1994.
1
5. rozdzie mnożenia wzgl¸ dodawania
lność edem
A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C)
6. rozdzie dodawania wzgl¸ mnożenia
lność edem
A *" (B )" C) = (A *" B) )" (A *" C)
7. prawa de Morgana dla zbiorów
(A *" B) = A )" B
(A )" B) = A *" B
FUNKCJA KWADRATOWA.
Funkcj¸
e
y = ax2 + bx + c, x " R, a = 0, b, c - dane (7)

nazywamy funkcj¸ kwadratow¸ także funkcj¸ drugiego stopnia lub trójmianem kwadra-
a a a
towym.
Rozwi¸ równania kwadratowego:
azania
ax2 + bx + c = 0, (a = 0)

Wyróżnik trójmianu kwadratowego: " = b2 - 4ac
" "
-b- " -b+ "
" " > 0 dwa rozwiazania: x1 = , x2 = ,
¸
2a 2a
-b
" " = 0 jedno rozwiazanie: x0 = ,
¸
2a
" " < 0 brak rozwiazań.
¸
Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego:
" jeśli trójmian ma dwa pierwiastki x1 i x2, to:
y = a(x - x1)(x - x1),
" jeśli trójmian ma jeden pierwiastek x0, to:
y = a(x - x0)2,
" jeśli trójmian nie ma pierwiastków, to nie można go zapisać w postaci iloczynowej.
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego:
" y = a(x - p)2 + q
-b -"
p = , q = .
2a 4a
Uwaga: Wykres funkcji y = a(x - p)2 + q otrzymamy rysujac wykres y = ax2 i przesuwajac
¸ ¸
go nast¸ o wektor = [p, q]
epnie u
Wzory Viete a:
jeśli równanie ax2 + bx + c = 0 (a = 0) ma dwa rozwiazania x1 i x2, to:
¸
2
-b c
x1 + x2 = , x1x2 = .
a a
NierównanoÅ›ci kwadratowe z jedn¸ niewiadom¸ (nierównoÅ›ci II-go stopnia)
a a
ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c d" 0, ax2 + bx + c e" 0, a = 0

zbiorem rozwiazań takich nierówności jest:
¸
" dla ax2 + bx + c < 0, a > 0, " > 0, x1 < x2
x " (x1; x2)
" dla ax2 + bx + c d" 0, a > 0, " > 0, x1 < x2
x " x1; x2
" dla ax2 + bx + c < 0, a > 0, " d" 0,
x " "
" dla ax2 + bx + c d" 0, a > 0, " = 0,
x = x0
" dla ax2 + bx + c d" 0, a > 0, " < 0,
x " "
" dla ax2 + bx + c < 0, a < 0, " > 0, x1 < x2
x " (-", x1) *" (x2, +")
" dla ax2 + bx + c d" 0, a < 0, " > 0, x1 < x2
x " (-", x1 *" x2, +")
" dla ax2 + bx + c < 0, a < 0, " < 0,
x " R
" dla ax2 + bx + c < 0, a < 0, " = 0,
x " (-", x0) *" (x0, +")
" dla ax2 + bx + c d" 0, a < 0, " = 0,
x " R
" dla ax2 + bx + c d" 0, a < 0, " < 0,
x " R
" dla ax2 + bx + c > 0, a > 0, " > 0, x1 < x2
x " (-", x1) *" (x2, +")
" dla ax2 + bx + c e" 0, a > 0, " > 0, x1 < x2
x " (-", x1 *" x2, +")
" dla ax2 + bx + c > 0, a > 0, "Å»
0,
x " (-", x0) *" (x0, +")
" dla ax2 + bx + c > 0, a > 0, "0,
x " R
3
" dla ax2 + bx + c e" 0, a > 0, " = 0,
x = x0
" dla ax2 + bx + c e" 0, a > 0, " < 0,
x " R
" dla ax2 + bx + c > 0, a < 0, " > 0, x1 < x2
x " (x1, x2)
" dla ax2 + bx + c e" 0, a < 0, " > 0, x1 < x2
x " x1, x2
" dla ax2 + bx + c > 0, a < 0, " d" 0,
x " "
" dla ax2 + bx + c e" 0, a < 0, " = 0,
x = x0
" dla ax2 + bx + c e" 0, a < 0, " < 0,
x " "
4