1

5. CAŁKI OZNACZONE





n

x

x

x

P

,...,

,

1

0



- podział odcinka [a, b] na n części, gdzie a = x

0

< x

1

< ... < x

n

= b, n



N.



x

k

= x

k

- x

k-1

– długość k-tego odcinka podziału P, 1



k



n



(P) = max{



x

k

: 1



k



n } – średnica podziału P

]

,

[

1

k

k

k

x

x

x







-punkt pośredni k-tego odcinka podziału P, 1



k



n

f - funkcja ograniczona na przedziale [a, b]

1

( , )

(

)

n

k

k

k

f P

f x

x













- suma całkowa funkcji f odpowiadającą podziałowi P odcinka [a, b] oraz

punktom pośrednim



k

x

, 1



k



n tego podziału

Suma całkowa jest przybliżeniem pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osią Ox i prostymi
x = a, x = b przez sumę pól prostokątów o podstawach

k

x



i wysokościach , 1



k



n.

Def.5.1 (całka oznaczona Riemanna)
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a, b].
Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a, b] definiujemy wzorem

( )

0

1

( )

lim

(

)

b

n

k

k

P

k

a

f x dx

f x

x

















,

o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od
1. sposobu podziałów P przedziału [a, b]
2. wyboru punktów pośrednich



k

x

, 1



k



n.

Przyjmujemy

( )

0

a

a

f x dx





oraz

( )

( )

a

b

b

a

f x dx

f x dx

 





dla a < b.

Zamiast symbolu



b

a

dx

x

f

)

(

można pisać

 



b

a

dx

x

f

,

)

(

lub krótko



b

a

f albo też

 



b

a

f

,

.

Tw.5.1 (warunek wystarczający całkowalności funkcji)
Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a, b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów
nieciągłości I rodzaju, to jest na nim całkowalna.

Tw.5.2 (Newtona – Leibniza)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

dx

x

f

b

a







,

gdzie F - dowolna funkcja pierwotna funkcji f na przedziale [a, b].

2

Zamiast

( )

( )

F b

F a



będziemy pisali

b

a

x

F

)

(

lub





b
a

x

F

)

(

.

Tw.5.3
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a, b] oraz c



R, to

a)

















b

a

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

)

(

)

(

,

b)







b

a

b

a

dx

x

f

c

dx

x

cf

)

(

)

(

.

Tw.5.4 (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [a, b], to













b

a

b
a

b

a

dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

/

/

.

Tw.5.5 (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b],
2. funkcja



  

:

,

,

a b

  



ma ciągłą pochodną na przedziale [



,



],

3.

b

a





)

(

,

)

(









,

to



















dt

t

t

f

dx

x

f

b

a

)

(

)

(

)

(

/

.

Tw.5.6
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] oraz c



(a, b), to











b

c

c

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

.

Całka funkcji nieparzystej
Niech funkcja f będzie nieparzysta i całkowalna na przedziale [-a, a]. Wtedy







a

a

dx

x

f

0

)

(

.

Całka funkcji parzystej
Niech funkcja f będzie parzysta i całkowalna na przedziale [-a, a]. Wtedy









a

a

a

dx

x

f

dx

x

f

0

)

(

2

)

(

.

Zastosowania całek oznaczonych

Pole trapezu krzywoliniowego
Niech funkcje f i g będą ciągłe na przedziale [a, b] oraz niech
f(x) < g(x) dla każdego x



(a, b).

Pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami
funkcji f i g oraz prostymi x = a, x = b wyraża się wzorem:





( )

( )

b

a

D

g x

f x dx







3

Pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresami funkcji x = d(y), x = g(y) gdzie y



[p, q], wyraża

się wzorem:





( )

( )

q

p

D

g y

f y dy







.

Długość krzywej

Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b].
Długość krzywej









, ( ) :

[ , ]

L

x f x

x

a b





wyraża się wzorem:

2

/

1

( )

b

a

L

f

x

dx







 





.

Objętość bryły obrotowej
Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale [a, b]. Ponadto niech T oznacza trapez
krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f, osią Ox oraz prostymi x = a, x = b, gdzie a < b.
Objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego T wokół osi Ox wyraża się wzorem:

2

( )

b

a

V

f

x dx







.

Pole powierzchni bryły obrotowej
Niech funkcja nieujemna f ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b].
Pole powierzchni S powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi Ox wyraża się wzorem:

2

/

2

( ) 1

( )

b

a

S

f x

f

x

dx









 





.

S

L