Wykład 10

29.IV.2002

wersja na dzień 19 maja 2002 roku

10.1 Energia w polu magnetycznym – cd.

Energia potencjalna

jest zatem równa

U

= −~

m

· ~

B

Rozpatrzmy ruch cząstki naładowanej w polu indukcji magnetycznej. Można
pokazać, że niezależnie od znaku ładunku moment magnetyczny wiążący się
w ruchem kołowym wywołanym siłą Lorentz’a jest zawsze skierowany prze-
ciwnie

do kierunku pola magnetycznego. Wynika stąd, że siła działająca na

ładunek jest skierowana przeciwnie do gradientu pola. Cząstka jest więc wy-
pychana

z obszaru gdzie pole wzrasta. Na zjawisku tym oparte jest występo-

wanie m.inn. pasów radiacyjnych wokół Ziemi, ponieważ w pobliżu biegunów
magnetycznych mamy zwiększony gradient ziemskiego pola magnetycznego.

10.2 Równania materiałowe

Od próżni przechodzimy do pól w ciałach stałych. Źródłami pól jest olbrzy-
mia liczba pojedynczych ładunków, rzędu 10

26

na jeden cm

3

(w ciele sta-

łym). Dzięki liniowości elektrodynamiki można przeprowadzić proces linio-
wego uśredniania. Jako granicę obszaru mikroskopowego bierzemy długość
rzędu 10

−6

cm

. Oznacza to uśrednienie po około 10

8

ładunkach. Pod nieobec-

ność korelacji czasowych uśrednienie przestrzenne jest równoważne również
uśrednieniu czasowemu.

Jako funkcję uśredniającą bierzemy dostatecznie gładką funkcję f(~r), z

53

WYKŁAD 10.

29.IV.2002

54

nośnikiem rzędu 10

−6

cm

. Jest ona unormowana tak, że

Z

d

3

r f

(~r) = 1

Gdy mamy jakąś wielkość mikroskopową o(~r, t), to jej odpowiednikiem ma-
kroskopowym będzie

< o >

(~r, t) =

Z

d

3

r

0

f

(~r − ~r

0

)o(~r

0

, t

) =

Z

d

3

r

0

f

(~r

0

)o(~r − ~r

0

, t

) .

(10.1)

Pod nieobecność ładunków i prądów zewnętrznych pola mikroskopowe ~e(~r, t)
i ~b(~r, t) spełniają równania

rot ~e +

1

c

∂~b

∂t

= 0

(10.2a)

div ~e = 4πρ .

(10.2b)

div~b = 0

(10.2c)

rot~b −

1

c

∂~e

∂t

=

4π

c

~

(10.2d)

gdzie ρ jest mikroskopową gęstością ładunku

ρ

(~r, t) =

X

i

q

i

δ

(~r − ~r

i

) ,

(10.3a)

a ~ jest mikroskopową gęstością prądu

~

(~r, t) =

X

i

q

i

~v

i

δ

(~r − ~r

i

) .

(10.3b)

W równaniach (10.3) ~r

i

i ~v

i

są odpowiednio położeniami i prędkościami ła-

dunku punktowego q

i

.

Ładunki q

i

występujące w równaniu (10.3a) są ładunkami protonów i

elektronów z których składają się molekuły rozpatrywanego ciała. Natomiast
gęstość ładunków dodatkowych (dodanych) oznacza się jako ρ

ex

.

Pod nieobec-

ność ładunków dodatkowych całkowity ładunek ciała jest oczywiście równy
zeru. Dla uśrednionego ładunku < ρ > (~r) zachodzi oczywisty związek

Z

d

3

r < ρ >

(~r) = 0

(10.4)

Gęstość uśredniona < ρ > nie zależy od czasu mimo, że gęstość mikroskopowa
ρ

zależy od czasu. Dzieje się tak dlatego, ponieważ uśrednienie po dużej ilości

nieskorelowanych (∼ 10

8

) ładunków jest równoważne uśrednieniu po czasie.

WYKŁAD 10.

29.IV.2002

55

10.2.1 Elektrostatyka dielektryków

W dielektryku mimo nieobecności prądu uśrednione pole elektryczne może
być różne od zera. Natomiast uśrednione pole indukcji magnetycznej jest
stałe w czasie. Po uśrednieniu równań (10.2a) i (10.2b) mamy więc

rot ~

E

= 0,

div ~

E

= 4π < ρ > .

(10.5)

gdzie ~

E

=< ~e >

Powyższe relacje dla pól uśrednionych otrzymuje się wykorzystując cał-

kowanie przez części i korzystając ze „splotowego” sposobu uśredniania.

Dielektryk nienaładowany

Oznacza to, że

Z

V

d

3

r < ρ >

= 0 ;

gdzie całkuje się po całej objętości dielektryka. Wprowadza się wektor ~

P

,

znikający na zewnątrz dielektryka i taki, że < ρ >= −div ~

P

. Wektor ~

P

nazywamy wektorem polaryzacji.

Liczymy moment dipolowy

~

d

=

Z

d

3

r ~r < ρ >

= −

Z

d

3

r ~r

div ~

P

=

Z

d

3

r ~

P .

(10.6)

Oznacza to, że ~

P

możemy interpretować jako moment dipolowy jednostki

objętości dielektryka.

Ujednoznaczniliśmy w ten sposób definicję wektora po-

laryzacji.

Określamy indukcję elektryczną

~

D

= ~

E

+ 4π ~

P

Z definicji wynika, że div ~

D

= 0.

Związek między indukcją a natężeniem pola elektrycznego W przy-
padku dielektryka izotropowego indukcja jest równoległa do pola elektryczne-
go. Można wtedy zapisać

~

D

=  ~

E

=⇒

~

P

= κ ~

E

=



−

1

4π

~

E

κ

jest współczynnikiem polaryzacji

WYKŁAD 10.

29.IV.2002

56

W przypadku dielektryka jednorodnego ( = const) mamy

div ~

D

= 0

=⇒

div ~

P

= 0

=⇒

< ρ >

= 0

W przypadku dielektryka niejednorodnego mamy dla div ~

D

= 0:

< ρ >

= −div ~

P

= −div



−

1

4π

~

D

= −

~

E

4π

∇

Odpowiednikiem równania Laplace’a 4Φ = 0 będzie teraz

div (∇Φ) = 0

Dielektryk naładowany

Występuje wtedy gęstość ładunków dodanych ρ

ex

taka, że

Z

V

d

3

r ρ

ex

6

= 0 ;

Wtedy

div ~

D

= 4πρ

ex

;

Odpowiednie zmiany zajdą wtedy również w innych równaniach. W przy-
padku dielektryka nieizotropowego polaryzacja nie musi być równoległa do
kierunku pola elektrycznego. Przy zachowaniu liniowego charakteru związ-
ku, można wtedy napisać ogólniejszą relację tensorową

D

i

=

3

X

j=1



i j

E

j

;

10.3 Magnetostatyka dielektryków

Wychodzimy z równań mikroskopowych (10.2c) i (10.2d). Po uśrednieniu
(uśrednione pole elektryczne jest stałe w czasie) mamy

div ~

B

= 0

(10.7a)

oraz

rot ~

B

=

4π

c

< ρ~v >

(10.7b)

gdzie ~

B

=< ~b > jest uśrednionym polem indukcji magnetycznej.

WYKŁAD 10.

29.IV.2002

57

Weźmy dowolny przekrój dielektryka S rozpięty na obwodzie Γ otaczają-

cym

dielektryk. Wobec nieobecności prądów zachodzi

Z

S

< ρ~v >

·d~s

= 0 ;

Wprowadzamy wektor magnetyzacji ~

M

taki, że

< ρ~v >

= c rot ~

M

Magnetyzacja jest różna od zera tylko wewnątrz ciała. Oznacza to, że

c

I

Γ

~

M

· d~l

= 0 ;

Definiujemy pole magnetyczne jako

~

H

= ~

B

−

4π ~

M

Z definicji tej i równania (10.7b) wynika, że

rot ~

H

= 0 .

(10.8)

Liczymy moment magnetyczny ciała

~

m

=

1

2c

Z

d

3

r ~r

× < ρ~v >

=

1
2

Z

d

3

r ~r

×

rot ~

M

;

Całkując przez części otrzymuje się

~

m

=

Z

d

3

r ~

M .

(10.9)

Pozwala to interpretować ~

M

jako moment magnetyczny jednostki objętości

dielektryka

.

Dla ciał izotropowych;

~

B

= µ ~

H

;

µ

— współczynnik przenikalności magnetycznej

~

M

= χ ~

H

;

χ

=

µ

−

1

4π

;

χ

– podatność magnetyczna

W przeciwieństwie do stałej dielektrycznej przenikalność magnetyczna nie
musi być większa od 1. Jest natomiast zawsze większa od zera.

WYKŁAD 10.

29.IV.2002

58

10.4 Zadania i ćwiczenia

10.4.1 Ćwiczenia treningowe

Ćwiczenie 1.
Przeliczyć rachunki prowadzące do równania

(10.6).

Ćwiczenie 2.
Przeliczyć rachunki prowadzące do równania

(10.8).