Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek AiR, 2 sem., r. ak. 2008/2009

1. [7p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

(3x

2

y + e

y

)dx + (x

3

+ xe

y

− 2y)dy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(0, 1) do punktu B(1, 0).

2. [7p.] a) Obliczyć całkę

Z

S

Z

(xz +

q

1 + 4y)dS,

gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu y = x

2

, zawartą między płaszczyznami z = 0,

z = 2 i y = 1.
[2p.] b) W oparciu o definicję wyznaczyć gradient dowolnie wybranego pola skalarnego
określonego w pewnym obszarze V ⊂ R

3

.

3. [7p.] Wyznaczyć funkcję holomorficzną f (z), jeśli dana jest jej część rzeczywista

u(x, y) = arctg

y

x

[2p.] b) Wyznaczyć

4

√

i. Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.

4. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów i określić jej rodzaj:

a)

∞

X

n=1

(−1)

n

2n + 1

n

2

+ 2

b)

∞

X

n=1

(n!)

2

e

n

(2n)!

[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów rozbieżnych, z których jeden spełnia, a drugi nie
spełnia warunku koniecznego zbieżności.

5. [7p.] Rozwinąć funkcję f (x) =

x

2

ln(2 − 3x + x

2

) w szereg Maclaurina. Określić przedział

zbieżności otrzymanego szeregu.

6. [7p.] a) Stosując transformatę Laplace’a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

+ y

0

= 4 cos t

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 1, y

0

(0) = 0.

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a oryginału f (t) = t

3

.

7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania

y

0

−

2xy

x

2

+ 1

= x,

y (0) = 2