POLITECHNIKA ŚLĄSKA

WYDZ.:MAT.-FIZ.

KIERUNEK :

FIZYKA TECHNICZNA .

WAHADŁO MATEMATYCZNE .

BADANIE RUCHU DRGAJĄCEGO I ZALEŻNOŚCI

DRGAŃ OD DŁUGOŚCI WAHADŁA .

SEKCJA 7.

JAROSŁAW KONIECZNY

GRZEGORZ SZYC

1. WSTĘP.

Celem ćwiczenia jest sprawdzenie przybliżonego wzoru na okres wahań

wahadła matematycznego dla małych wychyleń , badanie zależności

okresu drgań wahadła od amplitudy oraz wyznaczenie wartości przyspie -

szenia ziemskiego .

T = 2 Π√ l / g

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na

nieważkiej , nierozciągliwej nici , umieszczony w polu siły ciężkości .Układ

taki nie istnieje w rzeczywistości , ale jego przybliżonym modelem może być ciężkie ciało zawieszone na lekkiej nici , o długości znacznie większej od rozmiarów ciała . Ruch wahadła matematycznego jest przykładem ru -

chu drgającego prostego ( harmonicznego ) , tzn. takiego , w którym siła kierująca jest proporcjonalna do wychylenia , w kierunku środka wahań .

Jeżeli wahadło jest w spoczynku , to siła ciężkości zostaje zrównoważo-

na przez naprężenie nici , natomiast jeżeli wahadło o długości l wychylimy z położenia równowagi o kąt α , a następnie puścimy je to będzie ono wa-

hać się pod wpływem składowej Q_s własnego ciężaru .

Q_s = Q sin α = mg sin α

jeżeli kąt α jest mały to sin α można zastąpić przez sam kąt .Wówczas Q_s

będzie równe w przybliżeniu Q_α . Siła wywołująca powrót wahadła do po -

łożenia równowagi jest przy małych kątach α proporcjonalna do kąta .

Pod jej wpływem wahadło zostaje wprowadzone w ruch oscylacyjny wokół

swego położenia równowagi . Zgodnie z prawem Hooke'a :

F = - k * s

Znak „ - ” oznacza , że siła jest skierowana stale przeciwnie do kierunku

wychylenia . Korzystając z 2 zasady dynamiki Newtona oraz tego , że

przyspieszenie jest drugą pochodną drogi s względem czasu możemy zapisać równanie ruchu dla wahadła :

d²s / dt² = g sinα

m ( d²s / dt² ) = F = k * s

d²s / dt² = ( k / m ) s

Ponieważ obie wielkości k i m są dodatnie , możemy przyjąć , że ich sto -

sunek równa się kwadratowi pewnej wielkości :

k / m = ω₀²

więc d²s / dt² = ω₀² s

Równanie przedstawiające ruch ma postać :

s = A sin ( ω₀ t + α₀ )

gdzie A i α₀ są wielkościami stałymi , które można wyznaczyć z warun -

ków początkowych .

Okresem drgań nazywamy czas , w ciągu którego drgający punkt ma -

terialny przejdzie przez wszystkie możliwe położenia i wróci do położenia

równowagi ( czas jaki upłynie między dwoma najbliższymi momentami

odpowiadającymi identycznej fazie drgania ) . Ponieważ s = l * α to

d² (α l ) / dt² + g sinα = 0 lub d²α / dt² + (g / l ) sinα = 0

Okres wahadła opisuje wtedy wzór :

T = 2Π ( l /g )^1/2 [ 1 + (1/2)² sin² (α₀ /2 ) + (1*3/2*4) sin⁴ (α₀ / 2 ) + ...]

gdzie α₀ jest maksymalnym wychyleniem ( amplitudą kątową ) .

Dla małych kątów równanie ruchu przyjmuje postać równania harmonicz -

nego :

d²α / dt² + (g / l ) sinα = 0

a wzór na okres wahań upraszcza się do wyrażenia : T = 2Π ( l /g )^1/2

Oznacza to , że okres nie zależy od amplitudy .

2. STANOWISKO POMIAROWE .

Stanowisko pomiarowe składa się z wahadła matematycznego , ukła-

du elektronicznego , który mierzy okres wahań , przelicznika wyświetlają-

cego wartość okresu oraz kątomierza do odczytywania wartości amplitudy.

3. PRZEBIEG POMIARÓW I OPRACOWANIE WYNIKÓW .

1. Włączyć zasilacz .

2. Upewnić się czy czasomierz mierzy czas w sekundach ( zapalona czer-

wona dioda przy s ) - jeśli nie , wcisnąć przycisk s/m ( przełącznik jednos -

tki czasu - sekundy i minuty ) .

3. Wybrany powinien być pomiar czasu ( wciśnięty niebieski przycisk T ) .

Ponadto należy wybrać pomiar czasu w ms ( wciśnięty przycisk 1/10⁵ ) .

4. Przycisnąć RESET a potem START .

5. Wprawić wahadło w ruch i sprawdzić czy wyświetlacz wskazuje wartość

okresu - jeśli nie należy poprosić o pomoc prowadzącego zajęcia .

6. Długość wahadła można zmieniać przez przesuwanie kątomierza wzdłuż pręta , na którym jest osadzony - pamiętać należy o wcześniej -

szym zwolnieniu „krokodylka” .

7. Odczytu kątów należy dokonywać obserwując podziałkę wzdłuż linii

prostopadłej do kątomierza i przechodzącej przez nić , na której jest za -

wieszone wahadło - unikamy w ten sposób błędu paralaksy .

8. Długość wahadła mierzymy od punktu jego zawieszenia do środka cię-

żkości ciężarka .

9. Zmierzyć okresy drgań wahadła dla długości zmienianej co 10 cm od

najmniejszej ( 30 cm ) do największej (1,4 m ) , odchylając wahadło o

ok. 5⁰ od położenia równowagi .

10. Przy minimalnej długości wahadła odchylić je o ok. 45⁰ . W miarę ma-

lenia amplitudy , co 5⁰ odczytywać wartość okresu .

11. Na papierze milimetrowym sporządzić wykres zależności okresu drgań od pierwiastka kwadratowego długości wahadła .

12. Przeprowadzić regresję liniową przyjmując jako zmienną niezależną pierwiastek kwadratowy długości , a za zmienną zależną okres drgań .

Dopasowana prosta ma postać :

T = a √l + b gdzie a = 2∏ √ 1/g

13. Wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego . Jej błąd obliczyć ze

wzoru : Δg = 2g (Δa / a)

14. Wykreślić zależność okresu drgań wahadła od amplitudy i na tej pod -

stawie określić amplitudę , przy której okres różni się o 1% od okresu dla

małych amplitud .

ZALEŻNOŚĆ OKRESU OD

DŁUGOŚCI WAHADŁA .

l.p	l [ cm]	√ l [ cm^1/2]	T [ s ]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ZALEŻNOŚĆ OKRESU OD

AMPLITUDY DRGAŃ .

l.p.	α [ ^0 ]	T [ s ]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

---