MB

Liczby zespolone mają postad

, gdzie

są dowolnymi liczbami rzeczywistymi

nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną. Często stosowane jest oznaczenie

,

. Liczba jest nazywana jednostką urojoną (

).

Liczbę zespoloną, których częśd rzeczywista (urojona) jest równa 0, nazywa się liczbami urojonymi
(rzeczywistymi).

Liczba zespolona sprzężona z liczbą z nazywamy liczbę

.

Natomiast moduł liczby zespolonej zdefiniowany jest następująco:

Każda liczba zespolona różna od 0 ma liczbę do niej odwrotną, to znaczy taką liczbę zespoloną

, że

. Liczbę odwrotną do liczby zespolonej można wyznaczyd ze wzoru:

.

Działania na liczbach zespolonych
Niech

oraz

, wówczas:

,

.

Z powyższych wzorów wynika, że

,

.

Własności modułu liczby zespolonej:

1.

,

2.

,

3.

,

4.

.

Postad trygonometryczna liczby zespolonej
Każdą liczbę zespoloną

, można przedstawid w postaci trygonometrycznej:

.

Kąt nazywany jest argumentem liczby zespolonej i oznaczany symbolem:

. Kąt można

uzyskad rozwiązując układ równao:

,

.,

Oczywiście powyższe równania implikują następujące zależności:

,

.

Liczby zespolone

2

MB

Danej liczbie zespolonej można przyporządkowad nieskooczenie wiele argumentów. Jeśli

jest

argumentem liczby , to argumentem jest również

. Argument spełniający warunek

to argument główny zapisywany w postaci

. Każda liczba zespolona

ma

dokładnie jeden argument główny.

Dośd łatwo mnoży się liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej:

Ponadto, z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej wynika równanie: