str. 1
1
* Ca÷
ki oznaczone i niew÷
aściwe. Zastosowania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 1.1 Obliczyć ca÷
ki oznaczone:
2
Z
1
Z
a)
x2
x dx;
e)
x2 arcsin xdx;
0
1
Z
Z
b)
sin(2x)dx;
f )
x sin(2x)dx;
0
4
Z
1
Z
c)
maxf1; x2 + x
5gdx;
g)
x arctg xdx;
4
0
2
Z
Z
d)
x sgn(cos x)dx;
h)
sin2 x cos3 xdx:
0
0
Zadanie 1.2 Obliczyć ca÷
ki niew÷
aściwe (o ile s ¾
a zbie·
zne):
1
Z
0
Z
a)
x
dx;
x
x2 1
d)
p
dx;
1+x
2
1
0
Z
1
Z
b)
xe2xdx;
e)
x+2 dx;
x2 x
1
0
1
Z
1
Z
c)
1
dx;
f )
x+2 dx:
x2+2x+5
x2 x
1
1
Zadanie 1.3 Określić rodzaj i obliczyć ca÷
ki (o ile s ¾
a zbie·
zne):
1
Z
2
Z
a)
x ln xdx;
d)
1 dx;
1 x
0
1
1
Z
1
Z
b)
1
dx;
e)
ln2 xdx;
x2 4
3
1
1
Z
3
Z
c)
x 1
p
dx:
f )
x+1
dx;
x2+2x+2
x2+x 6
1
0
2012
EKD
str. 2
1
Z
Z
x
g)
x 2 dx;
j)
dx;
x2+2x
sin2 x
0
2
1
Z
0
Z
h)
x+1
dx;
k)
tg xdx;
x2+2x+5
1
2
4
Z
1
Z
i)
x+1
p
dx;
l)
2
dx:
4x x2
j1 xj
0
1
Zadanie 1.4 Obliczyć pole …gury ograniczonej krzywymi: a) y = ln x; y = 0; x = 0 dla y < 0; d) y = tg x dla x 2 (0; ); x = 0; y = 1; 2
b) y = e jxj; y = 0;
e) y = 1 ;
y = 1
dla x
x
2 [1; +1);
x2
c) y =
1
; y = 0;
f ) y = 2 arctg x; x = 1; y = : x2+4
Zadanie 1.5 Obliczyć d÷
ugość ÷
uku krzywej:
p
a) f (x) =
2x
x2; x 2 [0; 2];
p
b) f (x) = arcsin x +
1
x2; x 2 [ 1; 1];
c) f (x) = ln(1
x2); x 2 [0; 1];
p
d) x(t) = t2; y(t) = t 1 t3; t
3];
3
2 [0;
e) x(t) = cos3 t; y(t) = sin3 t; t 2 [0; ]; f ) x(t) = r(t
sin t); y(t) = r(1
cos t); t 2 [0; 2]; r > 0 (cykloida); g) r( ) = ae 2 ;
2 [0; 1]; a > 0 (spirala logarytmiczna); h) r( ) = a ;
2 [ ; ] (spirala Archimedesa); 2
i) r( ) = a(1 + cos ); 2 [0; 2]; a > 0 (spirala).
Zadanie 1.6 Zbadać zbie·
zność podanych ca÷
ek niew÷
aściwych:
1
Z
1
Z
a)
sin x+cos x ;
c)
arcsin x
p
;
x2+2
x
1
0
1
Z
2
Z
b)
x2+4x dx;
d)
sin x :
x2 4
x2
3
0
X
Zadanie 1.7 ** Zbadać zbie·
zność szeregów postaci: 1 ; gdzie
n
2 R.
2012
EKD