10. Dynamiczny eliminator drgań elementów maszyn

Rozpatrzmy jakąś maszynę, którą możemy traktować jako układ o jednym stopniu swobody. Jeśli na tą maszynę działa harmonicznie zmienna ze stałą częstotliwością P. bliską częstotliwości własnej układu:

to może on wywołać bardzo niebezpieczne drgania uniemożliwiające eksploatacje maszyny. W takim przypadku w celu odsunięcia układu od rezonansu musimy zmienić jego parametry. Jeśli to jednak jest niemożliwe najlepiej zastosować dynamiczny eliminator drgań, który można przedstawić jako dodatkową masę m₂ ze sprężyną k₂ zamocowaną do głównej masy m₂.

Częstość eliminatora dobiera się tak aby była równa częstotliwości siły wymuszającej zaś warunek

nazywamy warunkiem dopasowania.

5. Drgania swobodne, nietłumione - oscylator harmoniczny

Drgania swobodne nietłumione układu o jednym stopniu swobody stanowią podstawowy, najprostszy rodzaj drgań mechanicznych, a układ mechaniczny wykonujący takie drgania z uwagi na analityczną postać opisu jego ruchu nazywany jest oscylatorem harmonicznym.

Rozważa się zachowanie punktu materialnego o masie m. W [kg], powieszonego na sprężynie o sztywności c, w [N/m], w polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g w [m/s²].

W położeniu równowagi statycznej układu zachodzi zależność:

Swobodny ruch drgający układu rozpocznie się gdy zostanie w chwili początkowej zakumulowana energia mechaniczna:

co może zaistnieć gdy:

• masa m. zostanie wychylona w chwili początkowej t=0 poza położenie równowagi statycznej o wartości współrzędnej x(0)=x₀[m] i puszczona bez prędkości początkowej, czyli przy x(0)=0[m/s],

• masie m. wychylonej w chwili początkowej t=0 poza położenie równowagi statycznej o wartości współrzędnej x(0)=x₀[m] zostanie nadany pęd początkowy p=mv₀, gdzie v₀=x(0)≠0[m/s] jest różną od zera prędkością początkową masy m.

• masie m zostanie nadana w położeniu równowagi statycznej, czyli przy x(0)=0[m], prędkość początkowa x(0)=v(0)≠0.

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

1. Drgania swobodne, tłumione tarciem suchym

Gdy liczba tarcia pomiędzy poruszającymi się wzajemnie stykającymi powierzchniami jest równa μ, a siła normalnego docisku tych powierzchni jest równa N, to wartość siły tarcia rozwiniętego T wyraża się wzorem:

T = μ N

Model układu drgającego swobodnego o jednym stopniu swobody, tłumionego tarciem suchym przedstawia rysunek

Wykres przebiegu zmian siły tarcia T w funkcji przemieszczenia x ma postać

Siła tarcia T zmienia swój znak po osiągnięciu przez wychylenie x(t) punktu materialnego m. wartości ekstremalnych (x₀, lub -x₀ ), czyli przy zmianie znaku prędkości x(t) tego punktu

Wykres funkcji sgn x

T = T₀ sgn x

Różniczkowe równanie ruchu takiego wykładu wynika bezpośrednio z zasady d'Alemberta, czyli z warunku zachowania równowagi wszystkich sił, działających na masę m. w kierunku osi elementu sprężystego c, wraz z fikcyjną siłą bezwładności, przy przyjęciu, że cλ_st = Q i ma postać

mx +cx + T₀ sng x = 0

Po wychyleniu punktu materialnego o masie m. o wartości x₀ w kierunku dodatniego zwrotu osi x zacznie on pod wpływem siły sprężystości poruszać się w górę z prędkością x(t), której zwrot będzie przeciwny do dodatniego zwrotu osi x, przez co sgn x = -1.

Mx + cx - T = 0

Drgania swobodne, tłumione wiskotycznie

Model drgający analizowanego układu, wraz z rozkładem sił działających na punkt materialny o masie m., uzewnętrznionym po zastosowaniu metody przecięć, przedstawiono na rysunku na którym wyróżniono wektory sił:

• ciężkości Q punktu materialnego o masie m.,

• sprężystości S_sp elementu podatnego c,

• tłumienia wiskotycznego S_tl elementu rozpraszającego energię b,

• bezwładności F_b, wynikający z niejednostajnego ruchu punktu materialnego o masie m. z przyśpieszeniem x(t)

Zasada d'Alemberta w postaci warunków równowagi wszystkich sił działających na środek masy, wraz z fikcyjną siłą bezwładności, na kierunku osi elementu sprężystego ma postać:

mg - c(λ_st + x ) - bx - mx = 0

skąd po podstawieniu cλ_st = mg różniczkowe równanie ruchu ma postać:

mx + bx + cx = 0

Równanie ruchu (1) można także otrzymać, korzystając z równań Lagrange'a

II rodzaju, w odniesieniu do układu z tłumieniem, w postaci

(2)

gdzie L = E - V

Po uwzględnieniu wszystkich warunków równanie (2) ma postać:

mx + bx +cx = 0 (3)

Podstawiając w równaniu (3) x = e^λt,, x = λe^λt i x = λ²e^λt oraz dzieląc obie strony uzyskanego równania przez e^λt, uzyskuje się

mλ² + bλ + c = 0

noszące nazwę równania charakterystycznego.

Wprowadza się pojęcie współczynnika tłumienia krytycznego b_kr, którego wartość zeruje wyrażenie pierwiastkowe pierwiastków równania charakterystycznego:

Trzy zasadnicze przypadki przedziałów wartości współczynnika tłumienia wiskotycznego układu:

1). Tłumienie podkrytyczne (małe).

Przypadek ten występuje przy małym tłumieniu w układzie, gdy

b< b_kr

częstość drgań tłumionych .

Drgania te stanowią oscylacje o eksponencjalnie zanikającym wychyleniu. Są to drgania okresowe.

2). Tłumienie krytyczne.

Występuje, gdy

b = b_kr

Równanie ruchu:

Ruch ten jest ruchem aperiodycznym.

3). Tłumienie nadkrytyczne (duże).

Występuje, gdy

b > b_kr

Równanie ruchu

Równanie to wskazuje na aperiodyczny ruch punktu materialnego, czyli ruch bez oscylacji. Stałe całkowania A oraz B wynikają bezpośrednio z warunków początkowych, inicjujących ruch układu.

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

Drgania swobodne, nietłumione - wahadło matematyczne

Istotnym przypadkiem drgań układu o jednym stopniu swobody jest ruch wahadła matematycznego.

Gdzie:

- masa,

l - długość nici wahadła,

Θ - kąt,

a_t - przyśpieszenie styczne,

ε - przyśpieszenie kątowe.

Korzystamy z równań Lagrange'a II rodzaju, oraz

i otrzymujemy:

Ruch wahadła matematycznego, z położenia Θ=0, któremu można przypisać czas t=0, do położenia maksymalnego wychylenia Θ_m. odbywa się podczas ćwiartki okresu jego drgań T.

Drgania swobodne, nietłumione - wahadło fizyczne.

Rysunek przedstawia położenie równowagi statycznej analizowanego układu:

Po wychyleniu układu wahadła fizycznego z położenia równowagi statycznej, otrzymujemy:

Zakładając występowanie jedynie małych wychyleń ciała z położenia równowagi częstość kątowa wyrażona jest zależnością:

Okres tych drgań wynosi:

Punkt ciała sztywnego, wykonującego wahania wokół punktu podwieszenia 0, oddalony od tego punktu o odległość, ma ważne znaczenie techniczne i nosi nazwę środka wahnień układu.

Temat 10

Drgania nietłumione, wymuszane kinematycznie.

Rozważany model oscylatora harmonicznego , poddanego działaniu zewnętrznego wymuszenia kinematycznego.

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne, drugiego rzędu, niejednorodne, liniowe, o stałych współczynnikach. Opisuje ono ruch drgający, wymuszony kinematycznie, układu mechanicznego o jednym stopniu swobody, bez tłumienia.

Amplituda drgań wymuszonych kinematycznie układu o jednym stopniu swobody, bez tłumienia jest równa:

Ostateczne równanie opisujące drgania oscylatora harmonicznego:

gdzie stałe współczynniki A oraz B można wyznaczyć na podstawie warunków początkowych ruchu drgającego.

Drgania nietłumione, wymuszane bezwładnościowo.

Rozważamy model oscylatora harmonicznego bez tłumienia, poddany działaniu zewnętrznego wymuszenia, w postaci siły , pochodzącej od dwóch mas o wartości każda, obracających się ze stałymi prędkościami kątowymi p. i -p. na promieniu niewyrównoważenia r względem masy zasadniczej m.

Równanie ruchu drgającego:

Amplituda drgań:

Równanie opisujące drgania wymuszone bezwładnościowo:

wyrażenie:

nosi w teorii drgań nazwę współczynnika uwielokrotnienia amplitudy lub współczynnika wzmocnienia.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI

Momentem bezwładności układu punktów materialnych względem punktu osi lub płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów poszczególnych mas tych punktów przez kwadrat ich odległości od punktu, osi lub płaszczyzny.

RÓWNANIE EULERA

W postaci pochodnej substancjalnej:

gdzie:

F - siły masowe odniesione do jednostki masy

P - ciśnienie

ζ - gęstość

Modelowanie ruchu maszyn

Tematy:

Układy techniczne.

Stopnie swobody.

Eliminator dynamiczny.

Uwagi do modelowania maszyn przepływowych.

Wyznaczanie prędkości i przyśpieszeń punktu mechanizmu metodą toru ocechowanego.

Drgania swobodne, nietłumione .

Drgania swobodne, tłumione.

Moment bezwładności.

Równanie Eulera.

Etapy modelowania ruchu maszyn.

Iwona Chmielarska

gr II

Modelowanie

ruchu

maszyn

Alaksender Czura

WT -MT

gr.I

ELABORAT

Z

MODELOWANIA RUCHU

MASZYN

Zagadnienia:

- analiza strukturalna mechanizmów, - badanie drgań nietłumionych wzbudzanych sinusoidalnie, - drgania swobodne, nietłumione - oscylator harmoniczny, - drgania swobodne , nietłumione - wahadło matematyczne, - drgania swobodne, tłumione tarciem suchym, - studium modelowania ruchu maszyn, - modelowanie suwnicy na bazie mostu jedno masowego, - dynamiczny eliminator drgań elementów maszyn, - zasada ruchu środka masy, - drgania nietłumione, wymuszone kinematycznie.

Napisała:

Lucyna Ożóg

gr.II

MT - WT

ZADANIE DOMOWE

Modelowanie ruchu maszyn

Lucyna Ożóg

gr. II

WT - MT

---