Wykład 1

18.II.2002

wersja na dzień 25 lutego 2002 roku

1.1 Uwagi wstępne

Równania Maxwella były wprowadzone już w kursie fizyki ogólnej. W próżni
mamy:

div ~

E

= 4πρ

(1.1a)

rot ~

B

−

1

c

∂ ~

E

∂t

=

4π

c

~

(1.1b)

rot ~

E

+

1

c

∂ ~

B

∂t

= 0

(1.1c)

div ~

B

= 0

(1.1d)

Równania w tej postaci odpowiadają układowi jednostek Gaussa. Jest on
dogodniejszy (przynajmniej dla mnie) do stosowania przy zagadnień teore-
tycznych. W „legalnym” układzie SI odpowiednie równania mają postać:

div ~

E

=

1



0

ρ

rot ~

B

− µ

0



0

∂ ~

E

∂t

= µ

0

~

rot ~

E

+

∂ ~

B

∂t

= 0

div ~

B

= 0

1

WYKŁAD 1.

18.II.2002

2

Jak widać formalne przejście od równań w układzie jednostek SI do równań
(1.1) w systemie Gaussa realizuje się przez podstawienie



0

→

1

4π

;

µ

0

→

4π

c

I tak prawo Coulomba zapisywane jest w obu układach jako:

~

F

=

1

4π

0

q

1

q

2

|~r

1

− ~r

2

|

3

(~r

1

− ~r

2

)

(układ SI)

~

F

=

q

1

q

2

|~r

1

− ~r

2

|

3

(~r

1

− ~r

2

)

(układ Gaussa)

Poza próżnią, w ciele stałym, odpowiednie równania mają postać:

div ~

D

= 4πρ

rot ~

H

−

1

c

∂ ~

D

∂t

=

4π

c

~

rot ~

E

+

1

c

∂ ~

B

∂t

= 0

div ~

B

= 0















































równania materiałowe

Są to równania materiałowe ponieważ wprowadzone są tu nowe pola: pole in-
dukcji elektrycznej ~

D

oraz pole magnetyczne ~

H

. Pola te zależą od własności

ośrodka i w ogólności są skomplikowanym funkcjonałem od pól „podstawo-
wych” ~

E

i ~

B

:

~

D

= D(~r, t; ~

E, ~

B

) ;

~

H

= ~

H

(~r, t; ~

E, ~

B

)

Jedynie w najprostszym przypadku jednorodnego i izotropowego ośrodka ist-
nieją relacje wyrażające prosto ~

D

i ~

H

przy pomocy stałej dielektrycznej  i

przenikalności magnetycznej µ:

~

D

(~r, t) =  ~

E

(~r, t) ;

~

H

(~r, t) =

1

µ

~

B

(~r, t)

Dla wewnętrznej spójności równań Maxwella konieczna jest zasada zachowa-
nia ładunku. Weźmy jako przykład równania (1.1). Różniczkując po czasie
równania (1.1a), biorąc dywergencję równania (1.1b), wykorzystując tożsa-
mość div rot ~a ≡ 0 i dodając oba równania stronami otrzymuje się równanie
ciągłości

:

∂ρ

∂t

+ div ~ = 0

(1.2)

WYKŁAD 1.

18.II.2002

3

Istotną cechą równań elektrodynamiki jest ich liniowość. Dzięki temu pole
pochodzące od różnych źródeł jest superpozycją pól pochodzących od po-
szczególnych źródeł.

Wprowadzone pola elektromagnetyczne ~

E, ~

B

mają bezpośrednią inter-

pretację fizyczną w momencie gdy podany jest sposób ich pomiaru (detekcji,
rejestracji). Oba pola działają poprzez siłę jaką wywierają na ładunek elek-
tryczny. Jest to siła Lorentza:

~

F

= q( ~

E

+

1

c

~v

× ~

B

)

1.2 Postać całkowa równań Maxwella

Często używanymi narzędziami matematycznymi będą, oprócz analizy wek-
torowej, twierdzenie Gaussa:

Z

V

div ~

A d

3

r

=

I

∂V

~

A

· ~n dσ

(1.3)

oraz twierdzenie Stokesa:

Z

S

rot ~

A

· ~n dσ =

I

∂S

~

A

· d~l

(1.4)

gdzie przez ∂V oraz ∂S oznaczone są odpowiednio: powierzchnia ogranicza-
jąca objętość V oraz krzywa będąca brzegiem powierzchni S.

Stosując twierdzenie Gaussa do równania (1.2) otrzymamy

−

d

dt

Z

V

d

3

r

div ρ(~r, t) =

I

∂V

~

· ~n dσ

Oznacza to zachowanie jako ładunku, jako że

Q

(V )

=

d

dt

Z

V

d

3

r

div ρ(~r, t)

jest ładunkiem zawartym w objętości V .

Przy użyciu twierdzeń Gaussa (1.3)i Stokesa (1.4) otrzymuje się całkową

formę równań Maxwella. I tak równanie (1.1a) daje po wycałkowaniu po
objętości V

Q

(V )

=

1

4π

I

∂V

~

E

· ~n dσ

(1.5)

WYKŁAD 1.

18.II.2002

4

Równanie (1.1b) da po wzięciu całki powierzchniowej przez dowolną po-
wierzchnię S

I

∂S

~

B

· d~l =

4π

c

I

+

1

c

d

dt

Z

S

~

E

· ~n dσ

(1.6)

Jest to zmodyfikowane przez Maxwella (o prąd przesunięcia) prawo Ampera.
Odczytywane „z prawa na lewo” pokazuje, że ze zmiennym w czasie polem
elektrycznym wiąże się pole indukcji magnetycznej.

Równanie (1.1c) daje podobnie prawo indukcji Faradaya:

I

∂S

~

E

· d~l = −

1

c

d

dt

Z

S

~

B

· ~n dσ

(1.7)

czyli indukowana w zamkniętym obwodzie siła elektromotoryczna równa jest
zmianie strumienia pola indukcji magnetycznej. Innymi słowy ze zmiennym
w czasie polem magnetycznym wiąże się pole elektryczne.

I wreszcie równanie (1.1d) daje przy pomocy twierdzenia Gaussa wynik

I

∂V

~

B

· ~n dσ = 0

(1.8)

czyli strumień indukcji magnetycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą
jest równy zeru.

1.3 Potencjały elektromagnetyczne

Z równania (1.1d) i tożsamości div rot ~a ≡ 0 wynika, że indukcja magnetyczna
może być zapisana jako rotacja pewnego wektora ~

A

: ~

B

= rot ~

A

. Wektor ~

A

jest potencjałem wektorowym.

Z równania (1.1c) mamy wtedy

rot ~

E

+

1

c

rot

∂ ~

A

∂t

= 0

czyli

rot





~

E

+

1

c

∂ ~

A

∂t





= 0

Tożsamość rot grad ~a ≡ 0 pozwala zapisać wyrażenie pod znakiem rotacji
jako (minus) gradient pewnej funkcji skalarnej φ :

~

E

+

1

c

∂ ~

A

∂t

= −grad φ

WYKŁAD 1.

18.II.2002

5

. Znak minus ma tu charakter czysto techniczny. Funkcja φ jest potencjałem

skalarnym

, a oba potencjały φ i ~

A

tworzą czteropotencjał pola elektromagne-

tycznego

. Mamy zatem pola wyrażone przez czteropotencjał:

~

B

= rot ~

A

(1.9a)

~

E

= −grad φ −

1

c

∂ ~

A

∂t

(1.9b)

Podstawiają równania (1.9) do równań Maxwella (1.1a) i (1.1b) otrzymuje
się układ równań na potencjały wektorowy i skalarny:

4φ +

1

c

∂

div ~

A

∂t

= −4πρ

(1.10)

4 ~

A

−

1

c

2

∂

2

~

A

∂t

2

= −

4π

c

~

+ grad

div ~

A

+

1

c

∂

Φ

∂t

!

;

(1.11)

Przy wyprowadzeniu tych równań skorzystano m.inn. z tożsamości

rot rot ~a ≡ grad div ~a − 4 ~a

oraz

div grad f ≡ 4f

1.4 Zadania i ćwiczenia

Zadania z listy nr 1

Dobrym przewodnikiem - samouczkiem - repetytorem z analizy wektorowej jest
pierwszy rozdział podręcznika D.J. Griffiths’a - „Podstawy elektrodynamiki”. Go-
rąco polecam/zalecam.
Zadanie 1.
Udowodnić następujące tożsamości wektorowe:

• div rot ~

a

≡ 0

• rot rot ~

a

≡ grad div ~a − 4 ~a

• div grad ϕ ≡ 4 ϕ

• grad (~

a

· ~b) ≡ ~a × rot~b + ~b × rot ~a + (~a ·

−

→

∇)~b + (~b ·

−

→

∇)~a

• div (~

a

× ~b) = ~b · rot ~a − ~a · rot~b

WYKŁAD 1.

18.II.2002

6

Zadanie 2.
Wprowadzamy tensor Levi - Civita (y?):



ijk

=















1

gdy i,j,k są parzystą permutacją liczb 1,2,3,

−1 gdy i,j,k są nieparzystą permutacją liczb 1,2,3,
0

gdy którakolwiek z liczb i,j,k powtarza się.

• Pokazać, że składowe iloczynu wektorowego ~

a

×~b można wtedy zapisać (z

wykorzystaniem konwencji sumacyjnej) jako

(~a × ~b)

i

= 

ijk

a

j

b

k

• Zapisać tożsamości z poprzedniego zadania z wykorzystaniem konwencji

sumacyjnej i użycia (tam gdzie można) symbolu 

ijk

.

Zadanie 3.
Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie Gaussa dla funkcji wektorowej

~a

(~r) = (x

2

y, z,

2z + 3y) i obszaru całkowania w postaci sześcianu o boku 2 i kra-

wędziach równoległych do osi układu. Początek układu współrzędnych pokrywa
się ze środkiem sześcianu.
Zadanie 4.
Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie Stokesa dla funkcji wektorowej

~a

(~r) = (6, yz

2

,

3y + z). Powierzchnią całkowania jest trójkąt o wierzchołkach w

punktach {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2)}.
Zadanie 5.
Spróbować sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie Gaussa dla funkcji
wektorowej

~a

(~r) =

~r

r

2

i obszaru całkowania w postaci kuli o boku 1 ze środkiem pokrywającym się z
początkiem układu.

Na czym polega trudność w tym zadaniu?

Ćwiczenia treningowe

Ćwiczenie 1.
Powtórzyć rachunki prowadzące do równań (1.10) i (1.11).
Ćwiczenie 2.
Udowodnić następujące tożsamości wektorowe:

• div (f~

a

) = f div ~a + ~a · grad f

WYKŁAD 1.

18.II.2002

7

• rot (f~

a

) = f rot ~a − ~a × grad f

• rot (~

a

× ~b) = (~b ·

−

→

∇) ~a − (~a ·

−

→

∇)~b + ~adiv~b − ~b div ~a

Ćwiczenie 3.
Pokazać, że dla symbolu 

ijk

zachodzi



ijk



prs

=









δ

ip

δ

ir

δ

is

δ

jp

δ

jr

δ

js

δ

kp

δ

kr

δ

ks









a w konsekwencji (z użyciem konwencji sumacyjnej)



ijk



prk

= δ

ip

δ

jr

− δ

ir

δ

jp



ijk



pjk

= 2δ

ip



ijk



ijk

= 6

Ćwiczenie 4.
Udowodnić używając symbolu 

ijk

~a

· (~b × ~c) ≡ ~b · (~c × ~a) − ~c · (~a × ~b)

~a

× (~b × ~c) ≡ ~b (~a · ~b) − ~c (~a · ~b)

Ćwiczenie 5.
Rozpisując równania Maxwella na składowe otrzymujemy 8 równań. Pola ~

E

i B

mają razem 6 składowych. Jak to interpretować?
Ćwiczenie 6.
Pokazać, że z równań Maxwella (1.1) wynikają następujące równania:

4 ~

B

−

1

c

2

∂

2

~

B

∂t

2

= −

4π

c

rot ~

4 ~

E

−

1

c

2

∂

2

~

E

∂t

2

= 4π

−

→

∇ρ +

4π

c

∂~
∂t