Liczby zespolone

Płaszczyzna zespolona. Rozpatrujemy układ
współrzędnych, w którym na osi pionowej jednostkę
oznaczamy literą i. Oś poziomą nazwiemy osią
rzeczywistą (symbol: Re), zaś oś pionową – osią urojoną
(symbol: Im)

Płaszczyznę z takim układem współrzędnych nazwiemy
płaszczyzną zespoloną.

Każdemu punktowi tej płaszczyzny przyporządkujemy
liczbę zespoloną

yi

x

z





Uwagi

1. Często piszemy też:

iy

x

z





2. Liczbę rzeczywistą x nazywamy częścią rzeczywistą
liczby zespolonej

iy

x

z





i oznaczamy

z

Re

. Zatem:

z

x

Re



3. Liczbę rzeczywistą y nazywamy częścią rzeczywistą
liczby zespolonej

iy

x

z





i oznaczamy

z

Im . Zatem:

z

y

Im



4. Jeżeli

0

Re



z

, to piszemy krótko:

iy

z



(zamiast:

iy

z





0

)

5. Jeżeli

0

Im



z

, to piszemy krótko:

x

z



(zamiast:

i

x

z

0





)

Dodawanie liczb zespolonych

Liczby zespolone dodajemy podobnie jak wielomiany
rzeczywiste, np.:

i

z

3

4

1





i

z

2

1

2







i

i

i

i

z

z

5

3

)

2

3

(

)

1

4

(

)

2

1

(

)

3

4

(

2

1

























Liczba przeciwna do liczby zespolonej

iy

x

z





jest to

liczba

iy

x

z









, np.:

i

z

3

4





i

z

3

4









Odejmowanie liczb zespolonych polega na dodaniu do
odjemnej liczby przeciwnej do odjemnika, np.:

i

z

3

4

1





i

z

2

1

2







i

i

i

i

i

z

z

























5

)

2

1

(

)

3

4

(

)

2

1

(

)

3

4

(

2

1

Mnożenie liczb zespolonych

Liczby zespolone mnożymy podobnie jak wielomiany
rzeczywiste z tym, że przyjmujemy dodatkową umowę, że

1

2









i

i

i

Przykład 1.

i

z

3

4

1





i

z

2

1

2







i

i

i

i

i

i

i

z

z

5

10

6

5

4

6

3

8

4

)

2

1

(

)

3

4

(

2

2

1







































Przykład 2.

Liczbę

i

z

3

4





podniesiemy do kwadratu:

i

i

i

i

i

i

i

i

z

24

7

9

24

16

9

12

12

16

)

3

4

(

)

3

4

(

)

3

4

(

2

2

2

































Można też było zastosować wzór skróconego mnożenia

2

2

2

2

)

(

b

ab

a

b

a









i

i

i

i

i

i

i

z

24

7

9

24

16

9

24

16

)

3

(

3

4

2

4

)

3

4

(

2

2

2

2

2

































Zapamiętaj:

Wolno stosować wzory skróconego mnożenia.

Liczba sprzężona do liczby zespolonej

iy

x

z





jest to

liczba

iy

x

z





_

, np.:

i

z

3

4





i

z

3

4

_





Dzielenie liczb zespolonych

Aby wykonać dzielenie

2

1

z

z

(gdzie

0

2



z

), mnożymy

licznik i mianownik przez liczbę

2

_

z

(czyli liczbę

sprzężoną do mianownika).

Przykład

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

5

1

25

18

25

5

25

18

16

9

5

18

16

9

12

5

6

)

4

(

3

12

3

8

6

)

4

3

(

)

4

3

(

)

4

3

(

)

2

(

)

4

3

(

)

4

3

(

)

4

3

(

)

2

(

4

3

2

2

2

2

2



































































Moduł i argument liczby zespolonej .

Modułem liczby zespolonej nazywamy odległość punktu
przedstawiającego tę liczbę na płaszczyźnie zespolonej od
początku układu.

Oznaczenie: r albo

|

| z

Argumentem liczby zespolonej nazywamy miarę kąta
skierowanego od osi rzeczywistej do promienia wodzącego
tego punktu.

Oznaczenie:



albo

z

arg

Z twierdzenia Pitagorasa i trygonometrii wynikają związki:

2

2

y

x

r





r

x





cos

r

y





sin

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest to zapis
tej liczby w postaci

)

sin

(cos





i

r

z







Przykład. Liczbę

i

z







1

zapisać w postaci

trygonometrycznej

Mamy:

1

,

1







y

x

Zatem:

2

1

)

1

(

2

2

2

2













y

x

r

Z rysunku 3 odczytujemy:

o

135





Zatem:

)

135

sin

135

(cos

2

o

o

i

z







Potęgowanie liczb zespolonych

W przypadku wykładnika 2 lub 3 możemy korzystać ze
wzorów skróconego mnożenia, ale w przypadku dużych
wykładników naturalnych wygodniej jest zapisać podstawę
w postaci trygonometrycznej i skorzystać ze wzoru
Moivre’a:

)

sin

(cos

)]

sin

(cos

[









n

i

n

r

i

r

n

n











Przykład. Obliczymy

11

)

1

(

i





W poprzednim przykładzie liczbę

i





1

zapisaliśmy w

postaci trygonometrycznej:

)

135

sin

135

(cos

2

1

o

o

i

i











Stosujemy wzór Moivre’a:

11

)

1

(

i





=







11

)]

135

sin

135

(cos

2

[

o

o

i













)

135

11

sin

135

11

(cos

)

2

(

11

o

o

i

}

45

360

4

1485

{

)

1485

sin

1485

(cos

2

32

o

o

o

o

o

i









































2

2

2

2

2

32

)

45

sin

45

(cos

2

32

i

i

o

o

i

i

32

32

2

2

2

32

2

2

2

32













Potęgi liczby i Obliczmy kilka potęg liczby i:

i

i



1

1

2





i

i

i

i

i

i















1

2

3

1

3

4













i

i

i

i

i

i

i

i

i

i











1

4

5

1

5

6













i

i

i

i

i

itd.

Zauważmy cykliczność wyników. Cykl ma długość 4.

Zatem np.

i

i

i

i











1

1

4

8

33

i

i

i

i













3

3

20

4

83

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

n

z jest to taka liczba zespolona w, że

z

w

n



.

Jeżeli

0



z

, to jedyną taką liczbą jest 0.

Jeżeli

0



z

, to istnieje n takich liczb. Znajdujemy je ze

wzoru:

























n

k

i

n

k

r

w

n

k









2

sin

2

cos

dla

1

,...,

1

,

0





n

k

Przypomnienie:

o

180





Przykład. Obliczmy

i

Zapiszmy liczbę i w postaci trygonometrycznej. Z

rysunku odczytujemy:

o

r

90

,

1







. Stopień pierwiastka

2



n

, zatem są dwie takie liczby.

Podstawiając

0



k

otrzymamy:





































2

180

0

2

90

sin

2

180

0

2

90

cos

1

0

o

o

o

o

i

w















0

0

45

sin

45

cos

1

i

2

2

2

2





i

Podstawiając

1



k

otrzymamy:





































2

180

1

2

90

sin

2

180

1

2

90

cos

1

1

o

o

o

o

i

w































0

225

sin

225

cos

2

450

sin

2

450

cos

1

i

i

o

o

o

=

2

2

2

2







i

Sprawdźmy (dla przykładu), że istotnie np.

i

w



2

0

:



























































2

2

2

2

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

i

i

i

w

i

i









2

1

2

1

Pierwiastki kwadratowe (zespolone) z liczb rzeczywistych
ujemnych

Zauważmy, że każda liczba rzeczywista różna od zera ma
dwa pierwiastki zespolone (stopnia 2). Można je znaleźć
tak jak w poprzednim przykładzie – ze wzoru. Można je
jednak prosto odgadnąć.

Przykład: Obliczyć

25



.

Wiemy, że są dwie takie liczby. Ponieważ

25

5

2



, a

1

2





i

, zatem jedną z nich jest

i

w

5

0



. Ponieważ także

25

)

5

(

2





, zatem

i

w

5

1





Rozwiązywanie równań kwadratowych w zbiorze liczb
zespolonych.

Jak wiadomo w zbiorze liczb rzeczywistych równanie

kwadratowe

0

2







c

bx

ax

, dla którego wyróżnik

ac

b

4

2







jest ujemny – nie ma rozwiązań.

Inaczej jest w zbiorze liczb zespolonych – tam także takie
równanie ma 2 rozwiązania.

Przykład. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać
równanie

0

10

2

2







z

z

Obliczmy:

36

10

1

4

4

4

2



















ac

b

Zatem

i

6





lub

i

6







.

Rozważmy najpierw przypadek

i

6





.

Wówczas – ze znanych wzorów – mamy:

i

i

a

b

z

3

1

2

6

2

2

1

















i

i

a

b

z

3

1

2

6

2

2

2

















Zauważmy, że gdybyśmy wzięli

i

6







,

otrzymalibyśmy te same wyniki.

Zatem równanie ma 2 rozwiązania:

i

z

i

z

3

1

,

3

1

2

1









.

Sprawdzenie. Podstawmy do lewej strony danego
równania w miejsce niewiadomej z liczbę

i

3

1



:

0

10

6

2

9

6

1

10

6

2

)

3

(

6

1

10

)

3

1

(

2

)

3

1

(

10

2

2

2

2













































i

i

i

i

i

i

i

z

z

Sprawdź samodzielnie, że również liczba

i

3

1



spełnia

dane równanie.