Kolokwium połówkowe z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”

WETI, EiT gr.1-7, 2 sem., r. ak. 2008/2009

1. [4p.] Obliczyć

Z

L

ydx + xe

−2y

dy,

gdzie L jest łukiem opisanym równaniem y = ln x skierowanym od punktu A(1, 0) do
punktu B(e, 1).

2. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

2ydx + (y − x)dy,

gdzie K jest brzegiem obszaru opisanego nierównościami x

2

+ y

2

¬ 25 i y ­ 0 skierowa-

nym dodatnio.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek krzywolinio-
wych skierowanych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

ye

xy

dx + xe

xy

dy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(1, −1) do punktu B(2, 4).

4. [4p.] a) Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie z

4

− z

3

+ z − 1 = 0. Rozwiązania

równania zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.
[2p.] b) Pokazać, że dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z

1

i z

2

zachodzi z

1

· z

2

= z

1

·z

2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

Z

C

sin(

πz

2

)dz

z

2

− 1

,

gdzie C jest okręgiem |z − 1| = 1 zorientowanym dodatnio.

6. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

S

Z

(6x + 4y + 3z)dS,

gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu x + 2y + 3z = 6, leżącą w pierwszym oktancie
układu współrzędnych.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płasz-
czyzny XOY .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Zbadać holomorficzność funkcji f (z) =

2

z

+ (i − z)

2

.