Kolokwium połówkowe z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”

WETI, IBM gr.1-3 i EiT gr. 8-9, 2 sem., r. ak. 2008/2009

1. [4p.] Obliczyć

Z

L

(x + 2y − 1)dl

gdzie L jest odcinkiem między punktami A(1, 2, −1) i B(2, 3, 0).

2. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

(x + y)dx + xydy,

gdzie K jest brzegiem obszaru opisanego nierównościami x

2

+ y

2

¬ 4, x ­ 0 i y ­ 0

skierowanym dodatnio.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek krzywolinio-
wych skierowanych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

cos 4ydx − 4x sin 4ydy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(1,

π

6

) do punktu B(2,

π

4

).

4. [4p.] a) Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie z

3

−2i = 0. Rozwiązania równania

zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.
[2p.] b) Pokazać, że dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z

1

i z

2

zachodzi z

1

· z

2

= z

1

·z

2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

Z

C

dz

z

2

(z + 2i)

,

gdzie C jest okręgiem |z + 2i| = 1 zorientowanym dodatnio.

6. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

S

Z

(x + y + z)dS,

gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu x + y + z = 1, leżącą w pierwszym oktancie
układu współrzędnych.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płasz-
czyzny XOZ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Zbadać holomorficzność funkcji f (z) = (z + i)

2

−

1

z

.