www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

14

MAJA

2007

C

ZAS PRACY

: 120

MINUT

Z

ADANIE

1

(5

PKT

.)

Znajd´z wzór funkcji kwadratowej y

=

f

(

x

)

, której wykresem jest parabola o wierzchołku

(

1,

−

9

)

przechodz ˛

aca przez punkt o współrz˛ednych

(

2,

−

8

)

. Otrzyman ˛

a funkcj˛e przedstaw

w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.

Z

ADANIE

2

(3

PKT

.)

Wysoko´s´c prowizji, któr ˛

a klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy ka ˙zdej zawieranej

transakcji kupna lub sprzeda ˙zy akcji jest uzale ˙zniona od warto´sci transakcji. Zale ˙zno´s´c ta
została przedstawiona w tabeli:

Warto´s´c transakcji

Wysoko´s´c prowizji

do 500 zł

15 zł

od 500,01 zł do 3000 zł

2% warto´sci transakcji + 5 zł

od 3000,01 zł do 8000 zł

1,5% warto´sci transakcji + 20 zł

od 8000,01 zł do 15000 zł

1% warto´sci transakcji + 60 zł

powy ˙zej 15000 zł

0,7% warto´sci transakcji + 105 zł

Klient zakupił za po´srednictwem tego biura maklerskiego 530 akcji w cenie 25 zł za jedn ˛

a

akcj˛e. Po roku sprzedał wszystkie kupione akcje po 45 zł za jedn ˛

a sztuk˛e. Oblicz, ile zarobił

na tych transakcjach po uwzgl˛ednieniu prowizji, które zapłacił.

Z

ADANIE

3

(4

PKT

.)

Korzystaj ˛

ac z danych przedstawionych na rysunku, oblicz warto´s´c wyra ˙zenia:

tg

2

β

−

5 sin β

·

ctg α

+

p

1

−

cos

2

α

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

4

(5

PKT

.)

Samochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze ´sredni ˛

a pr˛edko´sci ˛

a o 10 km/h

wi˛eksz ˛

a, to czas przejazdu skróciłby si˛e o pół godziny. Oblicz, z jak ˛

a ´sredni ˛

a pr˛edko´sci ˛

a

jechał ten samochód.

Z

ADANIE

5

(5

PKT

.)

Dany jest ci ˛

ag arytmetyczny

(

a

n

)

, gdzie n

>

1. Wiadomo, ˙ze dla ka ˙zdego n

>

1 suma n

pocz ˛

atkowych wyrazów S

n

=

a

1

+

a

2

+ · · · +

a

n

wyra ˙za si˛e wzorem: S

n

= −

n

2

+

13n.

a) Wyznacz wzór na n–ty wyraz ci ˛

agu a

n

.

b) Oblicz a

2007

.

c) Wyznacz liczb˛e n, dla której a

n

=

0. .

Z

ADANIE

6

(4

PKT

.)

Dany jest wielomian W

(

x

) =

2x

3

+

ax

2

−

14x

+

b.

a) Dla a

=

0 i b

=

0 otrzymamy wielomian W

(

x

) =

2x

3

−

14x. Rozwi ˛

a ˙z równanie 2x

3

−

14x

=

0.

b) Dobierz warto´sci a i b tak, aby wielomian W

(

x

)

był podzielny jednocze´snie przez x

−

2

oraz x

+

3.

Z

ADANIE

7

(5

PKT

.)

Dany jest punkt C

= (

2, 3

)

i prosta o równaniu y

=

2x

−

8 b˛ed ˛

aca symetraln ˛

a odcinka BC.

Wyznacz współrz˛edne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniaj ˛

ace odpowied´z.

Z

ADANIE

8

(4

PKT

.)

Na stole le ˙zało 14 banknotów: 2 banknoty o nominale 100 zł, 2 banknoty o nominale 50 zł
i 10 banknotów o nominale 20 zł. Wiatr zdmuchn ˛

ał na podłog˛e 5 banknotów. Oblicz praw-

dopodobie ´nstwo tego, ˙ze na podłodze le ˙zy dokładnie 130 zł. Odpowied´z podaj w postaci
ułamka nieskracalnego.

Z

ADANIE

9

(6

PKT

.)

Oblicz pole czworok ˛

ata wypukłego ABCD, w którym k ˛

aty wewn˛etrzne maj ˛

a odpowiednio

miary:

]

A

=

90

◦

,

]

B

=

75

◦

,

]

C

=

60

◦

,

]

D

=

135

◦

, a boki AB i AD maj ˛

a długo´s´c 3 cm.

Sporz ˛

ad´z rysunek pomocniczy.

Z

ADANIE

10

(5

PKT

.)

Dany jest graniastosłup czworok ˛

atny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH

oraz kraw˛edziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem
o boku długo´sci 8 cm i k ˛

atach ostrych A i C o mierze 60

◦

. Przek ˛

atna graniastosłupa CE

jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod k ˛

atem 60

◦

. Sporz ˛

ad´z rysunek pomocniczy i

zaznacz na nim wymienione w zadaniu k ˛

aty. Oblicz obj˛eto´s´c tego graniastosłupa.

Z

ADANIE

11

(4

PKT

.)

Dany jest rosn ˛

acy ci ˛

ag geometryczny

(

a

n

)

dla n

>

1, w którym a

1

=

x, a

2

=

14, a

3

=

y.

Oblicz x oraz y, je ˙zeli wiadomo, ˙ze x

+

y

=

35.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2