UKSW Egzamin termin „0” ALGEBRA LINIOWA
Matematyka I rok Semestr 1 Kazimierz Jezuita
2009/2010

1. Znaleźć część rzeczywistą, urojoną oraz moduł liczby zespolonej z postaci:

𝑧 =

(1 − 𝑖)

2

3 + 𝑖

Czy liczba z należy do zbioru

𝑧 ∈ 𝐶 ∶

𝜋

2

< 𝐴𝑟𝑔𝑧 ≤ 𝜋 ?

Znaleźć pierwiastki kwadratowe z liczby z.

Wyniki zilustrować na płaszczyźnie zespolonej.

2. Macierz przekształcenia liniowego

2

2

]

[

:

R

R

f





w bazach standardowych:

1

)

(

1



x

e

,

x

x

e



)

(

2

,

2

3

)

(

x

x

e



oraz

)

0

,

1

(

'

1



e

,

)

1

,

0

(

'

2



e

,

ma postać

𝐴 =

1 0 −2
2 3

0

Określić

f

Im

oraz

Kerf

podając wymiary oraz przykładowe bazy tych podprzestrzeni.

Czy przekształcenie to jest: injekcją, bijekcją?

Znaleźć obraz wielomianu 𝑤 𝑥 = 3𝑥

2

− 2𝑥 + 1.

Znaleźć przeciwobraz wektora 𝑎 = −1

1

.

Rozwiązując odpowiednie układy równań liniowych należy korzystać z jednej z następujących

metod: metoda operacji elementarnych, metoda macierzy odwrotnej, wzory Cramera.

3. Rozwiązać układ równań dwoma metodami: metodą macierzy odwrotnej oraz ze wzorów Cramera.

2

3

1

2

3

2



















z

x

z

y

x

z

y

x

4. Sprawdzić czy relacja w przestrzeni liniowej

𝑅

2

:

𝑎 ~ 𝑏 jeśli wektory 𝑎, 𝑏 są liniowo

niezależne, jest relacją równoważności? Odpowiedź uzasadnić i zilustrować przykładem.

5. Znaleźć współrzędne wektora

𝑎 = 2, −3 w przestrzeni 𝑅

2

, w bazie

𝑒′

1

= (1, −1) , 𝑒′

2

= (1,1) .

6. Obliczyć wyznacznik

1

0

−2 3

2

4

0

1

2

1

0

−2

−1

0

3

2

7. Podane są macierze:

𝐴 =

4 −1
3

2

, 𝐵 =

1 −1 2
0

1

3

, 𝐶 =

0

3

1

1

−2 0

Wyznaczyć macierz postaci 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴

𝑇

oraz wyznaczyć jej rząd.