Politechnika Rzeszowska

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Katedra Mechaniki Konstrukcji

Mechanika teoretyczna

Wykład 6: Statyka (cd)

Piotr Nazarko

pnazarko.sd.prz.edu.pl

Studia niestacjonarne

Rzeszów 2012

Plan prezentacji

Analiza budowy układów CS

Stopnie swobody, geometryczna niezmienność
Warunki geometrycznej niezmienności układów
Twierdzenie o zamianie tarczy na pręt

Przykłady analizy budowy układów

Belki i ramy proste
Belki przegubowe

ANALIZA BUDOWY UKŁADÓW CS

Stopnie swobody

Liczbą stopni swobody układu jest liczba niezależnych
współrzędnych, określających jednoznaczne jego położenie.

I

Punkt na płaszczyźnie ma 2
stopnie swobody.

I

Tarcza na płaszczyźnie ma 3
stopnie swobody.

I

Punkt w przestrzeni ma 3
stopnie swobody.

I

Bryła w przestrzeni ma 6
stopni swobody.

Stopnie swobody

I

Jeden pręt pozbawia
tarczę jednego stopnia
swobody.

I

Jeden przegub jest równoważny 2
więzom elementarnym i pozbawia
tarczę 2 stopni swobody.

I

Aby pozbawić tarczę wszystkich 3 stopni swobody należy
przymocować ją do nieruchomego układu odniesienia (ostoi) za
pomocą prętów o kierunkach nierównoległych i nie przecinających
się w jednym punkcie, lub za pomocą przegubu i jednego pręta,
którego oś nie przechodzi przez ten przegub.

Układy geometrycznie zmienne

I

Pręty przecinają się w jednym punkcie
– przegub (lub przegub umowny).

I

Pręty łączące tarcze są
równoległe.

Układy geometrycznie niezmienne

Układ tarcz nazywamy wewnętrznie geometrycznie
niezmiennym (WGN) jeśli można go zastąpić jedną tarczą.

1. Dwie tarcze połączone za pomocą przegubu i więzi

elementarnej o osi nie przechodzącej przez przegub tworzą
układ WGN.

2. Dwie tarcze połączone za pomocą trzech więzi elementarnych

jednocześnie nierównoległych i niezbieżnych stanowią układ
WGN.

Układy geometrycznie niezmienne (cd)

3. Trzy tarcze wzajemnie połączone za pomocą przegubów nie

leżących na jednej prostej stanowią układ WGN.

Tarcze tak połączone nie mogą wykonywać żadnych ruchów
względem siebie!

Warunek ilościowy

V = 3t − 2b − p − 3

gdzie:

I

V – liczba stopni swobody,

I

t – liczba tarcz z uwzględnieniem ostoi,

I

b – liczba przegubów z uwzględnieniem ich krotności,

I

p – liczba więzi elementarnych łączących tarcze (prętów).

Warunkiem koniecznym
geometrycznej niezmienności
jest V ¬ 0.

Nie jest to warunek wystarczający.
Oprócz warunku ilościowego musi
być także spełniony warunek
jakościowy!

Warunek ilościowy i jakościowy

Przykład: Czy układ przedstawiony na rysunku jest GN?

t = 2
b = 0
p = 4
V = 3 · 2 − 2 · 0 − 4 − 3 = −1 < 0

Warunek ilościowy jest spełniony, ale układ jest geometrycznie
zmienny ponieważ kierunki wszystkich prętów łączących tarcze
przecinają się w jednym punkcie (tworzą przegub).

Warunek ilościowy i jakościowy (cd)

Gdy V = 0 i spełniony jest warunek jakościowy to układ jest
geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.

Gdy V < 0 i spełniony jest warunek jakościowy to układ jest
geometrycznie niezmienny i statycznie niewyznaczalny.

Gdy V > 0 układ jest geometrycznie zmienny.

Układ nazywamy statycznie wyznaczalnym, jeżeli wszystkie
reakcje (zewnętrzne i wewnętrzne) można wyznaczyć z równań
równowagi.

Warunek ilościowy i jakościowy (cd)

Jeżeli liczba niewiadomych reakcji jest większa od liczby równań
równowagi to układ nazywamy statycznie niewyznaczalnym.
Stopień statycznej niewyznaczalności układu wynosi n = −V .

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 2

p = 4

V = 3 · 2 − 4 − 3 = −1

Układ geometrycznie niezmienny (GN) statycznie niewyznaczalny
(SN), n = 1.

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 4

b = 2

p = 5

V = 3 · 4 − 2 · 2 − 5 − 3 = 12 − 12 = 0

⇒ UMGN

Ponieważ warunek jakościowy jest spełniony (co oczywiście zawsze
należy wykazać!), układ jest geometrycznie niezmienny (GN) i
statycznie wyznaczalny (SW).

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

a)

(

t = 5

b = 6

p = 0

V = 3 · 5 − 2 · 6 − 0 − 3 = 15 − 15 = 0

⇒ UMGN

b)

(

t = 3

b = 2

p = 2

V = 3 · 3 − 2 · 2 − 2 − 3 = 9 − 9 = 0

⇒ UMGN

Warunek jakościowy jest spełniony zarówno w przypadku a), jak i
b) — układ jest geometrycznie niezmienny (GN) i statycznie
wyznaczalny (SW).

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3

b = 1

p = 4

V = 3 · 3 − 2 · 1 − 4 − 3 = 9 − 9 = 0

⇒ UMGN

Warunek jakościowy nie jest spełniony — układ jest geometrycznie
zmienny (GZ).

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 5

b = 5

p = 2

V = 3 · 5 − 2 · 5 − 2 − 3 = 15 − 15 = 0

⇒ UMGN

Warunek jakościowy nie jest spełniony — układ jest geometrycznie
zmienny (GZ).

Twierdzenie (o zamianie tarczy na pręt)

Jeżeli jakaś tarcza (również tarcza podłoża) połączona jest
z innymi tarczami za pomocą dwóch przegubów to można ją
traktować jako pręt. Twierdzenie odwrotne jest także prawdziwe.

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

GZ

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

GZ

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

Trzy tarcze połączone
przegubami leżącymi na
jednej linii — układ GZ.

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3
b = 2
p = 2

V = 0

⇒ UMGN

Tarcze 1 i 2 połączone są w sposób GN, ale za dużą ilością więzów.
Całość połączona z tarczą podłoża za małą liczbą więzów — GZ.

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3
b = 2
p = 2

V = 0
UMGN

GZ
SW

Przykład: Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 2

b = 0

p = 3

V = 0

⇒ UMGN

GZ

PRZYKŁADY ANALIZY BUDOWY UKŁADÓW

Przykłady belek, dla których warunek ilościowy geometrycznej
niezmienności i statycznej wyznaczalności jest spełniony (V = 0).

Układy GN i SW

Układy GZ

Przykłady ram prostych, dla których warunek ilościowy
geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności jest
spełniony (V = 0).

Układy GN i SW

Układy GZ

Jedną z metod badania geometrycznej niezmienności układu jest
sprzeczność równań równowagi. Obciążamy układ dowolną siłą
zewnętrzną i sprawdzamy, czy rozwiązanie układów równań równowagi
nie prowadzi do sprzeczności.

P M

iA

= 0

P · l = 0

– sprzeczność

P P

iy

= 0

V

B

− P = 0

V

B

= P

P M

iA

= 0

P · l − V

B

· 2l = 0

V

B

=

P

2

– sprzeczność

Badanie
wyznacznika
głównego
równań
równowagi

P P

ix

= 0

H

A

− R

C

√

2

2

= 0

P P

iy

= 0

V

B

+ R

C

√

2

2

− P = 0

P M

iC

= 0

H

A

· a + V

B

· a − P · 2a = 0

/ : a

H

A

V

B

R

C

det









1

0

−

√

2

2

0

1

√

2

2

1

1

0









= 0

Ponieważ det W = 0 układ równań
nie ma jednoznacznego rozwiązania
(jest ich nieskończenie wiele). Układ
geometrycznie zmienny!

Przykłady analizy budowy układu

Zad. 1. Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3

p = 6

V = 3 · 3 − 6 − 3 = 0

UMGN

Układ GN i SW

Przykłady analizy budowy układu (cd.)

Zad. 2. Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3

b = 1

p = 4

V = 3 · 3 − 2 · 1 − 4 − 3 = 0

UMGN

Układ GZ

Przykłady analizy budowy układu (cd.)

Zad. 3. Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3

b = 1

p = 4

V = 3 · 3 − 2 · 1 − 4 − 3 = 0

UMGN

Układ GN i SW

Przykłady analizy budowy układu (cd.)

Zad. 4. Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3

b = 1

p = 4

V = 3 · 3 − 2 · 1 − 4 − 3 = 0
UMGN

Układ GZ, bo trzy przeguby
(jeden rzeczywisty i dwa
umowne) leżą na jednej
prostej.

Przykłady analizy budowy układu (cd.)

Zad. 5. Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 4

b = 1

p = 7

V = 3 · 4 − 2 · 1 − 7 − 3 = 0

UMGN

Układ GN i SW

Przykłady analizy budowy układu (cd.)

Zad. 6. Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 3

b = 1

p = 4

V = 3 · 3 − 2 · 1 − 4 − 3 = 0

UMGN

Układ GZ

Przykłady analizy budowy układu (cd.)

Zad. 7. Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 4

b = 3

p = 3

V = 3 · 4 − 2 · 3 − 3 − 3 = 0
UMGN

Układ GN i SW.

Przykłady analizy budowy układu (cd.)

Zad. 8. Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 2

b = 1

p = 3

V = 3 · 2 − 2 · 1 − 3 − 3 = −2

UMGN

n = −V = 2

Układ GN i SN

W przypadku ram z konturami zamkniętymi sztywno, liczbę stopni
swobody obliczać możemy ze wzoru

V = 3 · t − 2 · b − p − 3 − 3 · z

gdzie z jest liczbą połączeń typu „z”.

Zad. 9. Przeprowadź analizę budowy układu.

t = 2

b = 0

p = 3

z = 1

V = 3 · 2 − 3 − 3 − 3 · 1 = −3

UMGN

n = −V = 3

Układ GN i SN

Warunek konieczny GN i SW

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności i statycznej
wyznaczalności w przypadku belek przegubowych

liczba niewiadomych = liczba równań równowagi

r = 3 + b

gdzie r jest liczbą reakcji (więzów) podporowych, a b liczbą przegubów
łączących belki między sobą.

Przykłady schematów pracy belek przegubowych.

Przykłady schematów pracy (cd.)

Przykłady belek GZ

Jeżeli pomimo spełnieni warunku r = 3 + b nie można zbudować
logicznego schematu pracy, świadczy to o geometrycznej zmienności belki.

a)

b)

c)

r = 5
3 + b = 3 + 2 = 5