ANALIZA MATEMATYCZNA 2

str. 1

1

* Ca÷

ki oznaczone i niew÷

a´sciwe. Zastosowania.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 1.1

Obliczy´c ca÷

ki oznaczone:

a)

2

Z

0

x

2

x dx;

b)

Z

0

sin(2x)dx;

c)

4

Z

4

maxf1; x

2

+ x

5gdx;

d)

2

Z

0

x sgn(cos x)dx;

e)

1

Z

1

x

2

arcsin xdx;

f )

Z

x sin(2x)dx;

g)

1

Z

0

x arctg xdx;

h)

Z

0

sin

2

x cos

3

xdx:

Zadanie 1.2

Obliczy´c ca÷

ki niew÷

a´sciwe (o ile s ¾

a zbie·

zne):

a)

1

Z

2

x

x

2

1

dx;

b)

0

Z

1

xe

2x

dx;

c)

1

Z

1

1

x

2

+2x+5

dx;

d)

0

Z

1

x

p

1+x

dx;

e)

1

Z

0

x+2

x

2

x

dx;

f )

1

Z

1

x+2

x

2

x

dx:

Zadanie 1.3

Okre´sli´c rodzaj i obliczy´c ca÷

ki (o ile s ¾

a zbie·

zne):

a)

1

Z

0

x ln xdx;

b)

1

Z

3

1

x

2

4

dx;

c)

1

Z

1

x 1

p

x

2

+2x+2

dx:

d)

2

Z

1

1

1 x

dx;

e)

1

Z

1

ln

2

xdx;

f )

3

Z

0

x+1

x

2

+x 6

dx;

2012

EKD

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

str. 2

g)

1

Z

0

x 2

x

2

+2x

dx;

h)

1

Z

1

x+1

x

2

+2x+5

dx;

i)

4

Z

0

x+1

p

4x x

2

dx;

j)

Z

2

x

sin

2

x

dx;

k)

0

Z

2

tg xdx;

l)

1

Z

1

2

j1 xj

dx:

Zadanie 1.4

Obliczy´c pole …gury ograniczonej krzywymi:

a)

y = ln x; y = 0; x = 0 dla y < 0;

b)

y = e

jxj

; y = 0;

c)

y =

1

x

2

+4

; y = 0;

d)

y = tg x dla x 2 (0;

2

); x = 0;

y = 1;

e)

y =

1
x

;

y =

1

x

2

dla x 2 [1; +1);

f )

y = 2 arctg x; x = 1; y = :

Zadanie 1.5

Obliczy´c d÷

ugo´s´c ÷

uku krzywej:

a)

f (x) =

p

2x

x

2

; x 2 [0; 2];

b)

f (x) = arcsin x +

p

1

x

2

; x 2 [ 1; 1];

c)

f (x) = ln(1

x

2

); x 2 [0; 1];

d)

x(t) = t

2

; y(t) = t

1
3

t

3

; t 2 [0;

p

3];

e)

x(t) = cos

3

t; y(t) = sin

3

t; t 2 [0; ];

f )

x(t) = r(t

sin t); y(t) = r(1

cos t); t 2 [0; 2]; r > 0 (cykloida);

g)

r( ) = ae

2

;

2 [0; 1]; a > 0 (spirala logarytmiczna);

h)

r( ) = a ;

2 [

2

; ] (spirala Archimedesa);

i)

r( ) = a(1 + cos );

2 [0; 2]; a > 0 (spirala).

Zadanie 1.6

Zbada´c zbie·

zno´s´c podanych ca÷

ek niew÷

a´sciwych:

a)

1

Z

1

sin x+cos x

x

2

+2

;

b)

1

Z

3

x

2

+4x

x

2

4

dx;

c)

1

Z

0

arcsin x

p

x

;

d)

2

Z

0

sin x

x

2

:

Zadanie 1.7

** Zbada´c zbie·

zno´s´c szeregów postaci:

X

1

n

; gdzie

2 R.

2012

EKD