- 1 -

Konstrukcje zespolone - przykład nr 2

Treść obliczeń

Odniesienie

1

2

Sprawdzić nośność belki zespolonej, jak na rys. 1:

Rys. 1. Belka zespolona; a) schemat statyczny; b) przekrój poprzeczny

Dane:

- Rozpiętość belki: L=8,0 m
- Rozstaw belek: co 4,5 m
- Obciążenia:

Stałe:

- płyta

3,0 kN/m

2

- warstwy wykończenia

2,0 kN/m

2

Zmienne:

- kategoria obciążonej powierzchni D1,

q

k

=4,0 kN/m

2

- Materiały:

Stal - S235
Beton – C25/30
Sworznie główkowe: średnica d=19 mm, wysokość h

sc

=100 mm, rozstaw w

kierunku podłużnym e

sc

=150 mm, usytuowane w dwu rzędach w rozstawie

s

t

=70 mm.

Wytrzymałość stali sworzni f

u

=450 N/mm

2

- Podczas wykonywania (betonowania) belka jest podparta

1) Zestawienie obciążeń na belkę

- ciężar własny belki IPE300: 0,42 kN/m

Oddziaływania stałe:

m

/

kN

92

,

22

m

/

kN

42

,

0

m

5

,

4

m

/

kN

0

,

5

g

2

k









Oddziaływania zmienne:

m

/

kN

0

,

18

m

5

,

4

m

/

kN

0

,

4

q

2

k







2) Kombinacja obliczeniowa w stanie granicznym nośności
Sytuacja obliczeniowa trwała. Współczynniki częściowe:

35

,

1

G





;

5

,

1

Q





;

85

,

0





;

Kategoria obciążonej powierzchni D



7

,

0

0





;

7

,

0

1





;

6

,

0

2





Przyjęto kombinacja obliczeniową oddziaływań według załącznika krajowego

PN-EN
1990/6.4

- 2 -

NB do normy PN-EN 1990, jako wartość mniej korzystną z dwu podanych niżej:

















1

i

i

,

k

i

,

0

i

,

Q

1

,

k

1

,

0

1

,

Q

p

j

,

k

1

j

j

,

G

1

,

d

Q

Q

P

G

p





























1

i

i

,

k

i

,

0

i

,

Q

1

,

k

1

,

Q

p

j

,

k

1

j

j

,

G

j

2

,

d

Q

Q

P

G

p













m

/

kN

8

,

49

m

/

kN

18

7

,

0

50

,

1

m

/

kN

92

,

22

35

,

1

p

1

,

d













m

/

kN

3

,

53

m

/

kN

18

50

,

1

m

/

kN

92

,

22

35

,

1

85

,

0

p

2

,

d













Przyjęto do dalszych obliczeń

m

/

kN

3

,

53

p

p

2

,

d

d





PN-EN
1990/(6.10a)

PN-EN
1990/(6.10a)

3) Obliczenia statyczne
Rozkład sił przekrojowych pokazano na rys. 2.

kNm

4

,

426

8

0

,

8

3

,

53

8

L

p

M

M

2

2

d

max

Ed













kN

2

,

213

0

,

8

3

,

53

5

,

0

L

p

5

,

0

V

V

d

max

Ed

















Rys. 2. Siły przekrojowe w belce

4) Klasyfikacja przekroju poprzecznego belki

Rys. 3. Przekrój poprzeczny kształtownika IPE300

Wymiary przekroju poprzecznego kształtownika stalowego pokazano na rys. 3.
Stal gatunku S355, t

max

=t

f

=10,7 mm < 40 mm, stąd f

y

=355 N/mm

2

,

81

,

0

355

235

f

235

y









- środnik

PN-EN 1993-
1-1/Tabl.3.1

PN-EN 1993-
1-1/Tabl.5.2

- 3 -

3

,

58

81

,

0

72

72

35

1

,

7

)

15

7

,

10

(

2

300

t

)

R

t

(

2

h

t

c

w

f

























- pas belki

3

,

7

81

,

0

9

9

3

,

5

7

,

10

)

15

2

1

,

7

150

(

5

,

0

t

)

R

2

t

b

(

5

,

0

t

c

f

w



























Przekrój spełnia warunki klasy 1.


5) Szerokość efektywna półek
Szerokość efektywna w środku rozpiętości belki:







ei

0

eff

b

b

b

Rozstaw pomiędzy rzędami sworzni

mm

70

s

b

t

0





.

mm

1000

8

8000

8

L

b

e

ei







Stąd

mm

4500

mm

2070

1000

2

70

b

b

b

ei

0

eff

















PN-EN 1994-
1-1/5.4.1.2

6) Nośność obliczeniowa łączników sworzniowych

Rys. 4. Łączniki sworzniowe

Zgodnie z rys. 4:

26

,

5

19

100

d

h

sc







0

,

1





Beton C25/30



2

ck

mm

/

N

25

f



,

2

cm

mm

/

N

31000

E



kN

7

,

81

N

81656

25

,

1

4

/

19

450

8

,

0

4

/

d

f

8

,

0

P

2

v

2

u

1

,

Rd





















kN

7

,

73

N

73730

25

,

1

31000

25

19

0

,

1

29

,

0

E

f

d

29

,

0

P

2

v

cm

ck

2

2

,

Rd





















kN

7

,

73

)

7

,

73

;

7

,

81

min(

)

P

;

P

min(

P

2

,

Rd

1

,

Rd

Rd







PN-EN 1994-
1-1/6.6.3.1

7) Stopień zespolenia
Stopień zespolenia jest zdefiniowany jako

f

,

c

c

N

N





gdzie:
N

c

– jest obliczeniową siłą normalną w płycie betonowej zespolonej,

N

c,f

– jest obliczeniowa siłą normalną w płycie belki zespolonej z pełnym

zespoleniem.

PN-EN 1994-
1-1/6.2.1.3

- 4 -

W przypadku pełnego zespolenia:

2

c

eff

c

mm

248400

120

2070

h

b

A









2

c

ck

cc

cd

mm

/

N

86

,

17

4

,

1

25

0

,

1

f

f











kN

3771

N

10

3770960

86

,

17

248400

85

,

0

f

A

85

,

0

N

3

cd

c

f

,

c















Nośność łączników ścinanych ogranicza siłę podłużną w płycie do wartości:

Rd

c

nP

5

,

0

N



gdzie n jest liczbą łączników ścinanych na długości belki.

7

,

106

150

8000

2

e

L

2

n

sc











Przyjęto do obliczeń 106 sztuk.

kN

3906

7

,

73

106

5

,

0

N

c









Ponieważ

0

,

1

04

,

1

3771

3906

N

N

f

,

c

c











więc zespolenie jest pełne.

8) Nośność plastyczna przy zginaniu przekroju zespolonego
Obliczeniowa siła normalna w kształtowniku stalowym.

N

10

9

,

1909

0

,

1

1

355

5380

1

f

A

N

3

0

M

y

a

a













Ponieważ

N

10

3771

f

A

85

,

0

N

N

10

9

,

1909

N

3

cd

c

f

,

c

3

a













więc oś obojętna leży w płycie żelbetowej.
Położenie osi obojętnej względem górnej powierzchni płyty (rys. 5):

mm

61

86

,

17

2070

85

,

0

10

9

,

1909

f

b

85

,

0

f

A

x

3

cd

eff

y

a

pl













Rys. 5. Rozkład sił wewnętrznych w przekroju zginanym

mm

270

120

2

300

h

2

h

d

c

a

a











kNm

4

,

457

Nmm

10

4

,

457

0

,

1

1

)

2

61

270

(

5380

355

1

)

2

x

d

(

A

f

M

6

0

M

pl

a

a

y

Rd

,

pl





















- 5 -

Warunek nośności:

0

,

1

93

,

0

4

,

457

4

,

426

M

M

Rd

,

pl

Ed







Warunek jest spełniony.

9) Nośność przekroju belki przy ścinaniu poprzecznym
Ponieważ

3

,

58

0

,

1

81

,

0

72

72

2

,

39

1

,

7

7

,

10

2

300

t

h

w

w



















więc

kN

7

,

526

N

10

7

,

526

0

,

1

3

/

355

2570

3

/

f

A

V

3

0

M

y

v

Rd

,

pl















Warunek nośności:

0

,

1

40

,

0

7

,

526

2

,

213

V

V

Rd

,

pl

Ed







Warunek nośności jest spełniony.
Ponieważ

Rd

,

pl

Ed

V

5

,

0

V



więc siła poprzeczna nie wpływa na nośność

przekroju przy zginaniu.

PN-EN 1993-
1-1/6.2.6

10) Nośność przy ścinaniu podłużnym

Naprężenia styczne:

x

h

F

f

d

Ed









kN

5

,

1885

2

3771

2

N

F

f

,

c

d









mm

120

h

h

c

f





mm

4000

2

8000

x







2

3

Ed

mm

/

N

93

,

3

4000

120

10

5

,

1885











Zmiażdżeniu ściskanych krzyżulców w półce zapobiega się spełniając warunek:

f

f

cd

Ed

cos

sin

f











gdzie

54

,

0

)

250

25

1

(

6

,

0

)

250

f

1

(

6

,

0

ck















45

f





, więc

2

2

Ed

mm

/

N

82

,

4

5

,

0

86

,

17

54

,

0

mm

/

N

93

,

3













Warunek jest spełniony.
Strefa oparcia płyty na kształtowniku stalowym powinna być zbrojona prętami
poprzecznymi, których pole powierzchni przekroju poprzecznego spełnia
warunek

PN-EN

1992-1-1/(6.21).

Projektowanie

tego

zbrojenia

w

rozpatrywanym przykładzie pominięto.

PN-EN 1992-
1-1/6.2.4

- 6 -

11) Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności
Stosunek współczynników sprężystości stali i betonu:

55

,

13

31000

210000

2

2

/

E

E

E

E

n

cm

a

eff

,

c

a











Zastępczy przekrój stalowy:

Rys. 6. Zastępczy przekrój stalowy – oś obojętna w kształtowniku

Zakładam, że oś obojętna leży w przekroju poprzecznym kształtownika (rys. 6):

mm

153

55

,

13

2070

n

b

eff





mm

162

5380

120

153

)

2

120

150

(

120

153

A

S

e

1

y

1

y

1





















Ponieważ

mm

150

2

300

2

h

mm

162

e

a

1









, więc założenie jest niepoprawne.

Rys. 7. Zastępczy przekrój stalowy – oś obojętna leży w płycie żelbetowej

Zakładam, że oś obojętna leży w płycie (rys. 7). Moment statyczny względem osi
y-y:

0

x

120

2

300

5380

2

x

153

S

e

2
e

y

y



























Po uporządkowaniu uzyskuje się równanie:

0

1452600

x

5380

x

5

,

76

e

2
e







Rozwiązaniem jest dodatni pierwiastek tego równania:

mm

120

h

mm

107

x

c

e







Ponieważ

mm

120

h

mm

107

x

c

e







, więc oś obojętna znajduje się w płycie –

założenie jest poprawne.

- 7 -

Moment bezwładności przekroju zespolonego:

4

4

2

3

4

2

e

c

a

a

3
e

eff

a

1

mm

10

28898

107

120

2

300

5380

3

107

153

10

8356

x

h

2

h

A

3

x

n

b

I

I























































Ugięcie od oddziaływań długotrwałych:
- od skurczu betonu:

















1

a

a

a

2

c

cs

I

I

1

I

E

8

L

M



Odkształcenie skurczowe betonu:

0002

,

0

cs





Nmm

10

71

,

16

2

120

2

300

0002

,

0

10

8356

210000

a

I

E

M

6

4

cs

a

a

cs



















mm

5

10

28898

10

8356

1

10

8356

210000

8

8000

10

71

,

16

4

4

4

2

6

cs





































- od części długotrwałej obciążenia:
Kombinacja quasi-stała dla SGU:

m

/

kN

7

,

33

0

,

18

6

,

0

92

,

22

q

g

p

k

2

k

k















mm

30

10

28898

210000

8000

7

,

33

384

5

I

E

L

p

384

5

4

4

1

a

4

k

q















mm

32

250

8000

250

L

mm

35

30

5

q

cs























Warunek jest spełniony.

PN-EN
1990/(6.16a)