Pomiary i jednostki fizyczne

Tadeusz Paszkiewicz

Katedra Fizyki

Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Politechniki Rzeszowskiej

Jak si

ę

mierzy ró

ż

ne wielko

ś

ci

Pomiary graj

ą

bardzo wa

ż

n

ą

rol

ę

w

ż

yciu społecze

ń

stw jednostek.

Aby oceni

ć

warto

ść

działki budowlanej nale

ż

y zmierzy

ć

jej pole.

Warto

ść

pojemnika napoju zale

ż

y od jego obj

ę

to

ś

ci, itd.

Fizyka opiera si

ę

na pomiarach. Poznajemy j

ą

mierz

ą

c ró

ż

ne

wielko

ś

ci – temperatur

ę

, ci

ęż

ar, mas

ę

, ci

ś

nienie czy nat

ęż

enie

pola elektrycznego.

Ka

ż

d

ą

wielko

ść

fizyczn

ą

mierzymy w odpowiednich jednostkach

porównuj

ą

c zmierzon

ą

wielko

ść

ze wzorcem.

Jednostka to nazwa miary danej wielko

ś

ci, np. jednostk

ą

długo

ś

ci

jest metr (m). Wzorzec zawiera dokładnie jedn

ą

(1,0) jednostk

ę

wielko

ś

ci.

Wzorzec kilograma

Wybrane jednostki miar dawnych

3,77853

12,299 l

18,8 l

Wine gallon

wiedro

Konew (okres
przedrozbiorowy)=5
garncy

12,70 kg

16,38 kg

12,967 kg

quarter=28 punds

pud=40 funtów

kamie

ń

(1796-1818)

=32 funty=64
grzywny

1609,3 m

7467,6 m

7776,0 m

mile=8 furlongs=320
poles

mila=7 wiorst

mila chełmi

ń

ska=180

sznurów=13 500 łokci

0,3048 m

0,3048 m

0,288 m

foot (ang)=12 inches

stopa rosyjska=12
cali

stopa chełmi

ń

ska =12

albo 10 cali

Za: Vademecum ucznia i studenta, Wydawnictwo Naukowe PWN i Gazeta Wyborcza

Uzgodnienie metod porównywania

zmierzonej wielko

ś

ci fizycznej ze wzorcem

Przykład: pomiar długo

ś

ci

Najprostszy sposób – u

ż

ycie przymiaru (linijki)

Gdy chcemy zmierzy

ć

promie

ń

Ziemi, odległo

ść

z

Ziemi do Marsa, promie

ń

atomu czy długo

ść

fali, takiej

metody nie mo

ż

emy zastosowa

ć

.

U

ż

ywane s

ą

metody po

ś

rednie

Jednostki podstawowe

i jednostki pochodne

Cz

ę

sto niewygodne jest u

ż

ywanie jednostek, np. rozmiar

atomu wodoru jest rz

ę

du

a

B

~1/10000000000 m.

Bardziej racjonalny zapis: a

B

~10

-10

m.

Fizycy u

ż

ywaj

ą

jednostki pochodnej - angstrema

1Å =10

-10

m.

Anders Jonas Ångström

Anders Jonas Ångström [czyt.: Ongström]
(ur. 13 sierpnia 1814 w Lögdö, zm. 21
czerwca 1874 w Uppsali) – szwedzki fizyk
i astronom, jeden z twórców spektroskopii.
W 1862 roku odkrył wodór w atmosferze
Sło

ń

ca. W 1869 opublikował pierwsz

ą

map

ę

widma słonecznego. Jego dzieło:
"Recherches sur le spectre solaire" (1869)
jest atlasem widma słonecznego. Specjaln

ą

dziedzin

ą

jego bada

ń

naukowych była

nauka o przewodnictwie cieplnym i
spektroskopia. Uwagi jego o istocie iskry
elektrycznej wybiegały w nieznan

ą

wówczas

dziedzin

ę

analizy spektralnej.

Pochodne jednostki długo

ś

ci

1 km = 10

3

m,

1 dcm= 10

-1

m,

1 cm= 10

-2

m=10

-1

dcm,

1 mm = 10

-1

cm = 10

-3

m,

1 mikrometr = 10

-6

m = 10

-4

cm,

1 nanometr = 10

-9

m = 10

-7

cm =

= 10

-6

mm = 10

-3

mikrometra

1 Å =10

-10

m = 10

-8

cm = 10

-7

mm=

=10

-4

mikrometra =10

-1

nanometra

Jednostki podstawowe i pochodne

Wielko

ś

ci fizycznych jest wiele, tylko

niektóre s

ą

niezale

ż

ne.

Przykład: pr

ę

dko

ść

jest stosunkiem

odległo

ś

ci do interwału czasu, podczas

którego została ona przebyta, a wi

ę

c jej

jednostk

ą

mo

ż

e by

ć

kilometr na godzin

ę

1 km/h.

Jednostka pr

ę

dko

ś

ci: w

ę

zeł

W

ż

egludze morskiej wprowadzono odr

ę

bn

ą

jednostk

ę

pr

ę

dko

ś

ci: w

ę

zeł (ang. knot), w skrócie w.

(ang. kn lub kt albo kts) - jednostka miary, równa
jednej mili morskiej (Mm) na godzin

ę

, stosowana do

okre

ś

lania pr

ę

dko

ś

ci morskich jednostek pływaj

ą

cych,

a tak

ż

e samolotów, helikopterów, szybowców

i balonów powietrznych, ponadto w meteorologii –
do okre

ś

lania pr

ę

dko

ś

ci wiatrów i pr

ą

dów morskich.

W

ż

egludze

ś

ródl

ą

dowej u

ż

ywa si

ę

kilometrów na

godzin

ę

.

1 w = 1 Mm/h = 1,852 km/h

Inna jednostka pr

ę

dko

ś

ci: mach

Mach (Ma), jednostka pr

ę

dko

ś

ci

równa pr

ę

dko

ś

ci rozchodzenia si

ę

d

ź

wi

ę

ku w atmosferze standardowej

na poziomie morza.
1 Ma wynosi :

1 Ma = 340 m/s = 1224 km/h.

Pocz

ą

tkowy system jednostek: cgs

Oparty był nas pomiarach długo

ś

ci („linijka”,

centymetr), masy (waga, gram) i czasu (zegar,
sekunda).

Przykład jednostki pochodnej zwi

ą

zany z sił

ą

:

siła nadaj

ą

ca masie 1 g przy

ś

pieszenie cm/s

2

1dyna =1g

×

1 cm/s

2

Gdy opanowano pomiary elektromagnetyczne
jednostk

ę

siły zacz

ę

to okre

ś

la

ć

przy pomocy zjawiska

przyci

ą

gania si

ę

albo odpychania przewodników przez

które płynie pr

ą

d elektryczny.

Mi

ę

dzynarodowy Układ

Jednostek (SI)

W 1971 r. podczas XIV Konferencji ds.

Miar i Wag ostatecznie wybrano 7

podstawowych wielko

ś

ci. Tworz

ą

one

Mi

ę

dzynarodowy Układ Jednostek SI

(franc. Système International d'Unités)

Podstawowe wielko

ś

ci fizyczne

liczno

ść

materii

mol

mol

nat

ęż

enie

ś

wiatła,

ś

wiatło

ść

cd

kandela

temperatura

K

kelwin

nat

ęż

enie pr

ą

du elektrycznego

A

amper

czas

s

sekunda

masa

kg

kilogram

długo

ść

m

metr

Wielko

ść

fizyczna

Jednostka

Nazwa

Układ SI jednostki pochodne

Jednostkami pochodnymi nazywamy wszystkie

pozostałe jednostki wielko

ś

ci fizycznych,

zarówno te posiadaj

ą

ce własne nazwy jak np.

wat (W) czy dioptria (

δ

), jak i te, które ich nie

posiadaj

ą

i s

ą

wyra

ż

ane za pomoc

ą

jednostek

podstawowych, np. przyspieszenie nie posiada

swojej nazwy jednostki i wyra

ż

ane jest za

pomoc

ą

metra i sekundy – 1 m/s

2

.

Jednostki k

ą

tów

[sr]=[m

2

/m

2

]

Miara k

ą

ta

bryłowego

sr

steradian

[rad]=[m/m]

Miara k

ą

ta

płaskiego

rad

radian

Informacje dotycz

ą

ce

jednostki

(liczby niemianowane)

Wielko

ść

fizyczna

Jednostka

Nazwa

K

ą

t płaski

Okr

ą

g o promieniu r,

łuk aa’ okr

ę

gu o długo

ś

ci

∆

s,

k

ą

t

ϕ

pod jakim obserwator

znajduj

ą

cy si

ę

w jego

ś

rodku

widzi łuk aa’

s

r

∆

ϕ =

[ ]

[ ]

[ ]

s

s

L

1

r

r

L

∆

∆





ϕ =

=

= =









Wymiar fizyczny k

ą

ta

°

∆

s

r

a

a’

O

K

ą

t bryłowy

- Sfera o promieniu r,
- element powierzchni sfery o polu S,
- K

ą

t bryłowy

Ω

pod jakim ze

ś

rodka

sfery wida

ć

ten element

2

S

.

r

Ω =

Wymiar fizyczny k

ą

ta bryłowego

[ ]

2

2

2

dS

4 r

d

1 .

r

r





π





Ω =

=

=

















Zamiana jednostek

Aby przeprowadzi

ć

zamian

ę

jednostek, w których

wyra

ż

ona jest jaka

ś

wielko

ść

fizyczna nale

ż

y pomno

ż

y

ć

wynik pomiaru przez współczynnik przeliczeniowy –
równy jedno

ś

ci stosunek wielko

ś

ci wyra

ż

ony w ró

ż

nych

jednostkach.

Przykład przelicznika:

1min

60 s

1 i

1

60 s

1min

=

=

Wyrazimy 7 minut przez sekundy:

(

)( ) (

)

60 s

7 min

7 min 1

7 min

7 60 s

420 s.

1min





=

=

= ×

=









Jednostki k

ą

ta

Radian jest to k

ą

t płaski zawarty pomi

ę

dzy

dwoma promieniami koła, wycinaj

ą

cy z jego

okr

ę

gu łuk o długo

ś

ci równej promieniowi koła.

Steradian jest k

ą

tem bryłowym o wierzchołku

w

ś

rodku kuli, wycinaj

ą

cym z jej powierzchni

cz

ęść

równ

ą

powierzchni kwadratu o boku

równym promieniowi tej kuli.

Podstawy analizy wymiarowej

T

Czas

M

Masa

L

Długo

ść

Oznaczenie

Wielko

ść

Maxwell wprowadził oznaczenie:

[A] wymiar fizyczny wielko

ś

ci fizycznej A

[ ]

M

L

T

k

k

k

A

M L T

=

k

M

, k

L

, k

T

s

ą

liczbami wymiernymi

Przykład

W – praca

W

F x cos

= ∆ = ∆

α

F x

x

∆

x

αααα

F

∆

x

F - długo

ść

wektora siły,

∆

x – długo

ść

wektora przesuni

ę

cia

[

] [ ][ ][

]

[W]

F x cos

F

x cos

= ∆

α =

∆

α

Wymiar fizyczny pracy

[ ]

[

]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ]

2

2

2

2

x

x

L

x

L, cos

1

L

m

m

m

L

F

kg

kg

kg

M

s

T

s

s

l

l

 

∆ =

γ =

=

= =

 

 





=

=

=

=





 





 

γ

l

x

cos

γ

=x/l

Obserwacja

Gdy okre

ś

lamy wymiar fizyczny stosujemy zasady

algebry

[ ] [ ][ ]

[ ]

[ ]

[ ]

k

k

A

A

AB

A B ,

; A

A

B

B

 





=

=

=





 

 

Zasady analizy wymiarowej

Porównywa

ć

mo

ż

na jedynie wielko

ś

ci fizyczne

o tym samym wymiarze

[ ] [ ]

A

B

A

B

=

⇒

=

Je

ż

eli ró

ż

ne wielko

ś

ci fizyczne maj

ą

ten sam wymiar, do

okre

ś

lenia wymiaru fizycznego mo

ż

na u

ż

y

ć

ka

ż

dej

z nich.

Przykład:

Praca W okre

ś

la zmian

ę

∆

E energii układu

→

[W]=[

∆

E ]

[ ] [ ] [ ][ ]

2

2

2

ML

ML

E

F x

F

x

L

T

T

∆ = ∆ =

∆ =

× =

[ ] [ ]

B

A

B

A

=

⇒

=

Inf-I 05.10-10

Analiza wymiarowa pozwala

okre

ś

li

ć

relacj

ę

(„wzór”) fizyczn

ą

Przykład

Pr

ę

dko

ść

fali rozchodz

ą

cej si

ę

w napi

ę

tej linie

Pr

ę

dko

ść

fali rozchodz

ą

cej si

ę

w napi

ę

tej linie

Linę charakteryzują następujące wielkości

- długość l, masa m
- gęstość masy liny

µµµµ

=m/l (masa odcinka liny o długości

jednostkowej, np. cm, m) [

µµµµ

]=[m]/[l]=M/L

- naprężenie liny

T

T

T

T

– wielkość sił działających na obydwa

końce liny (F

1

=-F

2

). [F

1

]=MLT

-2

l

F

1

F

2

Kombinacja

µµµµ

,

T

T

T

T

mająca wymiar prędkości:

v =

µ

.

/

T

[ ] [ ]

(

)

[ ]

-2

2

2

µ

MLT

M/L

L T

L/T = v .

µ





=

=

=

=





/

/

/

/

T

T

Im większe naprężenie tym większa prędkość

Zwi

ę

kszanie napi

ę

cia liny powi

ę

ksza

pr

ę

dko

ść

propagacji fali

Zwi

ę

kszanie napi

ę

cia liny powi

ę

ksza

pr

ę

dko

ść

propagacji fali

Wymiar fizyczny pochodnej

Przykład: pr

ę

dko

ść

jest pochodn

ą

wektora poło

ż

enia

y

x

( )

t

r

•

(

)

t

t

+ ∆

r

•

∆

r

( )

(

) ( )

t

0

t

t

t

t

lim

t

∆ →

+ ∆ −

=

∆

r

r

v

Dla składowych:

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

x

y

t

0

t

0

x t

t

x t

y t

t

y t

v

t

lim

; v

t

lim

t

t

∆ →

∆ →

+ ∆ −

+ ∆ −

=

=

∆

∆

Wielko

ść

o wymiarze czasu

Ró

ż

nica wielko

ś

ci o wymiarze długo

ś

ci

Wymiar fizyczny pochodnej

Wymiar fizyczny składowych wektora pr

ę

dko

ś

ci

[ ]

x

y

L

L

v

; v

T

T





=

=





Jaki wymiar ma wektor pr

ę

dko

ś

ci ?

v

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

x

y

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

t

x t

y t ;

t

v

t

v

t

=

+

=

+

r

x

y

v

x

y

( )

( )

x

x

ˆ

t

v

t

=

v

x

x

y

( )

( )

y

y

ˆ

t

v

t

=

v

y

( )

t

v

x

y

ˆy

ˆx

ˆ

ˆ

1,

1

=

=

x

y

Wymiar wektora pr

ę

dko

ś

ci

( )

( )

( )

x

y

ˆ

ˆ

t

v

t

v

t

=

+

v

x

y

Wektory jednostkowe s

ą

niemianowane:

Wskazuj

ą

one JEDYNIE kierunek ustalonych osi układu.

ˆ

ˆ

,

x

y

[ ] [ ]

ˆ

ˆ

1,

1

=

=

x

y

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

x

y

L

ˆ

ˆ

t

v

t

v

t

v

T













=

+

=

=













v

x

y

Analiza wymiarów pozwala

kontrolowa

ć

poprawno

ść

otrzymanych albo u

ż

ytych wzorów