‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA 

CZ†‘‚ 2

GRANICA I CIGŠO‘‚ FUNKCJI

1. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji:

a) f : R −→ R, f(x) = x

2

,

b) f : R \ {0} −→ R, f(x) =

1
x

,

c) f : R

+

−→ R

, f(x) =

√

x

,

d) f : R −→ R, f(x) = |x|,

e) f : R −→ R, f(x) =

1

dla x 6∈ Q

0

dla x ∈ Q,

f) f : R −→ R, f(x) =

0

dla x 6∈ Q

x

dla x ∈ Q.

2. Pokaza¢, »e je±li funkcje f, g : R −→ R s¡ ci¡gªe, to funkcje: h

1

, h

2

:

R −→ R, h

1

(x) = max(f (x), g(x)), h

2

(x) = min(f (x), g(x))

te» s¡

ci¡gªe.

3. Pokaza¢, »e je±li funkcja f : R −→ R jest ±ci±le rosn¡ca i na, to jest

ci¡gªa.

4. Pokaza¢, »e funkcja speªniaj¡ca warunek Lipschitza:

∃

C

∀

x,x

0

∈R

|f (x) − f (x

0

)| ≤ C|x − x

0

|

jest ci¡gªa.

5. Udowodni¢, »e funkcja f : R −→ R ci¡gªa i speªniaj¡ca warunek

∀

x,y∈R

f (x + y) = f (x) + f (y)

jest postaci f(x) = ax dla pewnego a ∈ R.

6. Pokaza¢, »e warunek Lipschitza implikuje jednostajn¡ ci¡gªo±¢, a jednos-

tajna ci¡gªo±¢ implikuje ci¡gªo±¢ funkcji.

7. Sprawdzi¢ jednostajn¡ ci¡gªo±¢ nast¦puj¡cych funkcji:

a) f : [0; 1) −→ R, f(x) =

√

x

;

b) f : R −→ R; f(x) = x

2

;

c) f : [−a; a] −→ R; f(x) = x

2

;

d) f : (0; 1] −→ R; f(x) =

1
x

;

e) f : (0; 1] −→ R; f(x) = sin

1

x

.

8. Sprawdzi¢, czy funkcja speªnia warunek Lipschitza:

a) f : [0; 1] −→ R; f(x) =

√

x

;

b) f : [1; ∞) −→ R; f(x) =

√

x

.

1

9. Pokaza¢ z denicji Cauchy'ego, »e:

a) lim

x→0

√

x = 0

;

b) lim

x→x

0

√

x =

√

x

0

;

10. Obliczy¢ granic¦ funkcji w punkcie x

0

, je±li istnieje:

a)

sin αx

x

, x

0

= 0

;

b)



x

2

2+x

2



x

2

, x

0

= +∞

;

c)



x

2

2+x

2



1

x2

, x

0

= 0

;

d)

arc tg x

x

, x

0

= 0

;

e)

arc sin x

x

, x

0

= 0

;

f) sin

1

x

, x

0

= 0

;

g) x sin

1
x

, x

0

= 0

.

11. Znale¹¢ granice lewostronne i prawostronne funkcji w punkcie x

0

:

a) f(x) = [x

2

] + x

, x

0

= 10

;

b) f(x) = lim

n→+∞

x

n

1+x

n

, x

0

= 1

.

12. Znale¹¢ lim sup

x→0

f (x)

i lim inf

x→0

f (x)

, je±li:

a) f(x) = sin

1
x

;

b) f(x) =

1

x

2

sin

2 1

x

.

13. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji (w zale»no±ci od warto±ci parametrów a, b):

a) f(x) =



0

, x = 0

x sin

1
x

, x 6= 0 ;

b) f(x) =







(x−1)

2

x

2

−1

,

|x| 6= 1

a

, x = −1

b

,

x = 1

;

c) f(x) =



x

, |x| ≤ 1

x

2

+ ax + b , |x| > 1 ;

14. Pokaza¢, »e je±li funkcja f : [a; b) −→ R jest ci¡gªa i istnieje lim

x→b

f (x)

,

to f jest funkcj¡ ograniczon¡.

15. Niech x

0

b¦dzie punktem skupienia zbioru Z

f

= {x ∈ R : f (x) = 0}

,

gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ na R. Pokaza¢, »e x

0

∈ Z

f

.

16. Czy warunek:

∀

x∈R

lim

h→0

[f (x + h) − f (x − h)] = 0

poci¡ga za sob¡ ci¡gªo±¢ funkcji f?

17. Czy funkcja ci¡gªa f : [0; 1] −→ [0; 1] musi posiada¢ punkt staªy?

2

18. Pokaza¢, »e je±li f, g s¡ funkcjami ci¡gªymi na R oraz

∀

x∈Q

f (x) = g(x),

to f = g.

RACHUNEK RӛNICZKOWY

19. Wykaza¢, »e funkcja f(x) = |x| nie jest ró»niczkowalna w punkcie x

0

= 0

.

20. Pokaza¢, »e funkcje rzeczywiste:

a) x

n

, n ∈ N;

b) log

a

x

, 0 < a 6= 1;

c) x

r

, r ∈ R

maj¡ pochodne w ka»dym punkcie swojej dziedziny.

21. Niech b¦dzie dana funkcja f : [a; b] −→ R, ró»nowarto±ciowa, ró»niczkowalna

i f

0

(x) 6= 0

w [a; b]. Pokaza¢, »e funkcja f

−1

: [m; M ] −→ [a; b]

jest

ró»niczkowalna i

f

−1

0

(y) =

1

f

0

(x)

dla x ∈ (a; b), y = f(x).

22. Obliczy¢ pochodne funkcji e

x

i arc tg x w punkcie x

0

∈ R

oraz funkcji

arc sin x

w punkcie x

0

∈ (0; 1)

.

23. a) Obliczy¢ pochodn¡ funkcji odwrotnej do funkcji f(x) = x + e

x

w

punkcie y

0

= 1

.

b) Obliczy¢ pochodne funkcji ln | sin x|, sin ln |x|, arc cos(sin x

4

− cos x

4

)

,

x

x

x

.

24. Dla jakich warto±ci α funkcja:

f (x) =

|x|

α

sin

1
x

, x 6= 0

0,

x = 0

w punkcie x

0

= 0

a) jest ci¡gªa;
b) ma pochodn¡;
c) ma ci¡gª¡ pochodn¡?

25. Poda¢ rozwini¦cie w szereg Taylora rz¦du n w otoczeniu punktu x

0

= 0

funkcji f(x) = (1 + x)

α

, gdzie α ∈ R. Rozwa»y¢ szczególne przypadki

dla α = 0, α = 1, α = −1, α =

1
2

.

26. Wykaza¢, »e ln 2 = 1 −

1
2

+

1
3

−

1
4

+ . . .

.

3

27. Znale¹¢ k¡ty, pod jakimi przecinaj¡ si¦ krzywe:

a) y = sin x, y = cos x;
b) y = x

2

, y

2

= x

.

28. Pokaza¢, »e je»eli f jest funkcj¡ a) parzyst¡, b) okresow¡ o okresie T , to

jej pochodna f

0

jest funkcj¡ a) nieparzyst¡, b) okresow¡ o okresie T .

29. Udowodni¢ wzór Leibniza:

(f · g)

(k)

(x) =

k

X

i=0

k

i



f

(i)

(x) · g

(k−i)

(x).

30. Obliczy¢:

a) (x

2

e

2x

)

(20)

,

b)



1+x

√

1−x



(100)

.

31. Pokaza¢, »e je±li wielomian P

n

(x) ∈ R

n

[x]

ma tylko pierwiastki rzeczy-

wiste, to wielomiany P

0

(x), P

00

(x), . . . , P

(n−1)

(x)

te» maj¡ tylko pier-

wiastki rzeczywiste.

32. Pokaza¢, »e:

a)

√

x + 1−

√

x =

1

2

√

x+θ(x)

dla x ≥ 0, gdzie θ(x) ∈ [

1
4

;

1
2

]

oraz lim

x→0

+

θ(x) =

1
4

i lim

x→∞

θ(x) =

1
2

;

b) 2 arc tg x + arc sin

2x

1+x

2

= πsgnx

dla |x| ≥ 1;

c) 3 arc cos x − arc cos(3x − 4x

3

) = π

dla |x| ≤ 1;

d) | sin x − sin y| ≤ |x − y|;
e) | arc tg x − arc tg y| ≤ |x − y|;
f)

a−b

a

< ln

a

b

<

a−b

b

dla 0 < b < a.

33. Obliczy¢ pochodne:

a) y = (1 + x)

√

2 + x

2

3

√

3 + x

3

,

b) y = sin(cos

2

(tg

3

x))

,

c) y = e

ax a sin bx−b cos bx

√

a

2

+b

2

,

d) y = x

x

x

+ x

x

+ x

.

34. Dla jakiej warto±ci parametru a parabola y = ax

2

jest styczna do krzywej

y = ln x

?

35. Obliczy¢ granice:

a) lim

x→0

tg x−x

x−sin x

, b) lim

x→0

x ctg x−1

x

2

, c) lim

x→0

1−cos

2

x

x

2

sin

2

x

, d) lim

x→0

arc sin 2x−2 arc sin x

x

3

,

e) lim

x→0

+

ln(sin ax)

ln(sin bx)

, a, b > 0, f) lim

x→+∞

ln x

x

α

, α > 0, g) lim

x→0

+

cos x

x

−

e

x

sin x

,

h) lim

x→0

+

x

2

ln x

, i) lim

x→0

+

(sin x)

x

, j) lim

x→

π

2

−

(tg x)

2 cos x

,

k) lim

x→0

+

(1 + x)

ln x

.

4

36. Pokaza¢, »e je±li f : [a; b] −→ R jest ró»niczkowalna oraz

∀

x∈(a;b)

f

0

(x) = 0,

to f = const.

37. Pokaza¢, »e je±li funkcje rzeczywiste φ i ψ s¡ n-krotnie ró»niczkowalne

oraz:

φ

(k)

(x

0

) = ψ

(k)

(x

0

)

dla k = 0, 1, . . . , n − 1

φ

(n)

(x) > ψ

(n)

(x)

dla x > x

0

to φ(x) > ψ(x) dla x > x

0

.

38. Korzystaj¡c z poprzedniego zadania pokaza¢, »e prawdziwe s¡ nierówno±ci:

a) e

x

> 1 + x

dla x 6= 0,

b) tg x > x +

x

3

3

dla 0 < x <

π

2

,

c) x > ln(1 + x) > x −

x

2

2

dla x > 0,

d) x −

x

3

6

< sin x < x

dla x > 0.

39. Znale¹¢ przedziaªy monotoniczno±ci funkcji:

a) f : [0; +∞) −→ R, f(x) = x

n

e

−x

, (n ∈ N);

b) f : R −→ R, f(x) = x + | sin 2x|.

40. Zbada¢ monotoniczno±¢ funkcji f(x) = (1 +

1
x

)

x

w przedziale:

a) (0; +∞),
b) (−∞; −1).

41. Znale¹¢ przedziaªy wypukªo±ci i punkty przegi¦cia funkcji:

a) y = x + sin x;
b) y = ln(1 + x

2

)

;

c) y = x sin x, x > 0;
d) y = x

x

, x > 0.

42. Zbada¢ wypukªo±¢ funkcji:

a) y = x

α

, α > 0,

b) y = e

x

,

c) y = x ln x.

43. Pokaza¢, »e je»eli f jest ci¡gªa w [a; b], ma drug¡ pochodn¡ w (a; b) oraz

∀

x∈(a;b)

f

00

(x) > 0,

to

∀

α,β>0

α + β = 1 ⇒ f (αa + βb) < αf (a) + βf (b).

5

44. Korzystaj¡c z poprzedniego zadania udowodni¢ nierówno±ci:

a)

x

n

+y

n

2

>

x+y

2

n

dla n > 1, x 6= y oraz x, y > 0;

b)

e

x

+e

y

2

> e

x+y

2

dla x 6= y;

c) xy ≤

x

p

p

+

y

q

q

dla x, y ≥ 0, p, q > o,

1
p

+

1
q

= 1

.

45. Udowodni¢, »e je»eli dla ka»dego x ∈ (a; b) f

0

(x) = g

0

(x)

, to f(x) =

g(x) + const

.

46. Pokaza¢, »e:

a) ln(1 + x) = x −

x

2

2

+

x

3

3

−

x

4

4

+ . . .

dla |x| < 1;

b) arc tg(x) = x −

x

3

3

+

x

5

5

−

x

7

7

+ . . .

dla |x| < 1;

47. Wykaza¢, »e je»eli wszystkie pochodne f

(n)

funkcji f istniej¡ i s¡ wspólnie

ograniczone na przedziale (0; x), tzn.:

∃

M

∀

n

∀

t∈(0;x)

|f

(n)

(t)| < M,

to f(x) ma rozwini¦cie w szereg pot¦gowy Maclaurina.

48. Wykaza¢, »e je»eli funkcja f posiada rozwini¦cie w szereg pot¦gowy, to

posiada tylko jedno takie rozwini¦cie, mianowicie rozwini¦cie Maclaurina.
Inaczej: je»eli f(x) = P

+∞
n=0

a

n

x

n

, to a

n

=

f

(n)

(0)

n!

.

49. Napisa¢ wzór Maclaurina dla funkcji f(x). Zbada¢ lim

n→+∞

R

n

.

a) f(x) = (1 + x)

a

, gdzie a 6∈ N oraz |x| < 1;

b) f(x) =



e

−

1

x2

dla x 6= 0

0

dla x = 0

.

CIGI I SZEREGI FUNKCYJNE

50. Zbada¢ jednostajn¡ zbie»no±¢ ci¡gu:

a) f

n

(x) = x

n

(1 − x

n

)

, 0 ≤ x ≤ 1

b) f

n

(x) =

1

nx

, 0 < x ≤ 1

c) g

n

(x) =

1

x

2

, 0 < x < 1

d) h

n

(x) = x(1 −

1

n

)

, 0 < x < 1

e) g

n

h

n

, g

n

jak w c), h

n

jak w d).

51. Dany jest ci¡g f

n

: [a; b] −→ R

zbie»ny jednostajnie do f. Pokaza¢, »e

ci¡g {|f

n

|}

zbiega jednostajnie do |f|.

52. Czy je±li ci¡g {|f

n

|}

jest zbie»ny jednostajnie to ci¡g {f

n

}

jest zbie»ny

jednostajnie lub punktowo?

6

53. Dany jest ci¡g f

n

: [a; b] −→ R

funkcji ci¡gªych zbie»ny jednostajnie do

f

. Pokaza¢, »e

∀

x

0

∈[a;b]

∀

{x

n

}⊂[a;b]

lim

n→+∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→+∞

(f

n

(x

n

)) = f (x

0

).

54. Poda¢ przykªad ci¡gu funkcyjnego funkcji ci¡gªych zbie»nego punktowo

do f i ci¡gu x

n

→ x

0

takiego, »e lim

n→+∞

(f

n

(x

n

)) 6= f (x

0

)

.

55. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych:

a) f

n

(x) = n(

q

x +

1

n

−

√

x)

, x ∈ (0; +∞)

b) f

n

(x) =

arctan nx, x ∈ R

c) f

n

(x) =

n

√

1 + x

n

, x ∈ [0; +∞)

d) f

n

(x) = nx(1 − x)

n

, x ∈ [0; 1]

e) f

n

(x) =

√

x + n + 1 −

√

x + n

, x ∈ R

+

f) f

n

(x) = x

n

(1 − x

n

)

, x ∈ [0; 1]

56. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów:

a) P

+∞
n=1

1

x

2

+n

2

, x ∈ R

b) P

+∞
n=1

(−1)

n

x+2

n

, x ∈ (−2; +∞)

c) P

+∞
n=1

sin(nx)

n

√

n

, x ∈ R

d) P

+∞
n=0

(1 − x)x

n

, x ∈ [0; 1]

e) P

+∞
n=1

x

2

n

4

+x

4

, x ∈ R

f) P

+∞
n=1

x

n

n

, x ∈ [0; 1)

g) P

+∞
n=1

1

x

2

−n

2

, x ∈ R

57. Pokaza¢, »e je±li f

n

: (a; b) −→ R

, P

+∞
n=1

|f

n

(x)|

jest zbie»ny jednostajnie,

to P

+∞
n=1

f

n

(x)

jest zbie»ny jednostajnie.

58. Wyznaczy¢ promie« zbie»no±ci szeregu pot¦gowego, zbada¢ zbie»no±¢ na

ko«cach przedziaªu:
a) P

+∞
n=1

x

n

n

b) P

+∞
n=1

(2 + (−1)

n

)

n

x

n

c) P

+∞
n=1

x

n

n

2

d) P

+∞
n=1

(n − 1)3

n−1

x

n−1

7

RACHUNEK CAŠKOWY

59. Obliczy¢ caªki:

1) R x(x − 1)(x − 2) dx, 2) R (x

2

− x + 1)

2

x dx

, 3) R

x(

√

x−x

2 3

√

x)

4

√

x

dx

,

4) R

√

x−

3

√

x

x

2

dx

, 5) R

x

(x

2

+a

2

)

n

dx

, 6) R

1

√

2x−3

dx

, 7) R x

2

√

2x

x

− 3 dx

,

8) R xe

x

2

dx

, 9) R sin x cos x dx, 10) R

ln x

x

dx

, 11) R

x

√

1−x

4

dx

, 12) R xe

x

dx

,

13) R x sin x dx, 14) R e

x

sin x dx

, 15) R ln x dx, 16) R (ln x)

2

dx

,

17) R arc tg x dx, 18) R tg x dx, 19) R

1

sin x

dx

, 20) R

x

2

+1

x

4

+1

dx

, 21) R

1

√

1+e

x

dx

,

22) R

1

√

x

2

+x

dx

, 23) R

xe

x

(1+x)

2

dx

, 24) R

ln(sin x)

sin

2

x

dx

, 25) R e

ax

cos bx dx

,

26) R e

√

x

dx

, 27) R x

2

√

a

2

+ x

2

dx

, 28) R ln(x +

√

1 + x

2

) dx

,

29) R x ln(x + 1) dx, 30) R x

3

e

−x

2

dx

.

60. Znale¹¢ caªki uªamków prostych:

a)

A

(x−a)

,

A

(x−a)

k

, k > 1

b)

Bx+C

(x

2

+a

2

)

,

Bx+C

(x

2

+a

2

)

n

, n > 0

oraz w postaci ogólnej:
c)

A

(ax+b)

k

,

Bx+C

(x

2

+px+q)

, ∆ < 0.

61. Obliczy¢ caªki z funkcji wymiernych:

1) R

1

x

4

+64

dx

, 2) R

2x

5

+6x

3

+1

x

4

+9x

2

dx

, 3) R

cx+d
ax+b

dx

, 4) R

x

2x

2

−3x−2

dx

, 5) R

6x−1

3x

2

−x+2

dx

,

6) R

x−3

x

2

−6x−5

dx

, 7) R

1

2x

2

+9x−5

dx

, 8) R

11x−1

3x

2

−5x−2

dx

, 9) R

1

9x

2

−12x+4

dx

,

10) R

9x−5

9x

2

−6x+1

dx

, 11) R

1

x

2

+b

dx

, 12) R

1

2x

2

+9

dx

, 13) R

1

(x−k)

2

+b

dx

,

14) R

1

2x

2

−12x+27

dx

, 15) R

x+1

2x

2

+6x+5

dx

, 16) R

x

(x+1)(x+2)(x−3)

dx

,

17) R

x

3

+1

x

3

−5x

2

+6x

dx

, 18) R

1

x

3

+1

dx

, 19) R

1

x

4

+1

dx

, 20) R

1

(x+1)(x+2)

2

(x+3)

2

dx

,

21) R

1

x

4

+x

2

+1

dx

, 22) R

1

(x

2

+x+1)(x

2

−x+1)

dx

, 23) R

x

2

+1

x

4

+x

2

+1

dx

, 24) R

x

4

+1

x

6

+1

dx

.

62. Obliczy¢ caªki, stosuj¡c odpowiednie podstawienie:

1) R

x+

q

x+2
x−1

+1

x

3

+2

3

q

x+2
x−1

dx

, 2) R

1

√

x

2

+b

dx

, 3) R

1

√

ax

2

+bx+c

dx

, 4) R

√

x+1−

√

x−1

√

x+1+

√

x−1

dx

,

5) R

1

1−

√

1−2x−x

2

dx

, 6) R

1

x+

√

x

2

+x

dx

, 7) R

x−

√

x

2

+3x+2

x+

√

x

2

+3x+2

dx

.

63. Obliczy¢ caªki z funkcji trygonometrycznych:

1) R sin

4

x dx

, 2) R cos

7

x dx

, 3) R sin

n

x dx

, 4) R

sin x

cos

3

x−cos x

dx

, 5) R

1

sin x

dx

,

6) R

sin

3

x

cos

4

x

dx

, 7) R

1

sin x cos

4

x

dx

, 8) R sin 5x cos x dx, 9) R cos x cos 2x cos 3x dx,

10) R

1

sin(x+a) sin(x+b)

dx

, 11) R

1

2+cos x

dx

, 12) R

1

sin

6

x cos

6

x

dx

, 13) R

sin x cos x

1+sin

4

x

dx

,

14) R

sin x cos x

sin x+cos x

dx

, 15) R

sin

2

x

1+sin

2

x

dx

, 16) R

1

a

2

sin

2

x+b

2

cos

2

x

dx

, 17) R

1

cos x+cos a

dx

.

64. Udowodni¢, »e R

1

0

arc tg x

x

dx =

1
2

R

π

2

0

t

sin t

dt

.

65. Pokaza¢, »e dla dowolnej funkcji ci¡gªej f : [0; a] −→ R, a > 0, zachodzi

Z

a

0

f (x) dx =

Z

a

0

f (a − x) dx.

8

66. Niech f : [a; b] −→ R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ i tak¡, »e ∀

x∈[a;b]

f (x) ≥ 0

.

Pokaza¢, »e:

Z

b

a

f (x) dx = 0 ⇔ f = 0.

67. Pokaza¢, »e funkcja monotoniczna okre±lona na przedziale [a; b] jest caªkowalna

w sensie Riemanna.

68. Pokaza¢, »e f : [0; 1] −→ R dana wzorem:

f (x) =

1 , x 6=

1

n

0 , x =

1

n

n ∈ N

jest caªkowalna w sensie Riemanna oraz znale¹¢ R

1

0

f (x) dx

.

69. Obliczy¢ dªugo±¢ :

a) póªokr¦gu o promieniu 1;
b) ªuku okr¦gu o promieniu r opatrego na k¡cie t

0

;

c) krzywej γ : [0; 1] −→ R

2

, γ(t) = (t, t

2

)

;

d) krzywej y = ln x dla x ∈ [

√

3; 2

√

2]

.

70. Obliczy¢ obj¦to±ci bryª powstaªych z obrotu podanych gur T wokóª

wskazanych osi:
a) T : x ∈ [−

π

2

;

π

2

]

, 0 ≤ y ≤ cos x, OX;

b) T : x ∈ [0;

π

2

]

, 0 ≤ y ≤ sin x + cos x, OX;

c) T : x ∈ [0; 1], 0 ≤ y ≤ e

−x

, OY .

71. Obliczy¢ pola powierzchni bocznych bryª powstaªych z obrotu wykresów

podanych funkcji wokóª wskazanych osi:
a) f(x) = x

3

, 0 ≤ x ≤ 1, OX;

b) f(x) = 2

√

x

, 0 ≤ x ≤ 1, OY .

72. Obliczy¢ caªki niewªa±ciwe:

a) R

+∞

0

sin x dx

, b) R

+∞

1

1

x

α

dx

, c) R

+∞

−∞

1

1+x

2

dx

, d) R

+∞

1

1

x

2

dx

, e) R

+∞

1

1
x

dx

,

f) R

1

−1

1

√

1−x

2

dx

, g) R

+∞

0

arc tg x

1+x

2

dx

.

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

73. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu:

a) a

n

= (

1

n

, (−1)

n

)

, b) b

n

= (

n

√

n,

1

n

, ln

n

n+1

)

.

9

74. Uzupeªni¢:

|

zbiór

|

ograniczony | otwarty | domkni¦ty |

|

R

2

|

|

|

|

|

{(x, y) : x

2

+ y

2

< 2}

|

|

|

|

|

{(x, y) : x

2

+ y

2

≤ 2}

|

|

|

|

|

{(x, y) : x

2

+ y

2

> 2}

|

|

|

|

| {(x, y) : 1 ≤ x

2

+ y

2

< 2} |

|

|

|

|

{(x, y) : x + y = 1}

|

|

|

|

75. Wyznaczy¢ i narysowa¢ naturalne dziedziny podanych funkcji. Czy s¡ to

zbiory ograniczone, otwarte, domkni¦te?
a) f(x, y) =

√

x sin y

, b) f(x, y) = arc sin py −

√

x

.

76. Obliczy¢ granice, je±li istniej¡:

a) lim

(x,y)→(0,0)

x

x+y

, b) lim

(x,y)→(0,0)

xy

x

2

+y

2

, c) lim

(x,y)→(0,0)

(xy)

2

x

2

+y

2

,

d) lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y)

, gdze f(x, y) =



sin(xy)

x

, x 6= 0

0

, x = 0

.

77. Znale¹¢ zbiór punktów, w których funkcja f : R

2

−→ R

okre±lona

wzorem:

f (x, y) =

px

2

+ y

2

, x ≥ 0

2

, x < 0

jest ci¡gªa.

RACHUNEK RӛNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

78. Obliczy¢ pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du funkcji:

a) f(x, y) = arc cos

x
y

, b) f(x, y, z) = x

y

− z

x

.

79. Obliczy¢ z denicji pochodne cz¡stkowe funkcji:

a) f(x, y) =

3

px

3

− y

3

w punkcie (x

0

, y

0

) = (0, 0)

;

b) f(x, y, z) =

(

x

3

+y

x

2

+y

2

+z

2

, (x, y, z) 6= (0, 0, 0)

0

, (x, y, z) = (0, 0, 0)

w punkcie (x

0

, y

0

, z

0

) =

(0, 0, 0)

.

10

80. Niech

f (x, y) =

(

xy(x

2

−y

2

)

x

2

+y

2

, (x, y) 6= (0, 0)

0

, (x, y) = (0, 0)

.

Zbada¢, czy

∂

2

j

∂x∂y

(0, 0) =

∂

2

j

∂y∂x

(0, 0)

.

81. Zbada¢ ró»niczkowalno±¢ funkcji

a) f(x, y) = x

2

− y

2

w punkcie (x

0

, y

0

) = (1, −2)

;

b) f(x, y) =

(

xy

√

x

2

+y

2

, (x, y) 6= (0, 0)

0

, (x, y) = (0, 0)

w punkcie (x

0

, y

0

) = (0, 0)

.

82. Korzystaj¡c z reguªy ró»niczkowania funkcji zªo»onej obliczy¢ pochodne

cz¡stkowe pierwszego rz¦du wzgl¦dem x i y funkcji z: z = f(u, v) = e

uv

,

u = ln

px

2

+ y

2

, v = arc tg

x
y

.

83. Obliczy¢ z denicji pochodn¡ kierunkow¡ funkcji f(x, y) = px

2

+ y

2

w

punkcie (x

0

, y

0

) = (0, 0)

w kierunku wektora ~v = (

1
2

, −

√

3

2

)

.

84. Obliczy¢ gradient i pochodn¡ kierunkow¡ funkcji f(x, y) = sin x cos y w

punkcie (0, π) w kierunku ~v = (−

1
2

,

√

3

2

)

.

85. Znale¹¢ ekstrema funkcji f(x, y) = 3x

3

+ 3x

2

y − y

3

− 15x

.

86. Zbada¢, czy podane funkcje maj¡ ekstrema lokalne:

a) f(x, y) = 2 − p3x

2

+ 4y

2

, b) f(x, y) = x

8

− y

4

.

87. Znale¹¢ warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji f(x, y) = x

2

+ y

2

−

xy + x + y

w trójk¡cie domkni¦tym ograniczonym prostymi x = 0, y = 0,

y = −x − 3

.

88. Znale¹¢ warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji f(x, y) = 2xy w kole

domkni¦tym D = {(x, y) : x

2

+ y

2

≤ 1}

.

89. Obliczy¢ pochodn¡ f

0

funkcji y = f(x) danej równaniem y

3

− 4xy + x

2

=

0

.

90. Znale¹¢ ekstrema funkcji uwikªanej

a) y = f(x) danej równaniem y

4

− 8xy − 4y + 8x

2

= 0

;

b) z = f(x, y) danej równaniem 5x

2

+5y

2

+5z

2

−2xy−2xz −2yz −72 = 0

.

91. Korzystaj¡c z metody Lagrange'a znale¹¢ punkty, w których funkcja

f (x, y) = xy

mo»e mie¢ ekstremum warunkowe przy warunku x

2

+y

2

= 2

.

RACHUNEK CAŠKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

11