Zaliczenie poprawkowe z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT, 2 sem., r. ak. 2008/2009

1. [7 p. ] Uzasadnić, że całka

Z

( ex + 4 y) dx + (4 x − sin y) dy L

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem gładkim skierowanym od punktu A(0 , 0) do punktu B(0 , π ).

2

2. [7 p. ] a) Obliczyć całkę

ZZ

(6 x + 4 y + 3 z) dS,

S

gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu x + 2 y + 3 z = 6, leżącą w pierwszym oktancie układu współrzędnych.

[2 p. ] b) W oparciu o definicję wyznaczyć gradient dowolnie wybranego pola skalarnego określonego w pewnym obszarze V ⊂ R 3.

3. [7 p. ] a) Wyznaczyć funkcję holomorficzną f ( z), jeśli dana jest jej część urojona v( x, y) = y 3 − 3 yx 2

√

[2 p. ] b) Wyznaczyć 4 1. Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7 p. ] Zbadać zbieżność szeregów i określić jej rodzaj:

∞

n

∞

n 3

a) X( − 1) n+1

b) X

2 n 2 − 1

2 n + 3 n

n=1

n=1

[2 p. ] c) Podać dwa przykłady szeregów rozbieżnych, z których jeden spełnia, a drugi nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

5. [7 p. ] Rozwinąć funkcję f ( x) = x ln(10 + x) w szereg Maclaurina. Określić przedział zbież-

ności otrzymanego szeregu.

6. [7 p. ] Stosując transformatę Laplace’a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego y00 + 9 y = −et

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y0(0) = 1.

[2 p. ] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a oryginału f ( t) = t 2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [ dla chętnych] [5 p. ] Wyznaczyć rozwiązanie równania y

1

y0 −

=

,

y (1) = 0

x

x 2