materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl Kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest ujemny, dlatego to równanie nie ma rozwiązania.
Równanie kwadratowe
2x2 - 16 = 0
ax2 + bx + c = 0 a = 0

2x2 = 16 : 2
Najpierw liczÄ™ " (delta).
x2 = 8
" = b2 - 4ac
" "
x = 8 lub x = - 8
" "
Pierwiastki równania kwadratowego liczę w zależności od znaku delty.
x = 4 · 2 x = - 4 · 2
" "
x = 2 2 x = -2 2
" "
-b - " -b + "
" > 0 dwa pierwiastki x1 = x2 =
2a 2a
x2 = 0
-b
" = 0 jeden pierwiastek x1 =
x = 0
2a
(podwójny)
rozwiązywanie równań kwadratowych
" < 0 nie ma pierwiastków
Rozwiąż prościej niż ze wzorów.
Pierwiastki równania ax2 + bx + c = 0 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej
y = ax2 + bx + c.
x2 - 3x = 0 - 2x2 + 8x = 0 3x2 - 5x = 0 2x2 + x = 0
RozwiÄ…zanie:
Rozwiąż prościej niż ze wzorów.
x2 - 3x = 0
x(x - 3) = 0
x2 - 4 = 0 x2 + 9 = 0 2x2 - 16 = 0 x2 = 0
x = 0 lub x = 3
RozwiÄ…zanie:
x2 - 4 = 0
-2x2 + 8x = 0
x2 = 4
-2x(x - 4) = 0
x = 2 lub x = -2
x = 0 lub x = 4
x2 + 9 = 0
3x2 - 5x = 0
5
x2 = -9 3x(x - ) = 0
3
 matematyka.pisz.pl  1  matematyka.pisz.pl 
5
x = 0 lub x =
3
równania kwadratowe
2x2 + x = 0
1
2x(x + ) = 0
Rozwiąż równanie:
2
1
2x2 + 3x - 1 = 0
x = 0 lub x = -
2
RozwiÄ…zanie:
2x2 + 3x-1 = 0
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
rozwiązywanie równań kwadratowych
a = 2 b = 3 c = -1
" = 32 - 4 · 2 · (-1) = 9 + 8 = 17
Rozwiąż równanie:
" "
" = 17
x2 - 4x - 5 = 0
RozwiÄ…zanie:
" " " "
x2-4x-5 = 0 -3 - 17 -3 - 17 -3 + 17 -3 + 17
x1 = = x2 = =
2 · 2 4 2 · 2 4
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
a = 1 b = -4 c = -5
" = (-4)2 - 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36
" " równania kwadratowe
" = 36 = 6
-(-4) - 6 4 - 6 -2 -(-4) + 6 4 + 6 10
x1 = = = = -1 x2 = = = = 5
Rozwiąż równanie:
2 · 1 2 2 2 · 1 2 2
2x - x(x + 3) = (x - 1)2 - 2
RozwiÄ…zanie:
równania kwadratowe
2x - x(x + 3) = (x - 1)2 - 2
2x - x2 - 3x = x2 - 2x + 1 - 2
Rozwiąż równanie:
-x2 - x = x2 - 2x - 1
x2 + 6x + 9 = 0
-x2 - x - x2 + 2x + 1 = 0
RozwiÄ…zanie:
-2x2 + x + 1 = 0
x2 + 6x + 9 = 0
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
a = 1 b = 6 c = 9
" = 12 - 4 · (-2) · 1 = 1 + 8 = 9
" "
" = 62 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0
" = 9 = 3
-1 - 3 -4 -1 + 3 2 1
-6 -6
x1 = = = 1 x2 = = = -
x1 = = = -3
2 · (-2) -4 2 · (-2) -4 2
2 · 1 2
 matematyka.pisz.pl  2  matematyka.pisz.pl 
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
równania kwadratowe
" = (-5)2 - 4 · (-2) · (-2) = 25 - 16 = 9
" "
" = 9 = 3
-(-5) - 3
Rozwiąż równanie:
-(-5) + 3
x1 =
x2 =
2 · (-2)
(x - 3)(x + 2) = 2x(x - 2) - 2x
2 · (-2)
RozwiÄ…zanie:
5 - 3 2
5 + 3 8
x1 = =
x2 = =
-4 -4
-4 -4
(x - 3)(x + 2) = 2x(x - 2) - 2x
1
x2 + 2x - 3x - 6 = 2x2 - 4x - 2x
x1 = -
x2 = -2
2
x2 - x - 6 = 2x2 - 6x
x2 - x - 6 - 2x2 + 6x = 0
równania kwadratowe
-x2 + 5x - 6 = 0
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
Rozwiąż równanie:
" = 52 - 4 · (-1) · (-6) = 25 - 24 = 1 (x - 1)3 - (x + 2)3 = -(x - 3)2
" "
" = 1 = 1 RozwiÄ…zanie:
(x - 1)3 - (x + 2)3 = -(x - 3)2
-5 - 1 -6 -5 + 1 -4
x1 = = = 3 x2 = = = 2
x3 - 3x2 + 3x - 1 - (x3 + 6x2 + 12x + 8) = -(x2 - 6x + 9)
2 · (-1) -2 2 · (-1) -2
x3 - 3x2 + 3x - 1 - x3 - 6x2 - 12x - 8 = -x2 + 6x - 9
-9x2 - 9x - 9 = -x2 + 6x - 9
-9x2 - 9x - 9 + x2 - 6x + 9 = 0
równania kwadratowe
-8x2 - 15x = 0
15
-8x(x + ) = 0
8
Rozwiąż równanie:
15 7
x1 = 0 x2 = - = -1
8 8
5 - (x - 3)(x + 3) = (x + 4)2 - 3x
RozwiÄ…zanie:
równania kwadratowe
5 - (x - 3)(x + 3) = (x + 4)2 - 3x
Rozwiąż równanie:
5 - (x2 - 9) = x2 + 8x + 16 - 3x
x4 - 5x2 + 4 = 0
5 - x2 + 9 = x2 + 5x + 16
RozwiÄ…zanie:
-x2 + 14 = x2 + 5x + 16
-x2 + 14 - x2 - 5x - 16 = 0 x4 - 5x2 + 4 = 0
-2x2 - 5x - 2 = 0 (x2)2 - 5x2 + 4 = 0
 matematyka.pisz.pl  3  matematyka.pisz.pl 
Wprowadzam zmiennÄ… pomocniczÄ… t = x2
nie ma rozwiÄ…zania lub x = -3 lub x = 3
t2 - 5t + 4 = 0
Odp. Rozwiązaniem równania są liczby -3, 3.
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
" = (-5)2 - 4 · 1 · 4 = 25 - 16 = 9
równania kwadratowe
" "
" = 9 = 3
-(-5) - 3 5 - 3 -(-5) + 3 5 + 3
t1 = = = 1 t2 = = = 4 Rozwiąż równanie:
2 · 1 2 2 · 1 2
x4 - 3x2 = 0
Mam t = x2, więc
RozwiÄ…zanie:
x4 - 3x2 = 0
x2 = 1 lub x2 = 4
x2(x2 - 3) = 0
x = -1 lub x = 1 lub x = -2 lub x = 2
" "
x2(x - 3)(x + 3) = 0
Odp. Rozwiązaniem równania są liczby -1, 1, -2, 2.
" "
równania kwadratowe
x1 = 0 x2 = 3 x3 = - 3
" "
Odp. Rozwiązaniem równania są liczby 0, 3, - 3.
Rozwiąż równanie:
x4 - 7x2 - 18 = 0
równania kwadratowe
RozwiÄ…zanie:
x4 - 7x2 - 18 = 0
Zadania + RozwiÄ…zania
(x2)2 - 7x2 - 18 = 0
Rozwiąż układy równań:

Wprowadzam zmiennÄ… pomocniczÄ… t = x2 y = x2 - 5x + 3 x2 + y2 = 5 xy = -10

y = -2x + 1 x + y = 1 x - y = 3
t2 - 7t - 18 = 0
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
Rozwiąż układ równań.
" = (-7)2 - 4 · 1 · 18 = 49 + 72 = 121
RozwiÄ…zanie:

" "
y = x2 - 5x + 3
" = 121 = 11
y = -2x + 1
-(-7) - 11 7 - 11 -(-7) + 11 7 + 11
t1 = = = -2 t2 = = = 9
metoda podstawiania
2 · 1 2 2 · 1 2
-2x + 1 = x2 - 5x + 3
Mam t = x2, więc
0 = x2 - 5x + 3 + 2x - 1
x2 = -2 lub x2 = 9 0 = x2 - 3x + 2
 matematyka.pisz.pl  4  matematyka.pisz.pl 
x2 - 3x + 2 = 0

x1 = -1 x2 = 2
równanie kwadratowe
Odp.
y1 = 2 y2 = -1
" = (-3)2 - 4 · 1 · 2 = 9 - 8 = 1
" "
" = 1 = 1
Rozwiąż układ równań.
Å„Å‚ Å„Å‚
-(-3) - 1 2 -(-3) + 1 4
ôÅ‚ ôÅ‚
RozwiÄ…zanie:
òÅ‚ òÅ‚
x1 = = = 1 x2 = = = 2
2 · 1 2 2 · 1 2

ôÅ‚ ôÅ‚
xy = -10
ół ół
y1 = -2 · 1 + 1 = -2 + 1 = -1 y2 = -2 · 2 + 1 = -4 + 1 = -3
x - y = 3


xy = -10
x1 = 1 x2 = 2
Odp.

y1 = -1 y2 = -3
- y = 3 - x · (-1)

xy = -10
Rozwiąż układ równań.
y = -3 + x
RozwiÄ…zanie:


x(-3 + x) = -10
x2 + y2 = 5
y = -3 + x
x + y = 1
metoda podstawiania
x2 + y2 = 5
x(-3 + x) = -10
y = 1 - x
-3x + x2 = -10
metoda podstawiania
x2 - 3x + 10 = 0
x2 + (1 - x)2 = 5
równanie kwadratowe
x2 + 1 - 2x + x2 = 5
" = (-3)2 - 4 · 1 · 10 = 9 - 40 = -31
2x2 - 2x + 1 - 5 = 0
" < 0  równanie kwadratowe nie ma rozwiązania
2x2 - 2x - 4 = 0 / : 2
Odp. Układ równań nie ma rozwiązania.
x2 - x - 2 = 0
równanie kwadratowe
wzory Viete a
" = (-1)2 - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9
" "
Jeżeli funkcja kwadratowa ma pierwiastki, to prawdziwe są dla nich następujące wzory Viete a:
" = 9 = 3
b
Å„Å‚ Å„Å‚
x1 + x2 = -
-(-1) - 3 -2 -(-1) + 3 4
ôÅ‚ ôÅ‚
a
òÅ‚ òÅ‚
x1 = = = -1 x2 = = = 2
2 · 1 2 2 · 1 2
c
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x1 · x2 =
y1 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 y2 = 1 - 2 = -1
a
 matematyka.pisz.pl  5  matematyka.pisz.pl 
RozwiÄ…zanie:
a) wyznacz współczynnik a i b
Nie wyznaczając rozwiązań x1, x2 równania 3x2 - 6x - 3 = 0 oblicz wartość wyrażeń:
f(x) = ax2 + bx - 3
1 1
x2 + x2 |x1 - x2| + x3 + x3
1 2
x1 x2 1 2 Korzystam ze wzorów Viéta:
c
RozwiÄ…zanie: x1 · x2 =
a
Na początku sprawdzam czy równanie 3x2 - 6x - 3 ma pierwiastki.
-3
-3 =
" = (-6)2 - 4 · 3 · (-3) = 36 + 36 = 72 > 0
a
Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa pierwiastki.
a = 1
Na podstwie wzorów Viete a:
f(x) = x2 + bx - 3
-6
x1 + x2 = - = 2
3
Najmniejsza wartość dana jest wzorem:
-3
"
x1 · x2 = = -1
q = -
3
4a
Korzystam ze wzorów skróconego mnożenia.
b2 - 4ac
-4 = - · (-4)
4 · 1
x2 + x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 22 - 2 · (-1) = 6
1 2
16 = b2 - 4 · 1 · (-3)


|x1 - x2| = (x1 - x2)2 = x2 - 2x1x2 + x2 = x2 + x2 - 2x1x2 =
1 2 1 2
16 = b2 - 4 · 1 · (-3)
" "
= 6 - 2 · (-1) = 8 = 2 2
16 = b2 + 12
b2 = 4
1 1 x2 x1 x2 + x1 x1 + x2 2
+ = + = = = = -2
x1 x2 x1x2 x1x2 x1x2 x1x2 -1
Przy założeniu b > 0 mam rozwiązanie:
x3 + x3 = (x1 + x2)(x2 - x1x2 + x2) = (x1 + x2)(x2 + x2 - x1x2) =
1 2 1 2 1 2
b = 2
= 2(6 - (-1)) = 2 · 7 = 14
f(x) = x2 + 2x - 3
b) miejsca zerowe funkcji f.
Funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx - 3, gdzie b > 0 posiada dwa różne miejsca zerowe,
" "
których iloczyn jest równy (-3). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą
" = 22 - 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16 " = 16 = 4
(-4), wyznacz:
a) współczynnik a i b,
-2 - 4 -6 -2 + 4 2
x1 = = = -3 x2 = = = 1
b) miejsca zerowe funkcji f.
2 2 2 2
 matematyka.pisz.pl  6  matematyka.pisz.pl 
WykorzystujÄ™ wzory na p i q.
Odp. Funkcja f(x) = x2 + 2x - 3 ma miejsca zerowe x1 = -3, x2 = 1.
-4 -28
p = = -2 q = = -7
2 · 1 4 · 1
Postać ogólna, kanoniczna, iloczynowa
Postać kanoniczna:
2
y = x - (-2) + (-7)
Postać ogólna: przykłady:
y = (x + 2)2 - 7
y = ax2 + bx + c y = 3x2 + 5x - 2
y = 4x2 + 6x
y = x2 + 5
Sprowadz
do postaci kanonicznej:
y = -2x2 + 8x
Postać kanoniczną otrzymuję licząc najpierw deltę, a następnie p i q.
RozwiÄ…zanie:
y = a(x - p)2 + q y = 6(x + 3)2 - 4
LiczÄ™ deltÄ™:
y = -2(x - 5)2
a = -2 b = 8 c = 0
-b -"
p = q = y = x2 + 3
2a 4a
" = 82 - 4 · (-2) · 0 = 64 - 0 = 64
Z postaci kanonicznej łatwo odczytać
WykorzystujÄ™ wzory na p i q.
współrzędne wierzchołka paraboli.
-8 -8 -64 -64
p = = = 2 q = = = 8
2 · (-2) -4 4 · (-2) -8
Postać iloczynową otrzymuję z postaci ogólnej po obliczeniu pierwiastków. Jej wygląd
zależy od delty.
Postać kanoniczna:
y = -2(x - 2)2 + 8
" > 0 y = a(x - x1)(x - x2) y = 2(x - 3)(x + 4)
y = x(x + 5)
" = 0 y = a(x - x1)2 y = (x - 3)2
Sprowadz
do postaci kanonicznej:
y = 4x2
" < 0 nie istnieje
y = 3(x - 1)(x + 4)
RozwiÄ…zanie:
Najpierw sprowadzam do postaci ogólnej:
Sprowadz
do postaci kanonicznej:
y = x2 + 4x-3
3(x - 1)(x + 4) = 3(x2 + 4x - x - 4) = 3(x2 + 3x - 4) = 3x2 + 9x-12
RozwiÄ…zanie:
LiczÄ™ deltÄ™:
LiczÄ™ deltÄ™:
a = 3 b = 9 c = -12
a = 1 b = 4 c = -3
" = 42 - 4 · 1 · (-3) = 16 + 12 = 28 " = 92 - 4 · 3 · (-12) = 81 + 144 = 225
 matematyka.pisz.pl  7  matematyka.pisz.pl 
WykorzystujÄ™ wzory na p i q. Korzystam ze wzoru a2 - b2 = (a - b)(a + b):
" "
-9 -225
3 -75 3
y = 3(x - 2)(x + 2)
p = = - q = = = -18
2 4 4
2 · 3 4 · 3
Postać kanoniczna:
2
3 3
y = 3 x - - + -18
Sprowadz
do postaci iloczynowej:
2 4
y = 5x2 - 2x
2 3
3
y = 3 x + - 18
2 4
RozwiÄ…zanie:
Prościej jest nie liczyć z delty, tylko przekształcać:
Sprowadz
do postaci iloczynowej:
y = 5x2 - 2x
y = x2 + 2x-8

2
y = 5x x -
RozwiÄ…zanie:
5
LiczÄ™ deltÄ™:
a = 1 b = 2 c = -8
Sprowadz
do postaci ogólnej:
" = 22 - 4 · 1 · (-8) = 4 + 32 = 36
y = 2(x + 3)2 - 4
" "
" = 36 = 6
RozwiÄ…zanie:
LiczÄ™ pierwiastki.
Korzystam ze wzoru (a + b)2 = a2 + 2ab + b2:
-2 - 6 -2 + 6
x1 = x2 =
2 · 1 2 · 1
y = 2(x2 + 2 · x · 3 + 32) - 4
-8 4
y = 2(x2 + 6x + 9) - 4
x1 = x2 =
2 2
y = 2x2 + 12x + 18 - 4
x1 = -4 x2 = 2
y = 2x2 + 12x + 14
Postać iloczynowa:

y = x - (-4) (x - 2)
Sprowadz
do postaci ogólnej:
y = (x + 4)(x - 2)
y = 2(x - 3)(x + 4)
RozwiÄ…zanie:
Sprowadz
do postaci iloczynowej:
y = 3x2 - 6 2(x - 3)(x + 4) = 2(x2 + 4x - 3x - 12) = 2(x2 + x - 12) = 2x2 + 2x - 24
RozwiÄ…zanie:
y = 2x2 + 2x - 24
Prościej jest nie liczyć z delty, tylko przekształcać:
y = 3(x2 - 2)
 matematyka.pisz.pl  8  matematyka.pisz.pl 
Wykres funkcji kwadratowej Drugą współrzędną policzę ze wzoru funkcji.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
yw = 02 - 4 = -4
Położenie wykresu względem osi x zależy od delty i a.
y = ax2 + bx + c
Współrzędne wierzchołka: W = (0, -4)
Zaznaczam pierwiastki 2, -2 i wierzchołek w układzie współrzędnych i rysuję wykres funkcji.
a > 0 a > 0 a > 0
" < 0 " = 0 " > 0
y
x x x
-2 2 x
x
x x
a < 0
a < 0 a < 0
-4
" < 0
" = 0 " > 0
W
Współrzędne wierzchołka W (xw, yw) paraboli dane są wzorami:
-b -"
xw = yw =
2a 4a
Najłatwiej współrzędne wierzchołka odczytać z postaci kanonicznej.
rysowanie wykresu funkcji kwadratowej
Przykład:
y = 3(x - 5)2 + 4 W (5, 4)
y = 2(x + 3)2-1 W (-3, -1)
Narysuj wykres funkcji.
y = (x + 4)2 W (-4, 0)
y = x2 - 6x
y = x2-6 W (0, -6)
RozwiÄ…zanie:
y = x2 - 6x
y = x(x - 6)
Narysuj wykres funkcji.
y = x2 - 4
RozwiÄ…zanie:
Pierwiastki: x1 = 0 x2 = 6
y = x2 - 4
Liczę współrzędne wierzchołków, prościej niż ze wzorów. Pierwsza współrzędna wierzchołka
y = (x - 2)(x + 2)
funkcji kwadratowej to liczba jednakowo odległa od pierwiastków 0 i 6 czyli 3.
xw = 3
Pierwiastki: x1 = 2 x2 = -2
Liczę współrzędne wierzchołków, prościej niż ze wzorów. Pierwsza współrzędna wierzchołka
Drugą współrzędną policzę ze wzoru funkcji.
funkcji kwadratowej to liczba jednakowo odległa od pierwiastków 2 i -2 czyli 0.
xw = 0 yw = 32 - 6 · 3 = 9 - 18 = -9
 matematyka.pisz.pl  9  matematyka.pisz.pl 
Współrzędne wierzchołka: W = (3, -9) Współrzędne wierzchołka: W = (1, 2)
Zaznaczam pierwiastki 0, 6 i wierzchołek w układzie współrzędnych i rysuję wykres funkcji.
Zaznaczam pierwiastki 0, 2 i wierzchołek w układzie współrzędnych i rysuję wykres funkcji.
y
y
W
2
0 3 6 x
0 1 2 x
-9
W
rysowanie wykresu funkcji kwadratowej
rysowanie wykresu funkcji kwadratowej
Narysuj wykres funkcji.
Narysuj wykres funkcji.
y = -2x2 + 4x
y = x2 - 4x + 5
RozwiÄ…zanie:
y = -2x2 + 4x
RozwiÄ…zanie:
y = -2x(x - 2)
y = x2 - 4x + 5
Pierwiastki: x1 = 0 x2 = 2
Liczę współrzędne wierzchołków, prościej niż ze wzorów. Pierwsza współrzędna wierzchołka
funkcji kwadratowej to liczba jednakowo odległa od pierwiastków 0 i 2 czyli 1.
Liczę pierwszą współrzędną wierzchołka funkcji kwadratowej.
xw = 1
Drugą współrzędną policzę ze wzoru funkcji.
b -(-4) 4
xw = - = = = 2
yw = -2 · 12 + 4 · 1 = -2 + 4 = 2
2a 2 · 1 2
 matematyka.pisz.pl  10  matematyka.pisz.pl 
Liczę wartość funkcji dla liczb wokół 2 czyli dla 0, 1, 2, 3, 4 Liczę wartość funkcji dla liczb wokół 1,5 czyli dla 0; 1; 1,5; 2; 3.
f(0) = -2 · 02 + 6 · 0 + 7 = 7
f(0) = 02 - 4 · 0 + 5 = 5
f(1) = -2 · 12 + 6 · 1 + 7 = 11 x 0 1 1,5 2 3
f(1) = 12 - 4 · 1 + 5 = 2
f(1,5) = -2 · 1,52 + 6 · 1,5 + 7 = 11,5 y 7 11 11,5 11 7
x 0 1 2 3 4
f(2) = 22 - 4 · 2 + 5 = 1
f(2) = -2 · 22 + 6 · 2 + 7 = 11
y 5 2 1 2 5
f(3) = -2 · 32 + 6 · 3 + 7 = 7
y
f(3) = 32 - 4 · 3 + 5 = 2
f(4) = 42 - 4 · 4 + 5 = 5
y
2 x
x
1,5
rysowanie wykresu funkcji kwadratowej
rysowanie wykresu funkcji kwadratowej
Narysuj wykres funkcji. Narysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej własności:
y = x2 - 4x + 3
y = -2x2 + 6x + 7
RozwiÄ…zanie:
Sprowadzam funkcjÄ™ do postaci kanonicznej:
RozwiÄ…zanie:
y = x2 - 4x + 3
y = -2x2 + 6x + 7
" = (-4)2 - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4
Liczę pierwszą współrzędną wierzchołka funkcji kwadratowej. -(-4) 4 -4 -4
p = = = 2 q = = = -1
2 · 1 2 4 · 1 4
b -6 -6
xw = - = = = 1,5
y = (x - 2)2-1
2a 2 · (-2) -4
 matematyka.pisz.pl  11  matematyka.pisz.pl 
" = (-8)2 - 4 · (-2) · (-5) = 64 - 40 = 24
RysujÄ™ wykres y = x2 i przesuwam go o wektor [2, -1].
-(-8) 8 -24 -24
p = = = -2 q = = = 3
2 · (-2) -4 4 · (-2) -8
y
x -2 -1 0 1 2
y = -2(x - (-2))2 + 3
y 4 1 0 1 4
y = -2(x + 2)2 + 3
RysujÄ™ wykres y = -2x2 i przesuwam go o wektor [-2, 3].
2
x
-1
y
3
x -2 -1 0 1 2
Dziedzina: D = R
y -8 -2 0 -2 -8
-2
x
Zbiór wartości: ZW = -1, ")
Miejsce zerowe: x1 = 1 lub x2 = 3
Monotoniczność: funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejÄ…ca w przedziale (-", 2
rosnÄ…ca w przedziale 2, ")
Wierzchołek: W (2, -1)
Najmniejsza wartość: ymin = -1 dla x = 2
Dziedzina D = R
Największa wartość: nie istnieje
Zbiór wartości ZW = (-", 3
Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa
Miejsce zerowe x0 H" -3, 2 lub x0 H" -0, 8
Parzystość: funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
Monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
rosnÄ…ca w przedziale (-", -2
malejÄ…ca w przedziale -2, ")
rysowanie wykresu funkcji kwadratowej
Wierzchołek W (-2, 3)
Największa wartość ymax = 3 dla x = -2
Narysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej własności:
Najmniejsza wartość nie istnieje
Różnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowa
y = -2x2 - 8x - 5
Parzystość funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
RozwiÄ…zanie:
Sprowadzam funkcjÄ™ do postaci kanonicznej:
y = -2x2 - 8x - 5 rysowanie wykresu funkcji kwadratowej
 matematyka.pisz.pl  12  matematyka.pisz.pl 
Największa wartość nie istnieje
Narysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej własności:
Różnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowa
Parzystość funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
y = x2 - 6x + 10
RozwiÄ…zanie:
Sprowadzam funkcjÄ™ do postaci kanonicznej:
rysowanie wykresu funkcji kwadratowej
y = x2 - 6x + 10
Ile punktów wspólnych ma wykres funkcji kwadratowej y = 2x2 + 4x - 1 z prostymi: y = -5,
" = (-6)2 - 4 · 1 · 10 = 36 - 40 = -4
y = -3, y = -1, y = 2?
-(-6) 6 -(-4) 4
p = = = 3 q = = = 1
RozwiÄ…zanie:
2 · 1 2 4 · 1 4
y = 2x2 + 4x - 1
Liczę współrzędne wierzchołka paraboli:
y = (x - 3)2 + 1
" = 42 - 4 · 2 · (-1) = 16 + 8 = 24
RysujÄ™ wykres y = x2 i przesuwam go o wektor [3, 1].
-b -4 -4 -" -24 -24
y
xw = = = = -1 yw = = = = -3
2a 2 · 2 4 4a 4 · 2 8
W = (-1, -3)
x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
Rysuję przybliżony wykres funkcji kwadratowej:
1 y
3
x
Dziedzina: D = R
y = 2
Zbiór wartości: ZW = 1, ")
y =
1 -1 x
Miejsce zerowe: nie istniejÄ…
y = -3
Monotoniczność: funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejÄ…ca w przedziale (-", 3
y = -5
rosnÄ…ca w przedziale 3, ")
Wierzchołek: W (3, 1)
Najmniejsza wartość ymin = 1 dla x = 3
 matematyka.pisz.pl  13  matematyka.pisz.pl 
b) Podaj rozwiązanie nierówności f(x) 0.
Odp. Funkcja kwadratowa y = 2x2 + 4x - 1 ma:
RozwiÄ…zanie:
 0 punktów wspólnych z prostą y = -5
 1 punkt wspólny z prostą y = -3 a) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.
 2 punkty wspólne z prostą y = -1
f(x) = -x2 + 6x - 5
 2 punkty wspólne z prostą y = 2
Liczymy współrzędne wierzchołka paraboli:
-b -6
Wyznacz równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y = -x2 + 6x - 7. y
p = = = 3
2a 2 · (-1)
5
RozwiÄ…zanie:
4
" = 62 - 4 · (-1) · (-5) = 36 - 20 = 16
3
y = -x2 + 6x - 7
-" -16
q = = = 4 2
4a 4 · (-1)
Liczę współrzędne wierzchołka paraboli:
1
Wierzchołek: W = (3, 4)
-2 -1 1 2 3 4 5 6
" = 62 - 4 · (-1) · (-7) = 36 - 28 = 8
x
Liczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
-b -6 -6 -" -8 -8
xw = = = = 3 yw = = = = 2 x1 = 5 x2 = 1
2a 2 · (-1) -2 4a 4 · (-1) -4
Z wykresu odczytujemy zbiór wartości: f(x) " (-", 4
W = (3, 2)
b) Z wykresu możemy odczytać, że f(x) 0 dla x " 1, 5 .
Rysuję przybliżoną parabolę funkcji y = -x2 + 6x - 7 i zaznaczam oś symetrii wykresu.
y
rysowanie wykresu funkcji kwadratowej
x = 3
2
Zadanie 7 (6 pkt)
x
3
Funkcja f : R R jest określona wzorem: f(x) = x2 - 6x + 12.
a) Rozwiąż nierówność f(x) - 19 > 0.
b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji f, w symetrii względem prostej o równaniu
x = 6, nie jest parabola, określona równaniem y = (x - 9)2 + 6
RozwiÄ…zanie:
Odp. Oś symetrii paraboli ma równanie x = 3.
a) Rozwiąż nierówność f(x) - 19 > 0.
nierówności kwadratowe
Zadanie 8 (5 pkt)
Dana jest funkcja f(x) = -x2 + 6x - 5.
a) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości. f(x) - 19 > 0
 matematyka.pisz.pl  14  matematyka.pisz.pl 
x2 - 6x + 12 - 19 > 0 A = (3, 7). Wzór zapisz w postaci ogólnej.
x2 - 6x - 7 > 0
RozwiÄ…zanie:
Mam współrzędne wierzchołka (2, 3), więc wzór funkcji w postaci kanonicznej wygląda tak:
znajdujemy pierwiastki
" "
y = a(x - 2)2 + 3
" = (-6)2 - 4 · 1 · (-7) = 36 + 28 = 64 " = 64 = 8
Punkt A należy do wykresu funkcji, więc jego współrzędne (3, 7) spełniają równanie funkcji.
Dzięki temu policzę współczynnik a.
-(-6) - 8 6 - 8 -(-6) + 8 6 + 8
x1 = = = -1 x2 = = = 7
2 · 1 2 2 · 1 2
7 = a(3 - 2)2 + 3
7 = a · 1 + 3
7 - 3 = a
a = 4
x
-1 7
Wzór funkcji z postaci kanonicznej przekształcam do postaci ogólnej.
y = 4(x - 2)2 + 3
x " (-", -1) *" (7, ") dalej
y = 4(x2 - 4x + 4) + 3
y = 4x2 - 16x + 16 + 3
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej f.
y = 4x2 - 16x + 19
y
Odp. Szukana funkcja ma wzór y = 4x2 - 16x + 19.
a) Podaj miejsce zerowe f.
6
5
b) Podaj rozwiązanie nierówności
4
f(x) 0. Znajdz
wzór funkcji kwadratowej, która ma miejsca zerowe -2, 3 i jej wykres zawiera punkt
A = (1, 12).
3
c) Podaj rozwiązanie równania
2 RozwiÄ…zanie:
f(x) = 3
1
Mam miejsca zerowe -2 i 3 funkcji kwadratowej, więc jej wzór najłatwiej mi zapisać w
postaci iloczynowej.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
x
-1
y = a(x - (-2))(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)
RozwiÄ…zanie:
Punkt A należy do wykresu funkcji, więc jego współrzędne (1, 12) spełniają równanie funkcji.
miejsca zerowe: x1 = -1 x2 = 5
Dzięki temu policzę współczynnik a.
f(x) 0 dla x " (-", -1 *" 5, ")
12 = a(1 + 2)(1 - 3)
12 = a · 3 · (-2)
f(x) = 3 dla x = 0 lub x = 4
12 = -6a : (-6)
-2 = a
Znajdz
wzór funkcji kwadratowej, której wykres ma wierzchołek W = (2, 3) i zawiera punkt a = -2
 matematyka.pisz.pl  15  matematyka.pisz.pl 
Wzór funkcji z postaci iloczynowej przekształcam do postaci ogólnej. tych punktów spełniają równanie y = ax2 + bx + c szukanej funkcji kwadratowej. Dzięki temu
ułożę układ trzech równań z trzema niewiadomymi i go rozwiąże.
y = -2(x + 2)(x - 3)
Å„Å‚
10 = a · 32 + b · 3 + c
y = -2(x2 - 3x + 2x - 6) ôÅ‚
òÅ‚
0 = a · 12 + b · 1 + c
y = -2(x2 - x - 6)
ôÅ‚
ół
y = -2x2 + 2x + 12 15 = a · (-2)2 + b · -2 + c
Å„Å‚
Odp. Szukana funkcja ma wzór y = -2x2 + 2x + 12.
ôÅ‚ 10 = 9a + 3b + c
òÅ‚
0 = a + b + c
ôÅ‚
ół
15 = 4a - 2b + c
Wykres funkcji kwadratowej zawiera punkty A = (3, 0), B = (-2, 0), C = (4, 6). Znajdz

wzór tej funkcji i przedstaw go w postaci ogólnej.
Å„Å‚
c = 10
ôÅ‚ - 9a - 3b
òÅ‚
RozwiÄ…zanie:
a + b + c = 0
Punkty A = (3, 0) i B = (-2, 0) leżą na osi x ukÅ‚adu współrzÄ™dnych. Jeżeli wykres zawiera ôÅ‚
ół
4a - 2b + c = 15
te punkty, to miejsca zerowe funkcji wynoszą 3 i -2. Wiedząc to mogę zapisać wzór funkcji
kwadratowej w postaci iloczynowej.
Å„Å‚
c = 10
ôÅ‚ - 9a - 3b
òÅ‚
y = a(x - 3)(x - (-2))
a + b + (10 - 9a - 3b) = 0
ôÅ‚
ół
y = a(x - 3)(x + 2)
4a - 2b + (10 - 9a - 3b) = 15
Å„Å‚
Współczynnik a znajdę podstawiając współrzędne punktu C = (4, 6) do równania.
c = 10
ôÅ‚ - 9a - 3b
òÅ‚
- 8a - 2b + 10 = 0
6 = a(4 - 3)(4 + 2)
ôÅ‚
ół
- 5a - 5b + 10 = 15
6 = a · 1 · 6

6 = 6a : 6
Å„Å‚
c = 10 - 9a - 3b
ôÅ‚
òÅ‚
a = 1

- 2b = 8a - 10 : (-2)
ôÅ‚
ół
Przekształcam wzór funkcji z postaci iloczynowej do postaci ogólnej.
- 5a - 5b + 10 = 15
Å„Å‚
y = 1(x - 3)(x + 2)
c = 10
ôÅ‚ - 9a - 3b
òÅ‚
y = x2 + 2x - 3x - 6
b = -4a + 5
ôÅ‚
ół
y = x2 - x - 6
- 5a - 5(-4a + 5) + 10 = 15
Odp. Szukana funkcja kwadratowa ma wzór y = x2 - x - 6.
-5a - 5(-4a + 5) + 10 = 15
-5a + 20a - 25 + 10 = 15
Wykres funkcji kwadratowej przechodzi przez punkty A = (3, 10), B = (1, 0), C = (-2, 15).
Znajdz
wzór tej funkcji.
15a = 15 + 15
RozwiÄ…zanie:
15a = 30 / : 15
Punkty A = (3, 10), B = (1, 0), C = (-2, 15) należą do wykresu funkcji, więc współrzędne a = 2
 matematyka.pisz.pl  16  matematyka.pisz.pl 
Otrzymałem szukaną funkcję w postaci kanonicznej
Å„Å‚
c = 10
ôÅ‚ - 9 · 2 - 3b
òÅ‚
y = 1(x - 1)2 - 9
b = -4 · 2 + 5
ôÅ‚ y = (x - 1)2 - 9
ół
a = 2
Å„Å‚
Szukam miejsca zerowego tej funkcji
c =
ôÅ‚ -8 - 3b
òÅ‚
b = -3
0 = (x - 1)2 - 9
ôÅ‚
ół
a = 2
9 = (x - 1)2
Å„Å‚
(x - 1)2 = 9
c =
ôÅ‚ -8 - 3 · (-3) = -8 + 9 = 1
òÅ‚
b = -3
x - 1 = 3 lub x - 1 = -3
ôÅ‚
ół
a = 2 x = 3 + 1 x = -3 + 1
x = 4 x = -2
y = ax2 + bx + c
Wiem, że wykres funkcji przecina oś Ox w 4 i -2, ma wierzchołek (1, -9) i przechodzi przez
y = 2x2 - 3x + 1
punkt (2, -8). WykorzystujÄ™ te dane do narysowania wykresu.
Odp. Szukana funkcja kwadratowa ma wzór y = 2x2 - 3x + 1.
y
Zadanie 1 (5 pkt)
1
Znajdz
wzór funkcji kwadratowej y = f(x), której wykresem jest parabola o wierzchołku
-2 1 4 x
(1, -9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2, -8). Otrzymaną funkcję przedstaw w
postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsce zerowe i naszkicuj wykres.
RozwiÄ…zanie:
W zadaniu mam podany wierzchołek paraboli, więc skorzystam ze wzoru funkcji kwadratowej
w postaci kanonicznej:
-9
y = a(x - p)2 + q
Współrzędne wierzchołka paraboli to W (1, -9) dlatego p = 1, a q = -9.
y = a(x - 1)2-9
W zadaniu mam podany punkt (2, -8), który należy do paraboli, więc jego współrzędne speł- Znajdz
najmniejszą i największą wartość funkcji
niają równanie paraboli. Podstawiam te współrzędne do rówania, aby znalez
ć współczynnik a.
y = x2 - 4x + 5
-8 = a(2 - 1)2 - 9
na przedziale 1, 4 .
-8 = a · 12 - 9
-8 = a - 9
RozwiÄ…zanie:
1 = a
Znajduję wartość funkcji na krańcach przedziału:
a = 1 x = 1 y = 12 - 4 · 1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2 A(1, 2)
 matematyka.pisz.pl  17  matematyka.pisz.pl 
x = 4 y = 42 - 4 · 4 + 5 = 16 - 16 + 5 = 5 B(4, 5) x = 4 y = -42 + 2 · 4 + 2 = -16 + 8 + 2 = -6 B(4, -6)
Znajduję współrzędne wierzchołka wykresu funkcji.
Znajduję współrzędne wierzchołka wykresu funkcji.
" = 22 - 4 · (-1) · 2 = 4 + 8 = 12
" = (-4)2 - 4 · 1 · 5 = 16 - 20 = -4
-2 -2 -12 -12
p = = = 1 q = = = 3
2 · (-1) -2 4 · (-1) -4
-(-4) 4 -(-4) 4
p = = = 2 q = = = 1
2 · 1 2 4 · 1 4 W (1, 3)
Rysuję przybliżony wykres funkcji na podstawie punktów A(-1, -1) B(4, -6) W (1, 3).
W (2, 1)
y
Rysuję przybliżony wykres funkcji na podstawie punktów A(1, 2) B(4, 5) W (2, 1).
3
W
y
-1 1 4 x
-1
B
A
5
A
W
B
1
-6
1 2 4 x
Z wykresu odczytuję, że w przedziale -1, 4 :
- najmniejsza wartość ymin = -6 dla x = 4
- największa wartość ymax = 3 dla x = 1
Z wykresu odczytuję, że w przedziale 1, 4 :
- najmniejsza wartość ymin = 1 dla x = 2
Znajdz
najmniejszą i największą wartość funkcji
- największa wartość ymax = 5 dla x = 4
y = x2 + 4x - 2
na przedziale -1, 1 .
Znajdz
najmniejszą i największą wartość funkcji
RozwiÄ…zanie:
Znajduję wartości funkcji na krańcach przedziału:
y = -x2 + 2x + 2
x = -1 y = (-1)2 + 4 · (-1) - 2 = 1 - 4 - 2 = -5 A(-1, -5)
x = 1 y = 12 + 4 · 1 - 2 = 1 + 4 - 2 = 3 B(1, 3)
na przedziale -1, 4 .
Znajduję współrzędne wierzchołka wykresu funkcji.
RozwiÄ…zanie:
" = 42 - 4 · 1 · (-2) = 16 + 8 = 24
Znajduję wartości funkcji na krańcach przedziału:
-4 -4 -24 -24
p = = = -2 q = = = -6
x = -1 y = -(-1)2 + 2 · (-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1 A(-1, -1)
2 · 1 2 4 · 1 4
 matematyka.pisz.pl  18  matematyka.pisz.pl 
W (-2, -6) Z wykresu łatwo odczytać przedziały przedziały monotoniczności:
" funkcja maleje dla x " (-", -2
Rysuję przybliżony wykres funkcji na podstawie punktów A(-1, -5) B(1, 3) W (-2, -6).
" funkcja rośnie dla x " -2, ")
y
3 B
-1 1 x
g(x) = -3x2 + 6x + 12
Znajduję współrzędne wierzchołka W (p, q) i rysuję przybliżony wykres funkcji f(x).
-5
A
W
-b -6
p = = = 1
2a 2 · (-3)
Z wykresu odczytujemy, że w przedziale -1, 1 :
y
" = 62 - 4 · (-3) · 12 = 36 + 144 = 180
- najmniejsza wartość ymin = -5 dla x = -1
- największa wartość ymax = 3 dla x = 1
15
-180
q = = 15
4 · (-3)
x
1
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej:
W = (1, 15)
f(x) = 2x2 + 8x - 10 g(x) = -3x2 + 6x + 12
RozwiÄ…zanie:
Z wykresu łatwo odczytać przedziały przedziały monotoniczności:
f(x) = 2x2 + 8x - 10
" funkcja rośnie dla x " (-", 1
Znajduję współrzędne wierzchołka W (p, q) i rysuję przybliżony wykres funkcji f(x).
-b -8
" funkcja maleje dla x " 1, ")
p = = = -2
2a 2 · 2
y
" = 82 - 4 · 2 · (-10) = 64 + 80 = 144
-" -144
Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej:
q = = = -18
4a 4 · 2
f(x) = 2x2 + 8x - 10 g(x) = -3x2 + 6x + 12
-2 x
W = (-2, -18)
-18 RozwiÄ…zanie:
f(x) = 2x2 + 8x - 10
 matematyka.pisz.pl  19  matematyka.pisz.pl 
Znajduję współrzędne wierzchołka W (p, q) i rysuję przybliżony wykres funkcji f(x). 1. Liczę deltę.
2. Znajduję miejsca zerowe, jeśli są.
-b -8
xw = = = -2
3. RysujÄ™ parabolÄ™ przechodzÄ…cÄ… przez miejsca zerowe:
2a 2 · 2
y
dla a > 0 ramiona w górę
dla a < 0 ramiona w dół
" = 82 - 4 · 2 · (-10) = 64 + 80 = 144
4. Zaznaczam na zielono dla znaków:
-" -144
yw = = = -18
< część wykresu pod osią x
4a 4 · 2
> część wykresu nad osią x
-2 x
5. Dla znaków
W = (-2, -18)
zaznaczam w miejscach zerowych
-18
< > zaznaczam w miejscach zerowych
6. Rysuję przedział odpowiadający zielonej części wykresu.
7. ZapisujÄ™ rozwiÄ…zanie.
Z wykresu łatwo odczytać, że zbiór wartości funkcji to przedział -18, ").
Odp. Zbiór wartości funkcji kwadratowej to przedział -18, ").
Rozwiąż nierówność:
x2 - 3x - 10 < 0
RozwiÄ…zanie:
g(x) = -3x2 + 6x + 12
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
Znajduję współrzędne wierzchołka W (p, q) i rysuję przybliżony wykres funkcji f(x).
" = (-3)2 - 4 · 1 · (-10) = 9 + 40 = 49
-b -6
" "
xw = = = 1
2a 2 · (-3) " = 49 = 7
y
" = 62 - 4 · (-3) · 12 = 36 + 144 = 180
15
-(-3) - 7 3 - 7 -(-3) + 7 3 + 7
x1 = = = -2 x2 = = = 5
-180
2 · 1 2 2 · 1 2
yw = = 15
4 · (-3)
x
1
W = (1, 15)
x
-2 5
Z wykresu łatwo odczytać, że zbiór wartości funkcji to przedział (-", 15 .
Odp. Zbiór wartości funkcji kwadratowej to przedział (-", 15 . Rozwiązaniem jest przedział:
x " (-2, 5)
Nierówności kwadratowe
Przykłady:
nierówności kwadratowe
x2 + 3x - 5 > 0 - 2x2 + 4x + 2 0 x2 - 5x 0 - 3x2 + 4x + 2 < 0
Nierówności kwadratowe rozwiązuję najczęściej tak:
 matematyka.pisz.pl  20  matematyka.pisz.pl 
Rozwiąż nierówność:
-x2 + 2x + 3 0
RozwiÄ…zanie:
x
-2 5
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
" = 22 - 4 · (-1) · 3 = 4 + 12 = 16
" "
" = 16 = 4
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów:
x " (-", -2) *" (5, ")
-2 - 4 -6 -2 + 4 2
x1 = = = 3 x2 = = = -1
2 · (-1) -2 2 · (-1) -2
nierówności kwadratowe
Rozwiąż nierówność:
-1 3 x
-2x2 - x + 3 < 0
RozwiÄ…zanie:
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
Rozwiązaniem jest przedział:
" = (-1)2 - 4 · (-2) · 3 = 1 + 24 = 25
x " -1, 3
" "
" = 25 = 5
-(-1) - 5 1 - 5 -4 -(-1) + 5 6 3 3
x1 = = = = 1 x2 = = = = -
2 · (-2) -4 -4 2 · (-2) -4 -2 2
nierówności kwadratowe
Rozwiąż nierówność:
3
x
x2 - 3x - 10 > 0
1
-
2
RozwiÄ…zanie:
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów:

" = (-3)2 - 4 · 1 · (-10) = 9 + 40 = 49
3
x " -", - *" (1, ")
" "
2
" = 49 = 7
-(-3) - 7 3 - 7 -(-3) + 7 3 + 7
x1 = = = -2 x2 = = = 5
nierówności kwadratowe
2 · 1 2 2 · 1 2
 matematyka.pisz.pl  21  matematyka.pisz.pl 
Rozwiąż nierówność:
1
x
-
1
2
x2 3
RozwiÄ…zanie:

1
Odp. Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów -", - *" (1, ").
x2 3 2
x2 - 3 0
" "
(x - 3)(x + 3) 0
Rozwiąż nierówność:
" "
5 - (x - 3)(x + 3) (x + 4)2 - 3x
x - 3 = 0 lub x + 3 = 0
" "
RozwiÄ…zanie:
x = 3 x = - 3
5 - (x - 3)(x + 3) (x + 4)2 - 3x
5 - (x2 - 9) x2 + 8x + 16 - 3x
5 - x2 + 9 x2 + 5x + 16
" "
-x2 + 14 x2 + 5x + 16
x
- 3 3
-x2 + 14 - x2 - 5x - 16 0
-2x2 - 5x - 2 0
" "
Odp. Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów -", - 3 *" 3, " .
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
" = (-5)2 - 4 · (-2) · (-2) = 25 - 16 = 9
" "
" = 9 = 3
Rozwiąż nierówność:
2x - x(x + 3) < (x - 1)2 - 2
-(-5) - 3
-(-5) + 3
x1 =
x2 =
RozwiÄ…zanie:
2 · (-2)
2 · (-2)
2x - x(x + 3) < (x - 1)2 - 2
5 - 3 2
5 + 3 8
x1 = =
2x - x2 - 3x < x2 - 2x + 1 - 2
x2 = =
-4 -4
-4 -4
-x2 - x < x2 - 2x - 1
1
-x2 - x - x2 + 2x + 1 < 0
x1 = -
x2 = -2
2
-2x2 + x + 1 < 0
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
" = 12 - 4 · (-2) · 1 = 1 + 8 = 9
1
-2 -
" "
2
" = 9 = 3
-1 - 3 -4 -1 + 3 2 1

x1 = = = 1 x2 = = = -
1
Odp. Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów (-", -2 *" - , " .
2 · (-2) -4 2 · (-2) -4 2
2
 matematyka.pisz.pl  22  matematyka.pisz.pl 
x3 - 3x2 + 3x - 1 - (x3 + 6x2 + 12x + 8) > -(x2 - 6x + 9)
x3 - 3x2 + 3x - 1 - x3 - 6x2 - 12x - 8 > -x2 + 6x - 9
Rozwiąż nierówność:
-9x2 - 9x - 9 > -x2 + 6x - 9
x2 > -3
-9x2 - 9x - 9 + x2 - 6x + 9 > 0
RozwiÄ…zanie:
-8x2 - 15x > 0
Dowolna liczba podniesiona do kwadratu jest dodatnia, czyli większa od -3.
15
-8x(x + ) > 0
8
Odp. Rozwiązaniem nierówności x2 > -3 są wszystkie liczby rzeczywiste.
15 7
x1 = 0 x2 = - = -1
8 8
a) Rozwiąż nierówność x2 < 4x.
b) Ze zbioru rozwiązań tej nierówności wybierz i wypisz wszystkie liczby naturalne.
RozwiÄ…zanie:
a) Rozwiąż nierówność x2 < 4x.
7
x
-1
0
8
x2 < 4x
x2 - 4x < 0
7
Odp. Rozwiązaniem nierówności jest przedział -1 , 0 .
8
x(x - 4) < 0
x= 0 lub x - 4= 0
x= 4
Rozwiąż graficznie równanie.:
x2 - 2x - 3 = -x - 1
x
0 4
RozwiÄ…zanie:
Rysuję wykres funkcji y = x2 - 2x - 3 i y = -x - 1. Najpierw liczę pierwszą współrzędną
Odp. x " (0, 4)
wierzchołka funkcji kwadratowej.
b) Ze zbioru rozwiązań tej nierówności wybierz i wypisz wszystkie liczby naturalne.
b -2 2
Odp. Liczby naturalne należące do zbioru x " (0, 4) to 1, 2, 3.
xw = - = - = = 1
2a 2 · 1 2
Rozwiąż nierówność:
(x - 1)3 - (x + 2)3 > -(x - 3)2
Liczę wartość funkcji dla liczb wokół 1 czyli dla -1, 0, 1, 2, 3.
f(-1) = (-1)2 - 2 · (-1) - 3 = 0 f(2) = 22 - 2 · 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3
RozwiÄ…zanie:
(x - 1)3 - (x + 2)3 > -(x - 3)2 f(0) = 02 - 2 · 0 - 3 = -3 f(3) = 32 - 2 · 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
 matematyka.pisz.pl  23  matematyka.pisz.pl 
f(1) = 12 - 2 · 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 f(-1) = (-1)2 + 2 · (-1) + 3 = 2
x -1 0 1 2 3
x -3 -2 -1 0 1
y 0 -3 -4 -3 0
y 6 3 2 3 6
Tabelka dla funkcji y = -x - 1
Tabelka dla funkcji y = -2x - 1
x -1 0 1
y 0 -1 -2
x -1 0 1
y
y 1 -1 -3
y
1 2 x
-2 1 x
Wykresy przecinajÄ… siÄ™ dla x = -1 i x = 2.
Odp. Rozwiązaniem równania x2 - 2x - 3 = -x - 1 są liczby -1 i 2.
Rozwiąż graficznie równanie:
Wykresy przecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie dla x = -2.
x2 + 2x + 3 = -2x - 1
Rozwiązanie: Odp. Rozwiązaniem równania x2 + 2x + 3 = -2x - 1 jest liczba -2.
Rysuję wykres funkcji y = x2 + 2x + 3 i y = -2x - 1. Najpierw liczę pierwszą współrzędną
wierzchołka funkcji kwadratowej.
b 2
xw = - = - = -1
Rozwiąż nierówności:
2a 2 · 1
x2 - 2x - 3 < -x - 1 x2 + 2x + 3 -2x - 1 -2x2 + 1 < x + 2
Liczę wartość funkcji dla liczb wokół -1 czyli dla -3, -2, -1, 0, 1. x2 - 2x - 3 > -x - 1 x2 + 2x + 3 > -2x - 1 -2x2 + 1 > x + 2
x2 - 2x - 3 -x - 1 x2 + 2x + 3 < -2x - 1 -2x2 + 1 x + 2
f(-3) = (-3)2 + 2 · (-3) + 3 = 6 f(0) = 02 + 2 · 0 + 3 = 3
f(-2) = (-2)2 + 2 · (-2) + 3 = 3 f(3) = 12 + 2 · 1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6
 matematyka.pisz.pl  24  matematyka.pisz.pl 
Rozwiązanie: nierówności:
x2 + 2x + 3 -2x - 1 x2 + 2x + 3 > -2x - 1 x2 + 2x + 3 < -2x - 1
rysowanie wykresów y = x2 - 2x - 3 i y = -x - 1
RozwiÄ…zanie:
y y y
x = -2 x " (-", -2) *" (-2, ") x " "
rysowanie wykresów y = -2x2 + 1 i y = x + 2
y y y
1 2 x 1 2 x 1 2 x
2 x 2 x 2 x
nierówności:
x2 - 2x - 3 < -x - 1 x2 - 2x - 3 > -x - 1 x2 - 2x - 3 -x - 1
RozwiÄ…zanie:
x " (-1, 2) x " (-", -1) *" (2, ") x " -1, 2
nierówności:
rysowanie wykresów y = x2 + 2x + 3 i y = -2x - 1
-2x2 + 1 < x + 2 -2x2 + 1 > x + 2 -2x2 + 1 x + 2
y y y
RozwiÄ…zanie:
x " R x " " x " "
Znajdz
dwie kolejne liczby naturalne parzyste, których iloczyn wynosi 168.
RozwiÄ…zanie:
-2 1 x -2 1 x -2 1 x
Liczby parzyste różnią się o 2, dlatego dwie kolejne liczby parzyste mogę oznaczyć jako x i x + 2.
x(x + 2) = 168
x2 + 2x = 168
x2 + 2x - 168 = 0
 matematyka.pisz.pl  25  matematyka.pisz.pl 
równanie kwadratowe 5 - x  druga cyfra
10x + (5 - x)  szukana liczba
" = 22 - 4 · 1 · (-168) = 4 + 672 = 676
" "
" = 676 = 26
-2 - 26 -28 -2 + 26 24
[10x + (5 - x)]2 529
x1 = = = -14 x1 = = = 12
2 · 1 2 2 · 1 2
(9x + 5)2 529
Szukam rozwiązań wśród liczb naturalnych, dlatego z tych dwóch rozwiązań prawidłowe jest
81x2 + 90x + 25 - 529 0

12.
81x2 + 90x - 504 0 : 9
Odp. Szukane dwie liczby naturalne to 12 i 14.
9x2 + 10x - 56 0
Korzystam ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.
Boki prostokąta różnią się o 3cm. Jeżeli dłuższy bok zmniejszymy o 4 cm, to pole prostokąta
zmniejszy siÄ™ dwukrotnie. Jakie sÄ… wymiary tego prostokÄ…ta?
" = 102 - 4 · 9 · (-56) = 100 + 2016 = 2116
" "
RozwiÄ…zanie:
" = 2116 = 46
x  krótszy bok prostokąta
x + 3  dłuższy bok prostokąta
-10 - 46
2 -10+46 36
x1 = = -3 x2 = = = 2
9 2·9 18
x(x + 3)  pole prostokÄ…ta
2 · 9
x + 3 - 4 = x - 1  dłuższy bok zmniejszony o 4 cm
x(x - 1)  nowe pole prostokÄ…ta (dwukrotnie mniejsze)
x(x + 3) = 2 · x(x - 1) x
-32
2
9
x2 + 3x = 2x2 - 2x
x2 + 3x - 2x2 + 2x = 0

2
x " -3 , 2
9
-x2 + 5x = 0
-x(x - 5) = 0
Z tego przedziału wybieram liczby, które mogą być pierwszą cyfrą szukanych liczb dwucyfrowych.
x1 = 0 lub x = 5
x1 = 1, 5 - x1 = 4
x2 = 2, 5 - x2 = 3
Długość boku nie może wynosić 0 dlatego tylko rozwiązanie 5cm jest prawidłowe.
x = 5 cm Odp. Liczby spełniające warunki zadania to 14, 23.
x + 3 = 8 cm
To rozwiązanie jest tylko przykładem, jak stosować nierówności kwadratowe w zadaniach tek-
Odp. ProstokÄ…t ma wymiary 5 cm na 8 cm.
stowych. Można to zadanie rozwiązać dużo prościej przez sprawdzanie wszystkich liczb dwucy-
frowych o sumie cyfr 5.
Znajdz
wszystkie liczby dwucyfrowe, których suma cyfr jest równa 5, a kwadrat tych liczb jest
niewiększy niż 529.
RozwiÄ…zanie:
x(x + 9) = 1540
x  pierwsza cyfra x2 + 9x - 1540 = 0
 matematyka.pisz.pl  26  matematyka.pisz.pl 
-2 - 8 -10 -2 + 8 6
Rozwiązuję równanie kwadratowe
a1 = = = -5 a2 = = = 3
2 2 2 2
"
" = 92 - 4 · 1 · (-1540) = 81 + 6160 = 6241 " = 79
Długość krawędzi sześcianu nie może być liczbą ujemną, dlatego długość krawędzi sześcianu
-9 - 79 -88 -9 + 79 70
x1 = = = -44 x2 = = = 35
wynosi 3 cm.
2 2 2 2
Długość nie może być liczbą ujemną więc jedyne poprawne rozwiązanie to:
Początkowa objętość sześcianu:
x = 35 x + 9 = 44
V1 = a3 = 33 = 27 cm3
2
Odp. Działka ma wymiary 35 m na 44 m.
Odp. Sześcian miał na początku 27 cm3.
Po zwiększeniu każdej krawędzi sześcianu o 2 cm, jego objętość wzrosła o 98 cm3. Oblicz po-
czątkową objętość sześcianu.
Zadanie 2 (4 pkt)
W roku 2005 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział:  Jeśli
RozwiÄ…zanie:
swój wiek sprzed 10 lat pomnożę przez swój wiek za 11 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia .
Ułóż odpowiednie równanie, rozwiąż je i zapisz, w którym roku urodził się ten jubilat.
a + 2
RozwiÄ…zanie:
a
x  obecny wiek jubilata
x - 10  wiek jubilata 10 lat temu
a + 2
a
x + 11  wiek jubilata za 11 lat
a + 2
a
2005 - x  rok urodzenia jubilata
Objętość sześcianu:
V1 = a3 V2 = (a + 2)3
(x - 10)(x + 11) = 2005 - x
x2 + 11x - 10x - 110 = 2005 - x
V2 - V1 = 98
x2 + x - 110 - 2005 + x = 0
(a + 2)3 - a3 = 98
x2 + 2x - 2115 = 0
a3 + 6a2 + 12a + 8 - a3 = 98

Obliczamy pierwiastki:
6a2 + 12a + 8 = 98 : 2
" "
" = 22 - 4 · 1 · (-2115) = 4 + 8460 = 8464 " = 8464 = 92
3a2 + 6a + 4 = 49
3a2 + 6a + 4 - 49 = 0 -2 - 92 -94 -2 + 92 90
x1 = = = -47 x2 = = = 45
2 · 1 2 2 · 1 2
3a2 + 6a - 45 = 0 : 3
a2 + 2a - 15 = 0
Jubilat ma 45 lat i urodził się w roku 2005 - 45 = 1960.
" = 22 - 4 · 1 · (-15) = 4 + 60 = 64
" "
Odp. Jubilat urodził się w 1960 roku.
" = 64 = 8
 matematyka.pisz.pl  27  matematyka.pisz.pl 
Znajdz
prostokąt o obwodzie 20 cm i jak największym polu. x  o tyle złoty obniżono cenę kurtki
60 - x  zysk na kurtce po obniżce
RozwiÄ…zanie:
40 + x  tyle kurtek sprzedaje sklep po obniżce o x zł
x  pierwszy bok prostokÄ…ta
(40 + x)(60 - x)  tyle miesięcznie zarabia sklep po zmianie ceny
y  drugi bok prostokÄ…ta
Przychód sklepu opisuje funkcja:
Obwód prostokąta jest równy 20 cm, co zapisuję za pomocą równania:
f(x) = (40 + x)(60 - x)
2x + 2y = 20
f(x) = 2400 - 40x + 60x - x2

2(x + y) = 20 : 2
f(x) = -x2 + 20x + 2400
x + y = 10
Wykres tej funkcji to parabola z ramionami skierowanymi w dół. Największą wartość osiąga w
-b
Drugi bok prostokÄ…ta y = 10 - x. Pole prostokÄ…ta:
wierzchołku dla xw = .
2a
-20
P = xy
xw = = 10
2 · (-1)
P = x(10 - x)
Odp O 10 zł należy obniżyć cenę kurtki, a więc jej cena wyniesie 150 zł.
P = -x2 + 10x
Funkcja f(x) = -x2 + 10x jest funkcjÄ… kwadratowÄ…. Wykres tej funkcji to parabola z ra-
Dla jakich wartości parametru m, poniższe równania mają dwa różne rozwiązania rzeczywiste.
mionami skierowanymi do dołu. Oznacza to, że największą wartość ta funkcja przyjmuje w
wierzchołku. Obliczam pierwszą współrzędną xw wierzchołka. 2x2 - 3x + 1 - m = 0 (m + 3)x2 - 2mx + m + 5 = 0
RozwiÄ…zanie:
-b
xw=
2x2 - 3x + 1 - m = 0
2a
-10
Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiazania, gdy " > 0.
x =
2 · (-1)
" = (-3)2 - 4 · 2 · (1 - m) = 9 - 8 + 8m = 8m + 1
x = 5
" > 0
Dla x = 5 i y = 10 - 5 = 5 funkcja f(x) ma największą wartość, a co za tym idzie pole
8m + 1 > 0

prostokąta jest największe.
8m > -1 : 8
Odp. Ze wszystkich prostokątów o obowodzie 20 cm to kwadrat o boku 5 cm ma największe 1
m > -
8
pole.

1
Odp. Dla dowolnego m z przedziału - , " równanie 2x2 - 3x + 1 - m = 0 ma dwa różne
8
pierwiastki rzeczywiste.
Zadanie 5 (4 pkt)
Sklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk
(m + 3)x2 - 2mx + m + 5 = 0
miesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o 1 zł
zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić sprzedawca, aby jego To równanie jest równaniem kwadratowym, tylko dla m = -3. Dla m = -3 równanie to jest

miesięczny zysk był największy? równaniem stopnia pierwszego i nie może miec dwóch różnych rozwiązań.
Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiazania, gdy " > 0.
RozwiÄ…zanie:
160 - 100 = 60  zysk na jednej kurtce " = (-2m)2 - 4 · (m + 3) · (m + 5) = 4m2 - 4(m2 + 5m + 3m + 15) =
 matematyka.pisz.pl  28  matematyka.pisz.pl 
Dla jakiego m nierówność (m2 - 1)x2 - 2(m - 1)x + 2 > 0 jest prawdziwa dla wszystkich
liczb x rzeczywistych?
= 4m2 - 4m2 - 32m - 60 = -32m - 60
RozwiÄ…zanie:
-32m - 60 > 0

-32m > 60 : (-32)
(m2 - 1)x2 - 2(m - 1)x + 2 > 0
m < -60
32
7
m < -1 Wyrażenie po lewej stronie jest wyrażeniem kwadratowym, jeżeli m = -1 i m = 1. Sprawdzam

8
jakie będą rozwiązania dla:
7
Po uwzględnieniu, że m = -3, otrzymuję przedziały (-", -3) *" (-3, -1 ).

8
" dla m = -1
7
Odp. Dla dowolnego m z sumy przedziałów (-", -3)*"(-3, -1 ) równanie (m + 3)x2 - 2mx + m + 5 = 0
8
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
((-1)2 - 1) · x2 - 2(-1 - 1)x + 2 > 0
0 · x2 + 4x + 2 > 0
4x + 2 > 0
Dla jakich wartości parametru m, równanie mx2 - (m + 1)x + 1 = 0 ma dokładnie jedno

rozwiÄ…zanie.
4x > -2 : 4
1
RozwiÄ…zanie:
x > -
2
mx2 - (m + 1)x + 1 = 0
To równanie jest równaniem stopnia pierwszego dla m = 0.
" dla m = 1
0 · x2 - (0 + 1)x + 1 = 0
(12 - 1) · x2 - 2(1 - 1)x + 2 > 0
-x + 1 = 0
0 · x2 + 0 · x + 2 > 0
x = 1
2 > 0
Dla m = 0 równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 1.
Dla m = 1 nierówności jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych. Dalej już rozwiązuję
Dla m = 0 to równanie jest równaniem kwadratowym i ma dokładnie jedno rozwiązanie

dla m = -1 i m = 1.

dla " = 0.

Ta nierówność będzie prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej, jeżeli funkcja kwadratowe
=
" = [-(m + 1)]2 - 4 · m · 1 = (m + 1)2 - 4m m2 + 2m + 1 - 4m = m2 - 2m + 1
y = (m2 - 1)x2 - 2(m - 1)x + 2 będzie miała taki wykres
" = 0
m2 - 2m + 1 = 0
"m = (-2)2 - 4 · 1 · 1 = 4 - 4 = 0
x
Jak widać będzie wtedy przyjmowała tylko wartości dodatnie i o to chodzi.
-(-2)
m = = 1
Wykres funkcji kwadratowej tak wyglÄ…da, gdy
2 · 1

Odp. Gdy m jest równe 0 lub 1 równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.
a > 0
" < 0
 matematyka.pisz.pl  29  matematyka.pisz.pl 
a > 0 " < 0
2
m2 - 1 > 0
-2(m - 1)2 - 4 · (m2 - 1) · 2 < 0
m2 > 1
4(m - 1)2 - 8(m2 - 1) < 0
m " (-", -1) *" (1, ")
4(m2 - 2m + 1) - 8m2 + 8 < 0
4m2 - 8m + 4 - 8m2 + 8 < 0

-4m2 - 8m + 12 < 0 : (-4)
m2 + 2m - 3 > 0
"m = 22 - 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16
" "
"m = 16 = 4
-2-4 -2+4
m1 = = -3 m2 = = 1
2 2
x
-3 1
m " (-", -3) *" (1, ")
Część wspólna sum przedziałów (-", -1) *" (1, ") i (-", -3) *" (1, ") to suma
(-", -3) *" (1, ")
Do tego dokładam m = 1 i mam odpowiedz
.
Odp. Nierówność (m2 - 1)x2 - 2(m - 1)x + 2 > 0 jest prawdziwa dla wszystkich liczb
rzeczywistych, gdy m " (-", -3) *" 1, ").
 matematyka.pisz.pl  30  matematyka.pisz.pl