AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane

6

§ 2.

Przestrzenie unormowane

Przestrzenie liniowe mo˙zemy rozpatrywa´c z r´

o˙znymi topolo-

giami. Je´sli wprowadzona topologia zapewnia cia

‘

g lo´s´c dzia la´

n, to

uzyskana

‘

przestrze´

n nazywamy przestrzenia

‘

liniowo-topologiczna

‘

(p.l.t.). Niekt´ore klasy p.l.t. przedstawia poni˙zszy rysunek.

przestrzenie liniowo-topologiczne

przestrzenie unormowane

przestrzenie Banacha

przestrzenie Hilberta

przestrzenie
euklidesowe

przestrzenie lokalnie-wypukłe

Normy i seminormy

Niech X p.liniowa. Funkcje

‘

(funkcjona l) ϕ : X → R nazywamy

norma

‘

na X, je´sli:

(1) ϕ(x) ≥ 0

nieujemno´s´c,

(2) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y)

nier´

owno´s´c tr´

ojka

‘

ta,

(3) ϕ(λx) = |λ|ϕ(x)

jednorodno´s´c,

(4) ϕ(x) = 0 ⇔ x = 0

warunek zerowania sie

‘

.

Je´sli ϕ ma w lasno´sci (1) - (3), to ϕ nazywamy seminorma

‘

.

Ka˙zda norma jest seminorma

‘

ale nie odwrotnie.

Przyk lady

(a) ϕ(x) = |x|, x ∈ R, jest norma

‘

w R.

(b) ϕ(x) = sup

t

|x(t)|, x ∈ X, jest norma

‘

na C([0, 1]). ϕ

1

(x) =

|x(0)| jest seminorma

‘

na C([0, 1]).

[CW]

(b) ϕ(x) =

R

1

0

|x(t)| dt jest norma

‘

na C([0, 1]) i tylko seminorma

‘

na L

1

([0, 1])

= {x ∈ R

[0,1]

: x mierzalna Lebesgue’a,

R

1

0

|x(t)| dt < ∞}.

AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane

7

Je´sli ϕ jest norma

‘

, to piszemy ||x|| zamiast ϕ(x) oraz || · || zamiast

ϕ. Pare

‘

(X, || · ||) nazywamy przestrzenia

‘

unormowana

‘

. Aksjo-

maty normy maja

‘

zatem posta´c:

(1) ||x|| ≥ 0,

(2) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||,

(3) ||λx|| = |λ| · ||x||,

(4) ||x|| = 0 ⇔ x = 0.

Ponadto |||x|| − ||y||| ≤ ||x − y||. Funkcja d(x, y) = ||x − y||,

x, y ∈ X, jest metryka

‘

na X oraz ||x|| = d(x, 0). d nazywamy

metryka

‘

normy.

Przyk lady

(a) Normami w R

k

, k = 1, 2, . . . , sa

‘

funkcje:

||x||

e

=

px

2

1

+ . . . + x

2

k

, norma euklidesowa,

||x||

tax

= |x

1

| + . . . + |x

k

|, norma taks´

owkowa,

||x||

max

= max{|x

1

|, . . . , |x

k

|}, norma maksimum.

(b) Norma

‘

w przestrzeniach l

∞

, c i c

0

jest funkcja:

||(t

k

)|| = sup

k∈N

|t

k

|, norma supremum.

(c) Norma

‘

w C([a, b]) jest funkcja ||x|| = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}.

Norma

‘

jest tu tak˙ze funkcja ||x|| =

R

b

a

|x(t)| dt.

Uwagi

1. Z p.semiunormowanej (X, ϕ) mo˙zemy zawsze utworzy´c przes-
trze´

n unormowana

‘

:

Y = {z ∈ X : ϕ(z) = 0} jest podprzestrzenia

‘

liniowa

‘

.

ϕ(x − y) = 0 ⇔ x − y ∈ Y .
x ∼ y ⇔ ϕ(x − y) = 0 jest relacja

‘

r´

ownowa˙zno´sci w X.

˜

X = X/∼ = X/Y = {[x] : x ∈ X} jest p.liniowa

‘

.

˜

ϕ([x]) = ϕ(x) jest norma

‘

na ˜

X.

AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane

8

2. Dla seminormy ϕ(x) =

R

1

0

|x(t)| dt w L

1

([a, b]) mamy:

ϕ(x − y) = 0 ⇔

R

b

a

|x(t) − y(t)| dt = 0 ⇔ x(t) = y(t) p.w.

Zatem stosowana mo˙ze by´c identyfikacja przestrzeni L

1

([a, b]) z

L

1

([a, b])/∼ i traktowanie (L

1

([a, b]), ϕ) jako przestrzeni unor-

mowanej - gdy identyfikujemy funkcje r´

owne sobie p.w.

3. ϕ((t

k

)) =

P

∞
1

|t

k

| jest norma

‘

na l

1

. ϕ(x) =

R

b

a

|x(t)| dt jest

seminorma

‘

na L

1

([a, b]).

4. Okre´slenie normy lub seminormy w l

p

i L

p

([a, b]) = {x ∈

R

[0,1]

: x mierzalna Lebesgue’a,

R

1

0

|x(t)|

p

dt < ∞}, dla p > 1 jest

bardziej z lo˙zone ni˙z w przypadku p = 1.

Niech p, q > 1. Je´sli 1/p + 1/q = 1, to p i q nazywamy wyk lad-

nikami sprze

‘

˙zonymi

. Dla dowolnych wyk ladnik´

ow sprze

‘

˙zonych

i dowolnych a, b > 0 zachodzi nier´

owno´s´c Younga:

ab ≤ a

p

/p + b

q

/q.

Interpretacja geometryczna

t

x

x=t

iff t=x

p-1

q-1

u

v

Wykres funkcji x = t

p−1

jest identyczny z wykresem f.odwrotnej

t = x

1/(p−1)

= x

q−1

. Mamy: pole prostoka

‘

ta = uv, pole dolnego

obszaru =

R

u

0

t

p−1

dt = u

p

/p, pole g´

ornego =

R

v

0

x

q−1

dx = v

q

/q.

Dow´

od 1.

Dla x = u

p

/v

q

, x

1/p

≤ x/p + 1/q, x > 0. Dalej

badamy monotoniczno´s´c funkcji f (x) = x

1/p

− x/p − 1/q, x > 0.

[CW]

Dow´

od 2.

Funkcja f (x) = ln x jest wkle

‘

s la na (0, ∞), tzn. dla

dowolnych α, β ∈ [0, 1] takich, ˙ze α + β = 1 i dowolnych x, y ∈
[0, ∞], f (αx + βy) ≥ αf (x) + βf (y) (r´

ownowa˙znie, f

′′

(x) ≤ 0

dla x ∈ [0, ∞]. Zatem mamy ln(a

p

/a + b

q

/q) ≥ (1/p) ln a

p

+

(1/q) ln b

q

= ln(ab). 

AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane

9

Z pomoca

‘

nier´

owno´sci Younga mo˙zna uzyska´c wa˙zne w zas-

tosowaniach nier´

owno´sci H¨

oldera.

Nier´

owno´

sci H¨

oldera

(NH). Niech p, q - wyk ladniki sprze

‘

˙zo-

ne. Dla dowolnych (t

k

), (s

k

) ∈ R

n

(a)

n

P

k=1

|t

k

s

k

| ≤ (

n

P

k=1

|t

k

|

p

)

1/p

· (

n

P

k=1

|s

k

|

q

)

1/q

.

Dla dowolnych (t

k

) ∈ l

p

i (s

k

) ∈ l

q

(b)

∞

P

k=1

|t

k

s

k

| ≤ (

∞

P

k=1

|t

k

|

p

)

1/p

· (

∞

P

k=1

|s

k

|

q

)

1/q

.

Dla dowolnych x ∈ L

p

[0, 1] i y ∈ L

q

[0, 1]

(c)

R

1

0

|x(t)y(t)| dt ≤ (

R

1

0

|x(t)|

p

dt)

1/p

· (

R

1

0

|y(t)|

q

dt)

1/q

.

Dla p = q = 2 otrzymujemy z (a) nier´

owno´

s´

c Schwarza

:



n

P

k=1

|t

k

s

k

|



2

≤ (

n

P

k=1

|t

k

|

2

) · (

n

P

k=1

|s

k

|

2

).

Dow´

od

. (a) Stosujemy (*) dla k = 1, . . . , n przyjmuja

‘

c

u =

|t

k

|

(

P

n
1

|t

k

|

p

)

1/p

,

v =

|s

k

|

(

P

n
1

|s

k

|

q

)

1/q

.

Sumujemy stronami i uwzgle

‘

dniamy 1/p + 1/q = 1. Z (a) przy

n → ∞ otrzynujemy (b). (c) Stosujemy (*) dla:

u =

|x(t)|

(

R

1

0

|x(t)|

p

dt)

1/p

,

v =

|y(t)|

(

R

1

0

|y(t)|

q

dt)

1/q

.

i ca lkujemy stronami.

Nier´

owno´

sci Minkowskiego

(NM) Niech p ≥ 1. Dla dowol-

nych (t

k

), (s

k

) ∈ R

n

(a)

(

n

P

k=1

|t

k

+ s

k

|

p

)

1/p

≤ (

n

P

k=1

|t

k

|

p

)

1/p

+ (

n

P

k=1

|s

k

|

p

)

1/p

.

Dla dowolnych (t

k

), (s

k

) ∈ l

p

AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane

10

(b)

(

∞

P

k=1

|t

k

+ s

k

|

p

)

1/p

≤ (

∞

P

k=1

|t

k

|

p

)

1/p

+ (

∞

P

k=1

|s

k

|

p

)

1/p

.

Dla dowolnych x, y ∈ L

p

[0, 1]

(c)

(

1

R

0

|x(t) + y(t)|

p

dt)

1/p

≤ (

1

R

0

|x(t)|

p

dt)

1/p

+ (

1

R

0

|y(t)|

p

dt)

1/p

.

Dow´

od

. Dla p = 1 nier´

owno´sci sa

‘

oczywiste. Niech p > 1. Na

podstawie nier´

owno´sci tr´

ojka

‘

ta i NH dla q sprze

‘

˙zonego z p mamy:

n

P

k=1

|t

k

+ s

k

|

p

≤

n

P

k=1

|t

k

+ s

k

| · |t

k

+ s

k

|

p−1

≤

n

P

k=1

|t

k

| · |t

k

+ s

k

|

p−1

+

n

P

k=1

|s

k

| · |t

k

+ s

k

|

p−1

≤

(

n

P

k=1

|t

k

|

p

)

1/p

· (

n

P

k=1

|t

k

+ s

k

|

q(p−1)

)

1/q

+

(

n

P

k=1

|s

k

|

p

)

1/p

· (

n

P

k=1

|t

k

+ s

k

|

q(p−1)

)

1/q

.

Poniewa˙z q(p − 1) = p, to otrzymujemy NM. (b) otrzymujemy z
(a) przy n → ∞. (c) uzyskujemy podobnie jak (a).



Wnioski

(1) Funkcja ϕ((t

k

)) = (

P

∞
k=1

|t

k

|

p

)

1/p

jest norma

‘

na l

p

, p ≥ 1.

(2) ϕ(x) = (

R

b

a

|x(t)|

p

dt)

1/p

jest seminorma

‘

na L

p

([a, b]), p ≥ 1.

(3) ϕ([x]) = (

R

b

a

|x(t)|

p

dt)

1/p

jest norma

‘

na L

p

([a, b])/∼, gdzie:

x ∼ y ⇔ x(t) = y(t) p.w.

Dla wyk ladnik´ow sprze

‘

˙zonych p i q mamy:

(4)

(t

k

) ∈ l

p

i (s

k

) ∈ l

q

⇒ (t

k

s

k

) ∈ l

1

.

[CW]

(5)

x ∈ L

p

[a, b] i y ∈ L

q

[a, b] ⇒ xy ∈ L

1

[a, b].

[CW]

Zbie ˙zno´

s´

c w przestrzeniach unormowanych

Zbie˙zno´s´c w przestrzeni unormowanej (X, || · ||) okre´slana jest

tak samo jak w przestrzeni metrycznej i ma posta´c:

AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane

11

x

n

→ x ⇔ d(x

n

, x) → 0 ⇔ ||x

n

− x|| → 0.

W konsekwencji:

(a) Cia

‘

g zbie˙zny jest ograniczony, tj. ∃M > 0 ∀n ||x

n

|| ≤ M .

(b) Norma jest funkcja

‘

cia

‘

g la

‘

, tj. x

n

→ x ⇒ ||x

n

|| → ||x||.

(c) Ka˙zda p.unormowana jest p.l.t.

Dow´

od.

(a) Niech x

n

→ x. Wtedy ||x

n

|| ≤ ||x

n

− x|| + ||x|| ≤

1 + ||x|| dla p.w. n. (b) 0 ≤ |||x

n

|| − ||x||| ≤ ||x

n

− x|| → 0,

gdy x

n

→ x. (c) Cia

‘

g lo´s´c dzia la´

n wynika z nier´

owno´sci: 0 ≤

||x

n

+y

n

−x

0

−y

0

|| ≤ ||x

n

−x

0

||+||y

n

−y

0

||, 0 ≤ ||λ

n

x

n

−λ

0

x

0

|| ≤

|λ

n

| ||x

n

− x

0

|| + |λ

n

− λ

0

| ||x

n

||.

Zbie˙zno´s´c w przestrzeniach z seminorma

‘

okre´slana jest podob-

nie. Ka˙zda seminorma ϕ : X → R generuje semimetryke

‘

d(x, y) =

ϕ(x − y).
(1) Zbie˙zno´s´c w seminormie okre´sla warunek:

x

n

→ x ⇔ ϕ(x

n

− x) → 0.

(2) Ka˙zda seminorma ma w lasno´s´c: |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ ϕ(x − y).
(3) Ka˙zda seminorma jest funkcja

‘

cia

‘

g la

‘

bo 0 ≤ |ϕ(x

n

) − ϕ(x)| ≤

ϕ(x

n

− x) → 0, gdy x

n

→ x.

(4) Ka˙zda p.semiunormowana (X, ϕ) jest p.l.t..