LICZBY ZESPOLONE, mgr A. Domagalska

Zadanie 1. Wykonać następujące działania i wynik przedstawić w postaci

iy

x



:

a)

)

7

1

(

)

3

5

(

2

i

i







b)

2

2

)

2

3

(

i

i



c)

2

)

2

1

(

)

5

3

)(

2

(

i

i

i









d)

i

i

3

1

2

3





e)

i

i

i

i









1

4

3

2

1

f)

i

i

i

i

2

3

3

2

3

2











g)

i

3

1

2



h)

i

i

i

i

3

2

5

1

1

1











i)

2

)

3

1

(

i

i



j)

129

i

k)

37



i

l)

 

23

i

Zadanie 2. Wyznaczyć:

a)





)

5

7

(

2

)

2

(

Re

i

i

i







b)





)

5

7

(

)

1

(

Re

2

i

i

i

i







c)

2

)

2

1

(

i



d)

i

i





1

2

1

e)



























i

i

i

2

)

1

(

Im

f)































i

i

2

)

1

(

5

Im

Zadanie 3. Przedstawić w postaci trygonometrycznej:

a)

i

z

5



b)

5



z

c)

i

z

5

5







d)

i

z

3

1





e)

4

)

1

(

i

z





f)

i

i

z







1

1

Zadanie 4. Obliczyć:

a)

20

)

3

1

(

i



b)

22

)

1

(

i



c)

35

)

5

( i

d)

4

i

e)

3

8

f)

3

3

i



g)









9

12

3

1

3

i

i





h)

100

2

1

2

3















i

i)

4

2

3

2

1















i

Zadanie 5. W zbiorze liczb zespolonych znaleźć rozwiązania poniższych równań:

a)

0

5

4

2







z

z

b)

0

4

3

2

4







z

z

c)

0

4

6

4

2

3









z

z

z

d)

0

5

1

)

3

4

(

2











i

z

i

z

e)

0

)

3

(

)

2

(

2











i

z

i

z

f)

0

5

2

2







iz

z

g)

0

10

4

5

2









i

z

z

h)

0

32

5

3





z

i

i)

0

6





i

z

Zadanie 6. Podać wartości rzeczywiste x i y spełniające poniższe równania:

a)

i

y

i

x

i

3

1

)

5

3

(

)

2

1

(











b)

i

y

i

x

i

10

)

2

1

(

)

2

(









c)

i

y

i

x

i

7

25

)

1

(

)

1

(

2

2











d)

i

iy

x

i

i











4

4

3

7

e)

i

i

i

y

x

5

2

1

)

1

(

)

4

(













f)

iy

x

i

iy

x

i











3

2

1

Zadanie 7. Rozwiązać podane układy równań z niewiadomymi liczbami zespolonymi z i t:

a)























8

)

2

3

(

)

2

3

(

6

)

2

(

)

2

(

t

i

z

i

t

i

z

i

b)



























i

t

i

z

i

i

t

i

z

i

6

2

)

2

4

(

)

3

(

4

5

)

3

2

(

)

2

4

(

Zadanie 8. Zaznaczyć na płaszczyźnie zmiennej zespolonej następujące zbiory punktów:

a)

5

:



z

z

b)

3

:





i

z

z

c)

4

:



z

z

i





Argz

z :

d)

2

1

Im

:











z

z

e)

4

:





Argz

z

f)

2

4

:









Argz

z

FUNKCJE ZESPOLONE mgr A. Domagalska

Zad. 1. Sprawdzić, czy podane funkcje są holomorficzne w całej dziedzinie:

a)

2

)

(

z

z

f



b)

z

z

f



)

(

c)

z

e

z

f



)

(

d)

z

z

f

1

)

(



e)

2

1

)

(

z

z

f



f)

xy

ie

xy

e

z

f

x

y

x

y

2

sin

2

cos

)

(

2

2

2

2









Zad.2. Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają równania Cauchyego – Riemanna:

a)

z

z

f

cos

)

(



b)

z

z

f

1

)

(



c)

z

z

f



)

(

Zad. 3. Sprawdzić, czy podane funkcje są harmoniczne i znaleźć funkcję holomorficzną

iv

u

f





, jeśli:

a)

xy

y

x

u



)

,

(

b)

x

e

y

x

u

y

sin

)

,

(





c)

2

2

2

2

sin

)

,

(

y

x

y

e

y

x

v

x







d)

2

2

2

2

4

4

2

2

6

)

,

(

y

x

y

x

y

x

y

x

u











e)

2

2

1

)

,

(

y

x

y

x

u





f)

y

y

e

y

x

v

x

2

sin

)

,

(





i

5

)

0

(



f

Uwaga: Mówimy, że funkcja rzeczywista

u

dwóch zmiennych rzeczywistych

y

x,

jest harmoniczna w punkcie

2

0

0

)

,

(





y

x

, gdy jest określona w pewnym otoczeniu

tego punktu ma tam ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu i spełnia równanie:

0

2

2

2

2

















y

u

x

u

u

, zwane równaniem Laplace’a. Mówimy, że funkcja









D

u

2

:

jest harmoniczna w zbiorze

D

, gdy jest harmoniczna w każdym punkcie tego zbioru.

FAKT:

1.

Jeżeli

iv

u

f





jest funkcją holomorficzną w obszarze

D

, to

u

i

v

są funkcjami harmonicznymi w

D

.

2.

Każda funkcja harmoniczna w obszarze

D

jest częścią rzeczywistą (urojoną) pewnej funkcji holomorficznej.

Zad. 4. Znaleźć funkcję holomorficzną

iv

u

f





,

gdy dana jest jej część

a) rzeczywista

2

3

3

)

,

(

xy

x

y

x

u





b) rzeczywista

y

e

y

x

u

x

sin

)

,

(



c) rzeczywista

2

2

2

)

,

(

y

x

y

x

u





d) rzeczywista

y

y

x

x

y

x

u

2

)

,

(

2

2







e) rzeczywista

y

y

e

y

x

u

x





cos

)

,

(

f) rzeczywista

)

ln(

)

,

(

2

2

y

x

y

x

u





g) urojona

1

4

4

)

,

(

3

3







xy

y

x

y

x

v

h) urojona















x

y

arctg

y

x

v

)

,

(

i) urojona

x

xy

y

x

v

3

)

,

(





j) urojona

2

2

2

sin

2

)

,

(

y

x

yx

e

y

x

v

x







k) urojona

)

ln(

2

)

,

(

2

2

y

x

y

x

v





l) urojona

y

e

y

x

v

x

sin

2

)

,

(



Zad. 5. Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego (lub uogólnionego całkowego) obliczyć:

a)

dz

i

z

z

C





2

2

, gdzie C jest okręgiem skierowanym dodatnio

3



z

b)





C

z

dz

1

2

, gdzie C jest elipsa o równaniu

0

4

4

2

2







y

x

c)

dz

z

e

C

z





2

)

1

(

, gdzie C jest dodatnio skierowaną krzywa o równaniu

2



z

d)

dz

i

z

z

C





3

)

(

cos

, gdzie C jest dowolnym konturem zawierającym punkt i

e)





C

z

dz

2

2

)

9

(

, gdzie C jest dodatnio skierowanym okręgiem o równaniu

2

2





i

z

f)

dz

i

z

ze

C

z





2

)

(



, gdzie C jest dodatnio skierowanym okręgiem o równaniu

3



z

g)

dz

z

z

z

C





1

)

sin(

4



, gdzie C jest dodatnio skierowaną łamaną o wierzchołkach w punktach 0, -2+i oraz -2- i.