Wykład 3

4.III.2002

wersja na dzień 7 marca 2002 roku

3.1 Uniwersalność równania potencjału

Posługując się prawem Coulomba otrzymaliśmy rozwiązanie równania

div ~

E

(~r) = 4πρ(~r)

(3.1)

postaci

~

E

(~r) =

Z

d

3

˜

rρ

(˜

~r

)

~r

− ˜

~r

|~r − ˜

~r

|

3

(3.2)

Wykorzystując to, że

~r

− ˜

~r

|~r − ˜

~r

|

3

= −∇

(

~r

)

1

|~r − ˜

~r

|

można napisać

~

E

(~r) = −grad

Z

d

3

˜

rρ

(˜

~r

)

1

|~r − ˜

~r

|

.

(3.3)

W elektrostatyce : ~

E

= −grad φ. Wtedy równanie (3.1) przybiera postać

4φ = −4πρ

(3.4)

Jest to równanie Poissona. Z równania (3.3) widać, że

φ

(~r) =

Z

d

3

˜

rρ

(˜

~r

)

1

|~r − ˜

~r

|

(3.5)

spełnia równanie potencjału (3.4).

Równanie (3.4) dla jednostkowego punktowego ładunku osadzonego w

punkcie ~r

1

przybiera postać

4φ(~r) = −4πδ(~r − ~r

1

)

(3.6)

15

WYKŁAD 3.

4.III.2002

16

3.1.1 Funkcje Green’a

Określa się funkcję Green’a G(~r, ~r

1

) jako

4 G(~r, ~r

1

) = δ(~r − ~r

1

) ;

(3.7)

Funkcje Green’a jest określona z dokładnością do dowolnego rozwiązania rów-
nania jednorodnego. Jeśli G(~r, ~r

1

) jest funkcją Greena, to funkcja

ˆ

G

(~r, ~r

1

) = G(~r, ~r

1

) + F (~r, ~r

1

)

jest również funkcją Green’a, o ile tylko funkcja F (~r, ~r

1

) spełnia równanie

Laplace’a

4F (~r, ~r

1

) = 0

Widać, że funkcja określona jako

Φ(~r) = −4π

Z

d

3

r

1

G

(~r, ~r

1

)ρ(~r

1

) ;

spełnia równanie Poissona.

To formalne wyrażenie nie rozwiązuje problemu relacji do warunków brze-

gowych ani nie odpowiada na pytanie jakie warunki brzegowe są poprawne,
czyli prowadzą do jednoznacznego rozwiązania. Dla wyciągnięcia ogólniej-
szych wniosków potrzebne jest użycie niektórych

3.1.2 Własności funkcji harmonicznych

Definicja. Funkcją harmoniczną nazywamy funkcję spełniająca równanie
Laplace’a: 4f = 0

Okazuje się, że wartość funkcji harmonicznej w danym punkcie jest równa

uśrednionej wartości tej funkcji po powierzchni dowolnej kuli mającej środek
w tym punkcie.

Twierdzenie 1. Niech funkcja f będzie funkcją harmoniczną wewnątrz i
na powierzchni kuli V o promieniu R, mającej środek w punkcie ~r. Wtedy
zachodzi

f

(~r) =

1

4πR

2

I

∂V

f ds

Stąd natychmiast jako wniosek można wyciągnąć kolejne

Twierdzenie 2. Funkcja harmoniczna osiąga swoje ekstremalne wartości
jedynie na brzegach obszaru (harmoniczności).

WYKŁAD 3.

4.III.2002

17

Dowód. Załóżmy, że punkt ~r jest lokalnym maksimum (minimum) funkcji
harmonicznej f . Zgodnie z poprzednim twierdzeniem wartość funkcji w tym
punkcie jest równa wartości średniej branej po powierzchni kuli otaczającej
ten punkt. Ponieważ jest to lokalne maksimum, to wszystkie wartości funkcji
na powierzchni kuli muszą być mniejsze (większe) niż w punkcie ~r. Jest to
sprzeczność, ponieważ wartość średnia nie może być większa (mniejsza) od
wszystkich wartości tworzących ową średnią.

Jak widać z obu tych twierdzeń funkcja harmoniczna ma przebieg regu-

larny, bez „dołów” i „gór”. Najważniejszym wnioskiem jest jednak

Twierdzenie 3. Równanie Poissona 4f = g ma dla ustalonych warun-
ków brzegowych określonych na powierzchni zamkniętej S co najwyżej jedno
rozwiązanie.

Dowód. Załóżmy, że istnieją dwa rozwiązania f

1

i f

2

spełniające te same

warunki brzegowe. Odejmując stronami równania

4f

1

= g

4f

2

= g

otrzymamy równanie

4(f

1

− f

2

) = 0

Oznacza to, że funkcja (f

1

− f

2

) jest funkcją harmoniczną, równą zeru na

powierzchni zamkniętej S. A z poprzednio udowodnionych twierdzeń wynika,
że taka funkcja musi być identycznie równa zeru, czyli f

1

= f

2

.

3.1.3 Własności funkcji harmonicznych – wnioski fi-

zyczne

. . .

3.2 Zadania i ćwiczenia

Ćwiczenia treningowe

Ćwiczenie 1.
Pokazać, że każda funkcja Green’a dla zagadnienia Dirichleta jest symetryczna,
czyli G

(~r, ~r

1

) = G(~r

1

, ~r

).

Wskazówka: wykorzystać drugi lemat Green’a i warunek (A.4) w uzupełnieniu

matematycznym.