ĆWICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ – ZADANIA

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

1. Obliczyć pochodne funkcji:

a) f (x) =

3
x

−

4

√

x

2x

;

b) f (x) = −3 cos

3

(6x);

c) f (x) = arcsin(2x);

d) f (x) =

1

sin x

;

e) f (x) =

arcsin x

arccos x

;

f ) f (x) = 2

3x+5

;

g) f (x) = e

√

ln x

;

h) f (x) =

p

1 + ln

2

x;

i) f (x) =

p

x +

√

x;

j) f (x) = e

sin

3

x

;

k) f (x) = ln(x +

√

x

2

+ 1);

l) f (x) =

q

x +

p

x + 3

√

x;

m) f (x) = x

6x

;

n) f (x) = (cos x)

sin(2x)

;

o) f (x) = 1 +

1
x

x

;

p) f (x) = (tg(2x))

ctg

π

2

;

q) f (x) = (x + 1)

1

sin x

;

r) f (x) = x

x

ln2 x

.

2. Obliczyć pochodne funkcji:

a) y =

q

1−

√

x

1+

√

x

;

b) y =

q

sin x +

p

x + 2

√

x;

c) y =

q

1−arcsin x

1+arccos x

;

d) y = arc tg(2 tg

x
2

+ 1) − x;

e) y = ln(ln(ln x));

f ) y = x

1

ln x

;

g) y = e

e

x

;

h) y = ln(1 +

1

x

)

x

;

i) y =

x

q

1

x

.

3. Obliczyć pochodne funkcji:

a) y = (1 + x)

√

2 + x

2

3

√

3 + x

3

,

b) y = sin(cos

2

(tg

3

x)),

c) y = e

ax a sin bx−b cos bx

√

a

2

+b

2

,

d) y = x

x

x

+ x

x

+ x.

4. Uzupełnić tabelkę:

Funkcja

ciągła

różniczkowalna

klasy C

1

y = |x|

y = x|x|

y =

sin

1
x

, x 6= 0

0,

x = 0

y =

x sin

1

x

, x 6= 0

0,

x = 0

y =

x

2

sin

1

x

, x 6= 0

0,

x = 0

5. Wykazać, że funkcja f (x) = |x| nie jest różniczkowalna w punkcie x

0

= 0.

6. Zbadać różniczkowalność funkcji:

a) f (x) = |x

2

− x − 6|;

b) f (x) = | sin(3x)|;

c) f (x) =

(

x

2

dla x ≤ 1

ax + b

dla x > 1

;

d) f (x) =

(

x

3

dla x ≤ 1

−3x

2

+ 6x − 2

dla x > 1

.

1

7. Pokazać, że funkcje rzeczywiste:

a) x

n

, n ∈ N;

b) log

a

x, 0 < a 6= 1;

c) x

r

, r ∈ R

mają pochodne w każdym punkcie swojej dziedziny.

8. Dla jakich wartości α funkcja:

f (x) =

|x|

α

sin

1

x

, x 6= 0

0,

x = 0

w punkcie x

0

= 0

a) jest ciągła;

b) ma pochodną;

c) ma ciągłą pochodną?

9. Znaleźć kąty, pod jakimi przecinają się krzywe:

a) y = sin x, y = cos x;

b) y = x

2

, y

2

= x.

10. Pokazać, że jeżeli f jest funkcją różniczkowalną na całej dziedzinie oraz a) parzystą,

b) okresową o okresie T , to jej pochodna f

0

jest funkcją a) nieparzystą, b) okresową

o okresie T .

11. Pokazać, że:

a)

a−b

a

< ln

a

b

<

a−b

b

dla 0 < b < a;

b) | sin x − sin y| ≤ |x − y|;

c) | arc tg x − arc tg y| ≤ |x − y|;

d) 2 arc tg x + arc sin

2x

1+x

2

= π sgn x dla |x| ≥ 1;

e) 3 arccos x − arccos(3x − 4x

3

) = π dla |x| ≤

1
2

.

12. Dla jakiej wartości parametru a parabola y = ax

2

jest styczna do krzywej y = ln x?

13. Obliczyć granice:

a) lim

x→0

tg x−x

x−sin x

;

b) lim

x→0

x ctg x−1

x

2

;

c) lim

x→0

1−cos

2

x

x

2

sin

2

x

;

d) lim

x→0

arcsin 2x−2 arcsin x

x

3

;

e) lim

x→0

+

ln(sin ax)

ln(sin bx)

, a, b > 0;

f ) lim

x→+∞

ln x

x

α

, α > 0;

g) lim

x→0

+

cos x

x

−

e

x

sin x

;

h) lim

x→0

+

x

2

ln x;

i) lim

x→0

+

(sin x)

x

;

j) lim

x→

π

2

−

(tg x)

2 cos x

;

k) lim

x→0

+

(1 + x)

ln x

.

14. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:

a) f : [0; +∞) −→ R, f (x) = x

n

e

−x

, (n ∈ N);

b) f : R −→ R, f (x) = x + | sin 2x|.

2

15. Zbadać monotoniczność funkcji f (x) = (1 +

1
x

)

x

w przedziale:

a) (0; +∞),

b) (−∞; −1).

16. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:

a) f (x) =

x

1+x

2

;

b) f (x) =

1

1+x

2

;

c) f (x) = e

−x

2

;

17. Znaleźć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji:

a) y = x + sin x;

b) y = ln(1 + x

2

);

c) y = x ln x, x > 0;

d) y = x

x

, x > 0.

18. Zbadać wypukłość funkcji:

a) y = x

α

, α > 0,

b) y = e

x

.

19. Udowodnić wzór Leibniza:

(f · g)

(k)

(x) =

k

X

i=0

k

i



f

(i)

(x) · g

(k−i)

(x).

20. Obliczyć:

a) (x

2

e

2x

)

(20)

,

b)



1+x

√

1−x



(100)

.

21. Podać rozwinięcie w szereg Taylora rzędu n w otoczeniu punktu x

0

= 0 funkcji

f (x) = (1 + x)

α

, gdzie α ∈ R. Rozważyć szczególne przypadki dla α = 0, α = 1,

α = −1, α =

1
2

.

22. Wykazać, że ln 2 = 1 −

1
2

+

1
3

−

1
4

+ . . ..

23. Pokazać, że:

a) ln(1 + x) = x −

x

2

2

+

x

3

3

−

x

4

4

+ . . . dla |x| < 1;

b) arc tg(x) = x −

x

3

3

+

x

5

5

−

x

7

7

+ . . . dla |x| < 1;

24. Napisać wzór Maclaurina dla funkcji f (x). Zbadać lim

n→+∞

R

n

.

a) f (x) = e

x

, x ∈;

b) f (x) = sin x, x ∈;

c) f (x) = cos x, x ∈;

3

d) f (x) = (1 + x)

a

, gdzie a 6∈ N oraz |x| < 1;

e) f (x) =



e

−

1

x2

dla

x 6= 0

0

dla

x = 0

.

4