Matematyka sem I Zbigniew Radosz Gr 14 ID
• ∀- dla każdego ∃ - istnieje
• Iloczyn kartezjański zbiorów – AxB par z których poprzednik pochodzi ze zbioru A, zaś następnik ze
zbioru B, AxB={(a,b): a
∈A ∧ b∈B};
• Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych: naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne;
• Przedziały nieograniczone i ograniczone;
• Otoczenie punktu Q(x
0
,
δ)={x∈R: x-x
0
<δ};
• Sąsiedztwo punktu S(x
0
,
δ)={x∈R: 0<x-x
0
<δ};
• Element b ograniczeniem górnym ⇔ ∀a jest a<b
• Element c ograniczeniem dolnym ⇔ ∀a jest a>c;
• Element najmniejszy, element największy;
• Kres górny supA – supremum A, kres dolny inf A – infimum A;
• Funkcje – każdemu elementowi ze zbioru x przyporządkowany jest jeden Y; Własności –
różnowartościowość, monotoniczność, parzystość f(x)=f(-x), nieparzystość –f(x)=f(-x), okresowość
f(x)=f(x+T);
• Złożenie funkcji h(x)=g(f(x))=(gof)(x);
• Funkcja odwrotna x=f
- 1
(y), przekształcenie wykresu względem y=x;
• Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych – cyklometryczne:
y=sinx
y=tgx
y=cosx
y=ctgx
x
∈
<-
π
/2,
π
/2>
x
∈
(-
π
/2;
π
/2)
x
∈
<0,
π
>
x
∈
(0,
π
)
x=arcsiny
x=arctgy
x=arccosy
x=arcctgy
• Wartości funkcji trygonometrycznych – tablice matematyczne;
• Ciągi – funkcja określona o wartościach rzeczywistych na zbiorze liczb naturalnych.
• Ciąg {a
n
} jest ograniczony (od góry, od dołu)
⇔ ∃ M>0 ∀n∈N: a
n
<M;
• Ciąg {a
n
} jest rosnący (malejący, nierosnący, niemalejący)
⇔ ∃ M>0 ∀n∈N: a
n
<a
n+1
;
• „Prawie wszystkie (...)” wyrazy ciągu 1/n są mniejsze od 1/1000;
• Granica ciągu Cauchy’ego:
ε
ε
<
−
∃
∈
∃
∀
⇔
=
>
>
∞
→
g
a
N
g
a
n
n
n
n
n
n
0
0
0
lim
• Twierdzenie 1 : Ciąg {a
n
} ma granicę g
⇔ ciąg {(a
n
-g)} ma granicę równą 0.
• Twierdzenie 2: Ciąg zbieżny {a
n
} nie może mieć dwóch różnych granic.
• Jeżeli ciąg g jest zbieżny do granicy g to każdy jego podciąg jest zbieżny do granicy g.
• Jeżeli podciągi są zbieżne do różnych granic to ciąg jest rozbieżny.
•
1
lim
1
lim
=
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
a
• Jeśli wszystkie wyrazy ciągu spełniają nierówność a
n
<A oraz granica g, to g<=A;
• Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny;
• Twierdzenie o trzech ciągach:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
b
a
b
to
g
c
a
≤
≤
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
lim
lim
lim
•
e
n
n
n
=
+
∞
→
1
1
lim
e – liczba Eulera log
e
x=lnx – logarytm naturalny;
• Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na ciągach. Strona 11.
• Ciągi geometryczne.
±∞
=
⇒
=
=
∞
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
1
lim
0
lim
0
1
lim
lim
• Punkt x
0
nazywamy punktem skupienia zbioru
ε jeśli w dowolnym otoczeniu punktu x
0
leży element
zbioru
ε różny od x
0
.
• Def: Cauchy’ego:
(
)
ε
<
−
⇒
σ
<
−
<
∀
>
σ
∃
∀
⇔
=
∈
>
ε
→
g
x
f
x
x
0
0
g
x
f
0
Df
x
0
x
x
0
)
(
)
(
lim
• Def: Heinego:
{ }
(
)
g
x
f
x
x
x
x
D
x
g
x
f
n
n
n
n
n
n
x
x
→
⇒
≠
→
⊂
∀
⇔
=
∞
→
∞
→
→
)
(
,
:
)
(
lim
0
0
0
• Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji: strona 14;
• Twierdzenie o granicy funkcji złożonej:
Jeśli
oraz
to
0
)
(
lim
0
y
x
f
x
x
=
→
G
y
g
y
y
=
→
)
(
lim
0
(
)
G
y
g
x
f
g
y
y
x
x
=
=
→
→
)
(
lim
)
(
lim
0
0
;
• Twierdzenie o trzech funkcjach: Jeżeli *
)
(
)
(
)
(
x
f
x
g
x
f
≤
≤
i istnieją
G
x
h
x
f
x
x
x
x
=
=
→
→
)
(
lim
)
(
lim
0
0
to
;
G
x
g
x
x
=
→
)
(
lim
0
• Twierdzenie:
1
x
x
0
x
=
→
sin
lim
0
x
x
x
=
∞
→
sin
lim
• Zapamiętać:
1
x
1
e
x
0
x
=
−
→
lim
a
x
1
a
x
0
x
ln
=
−
→
lim
;
• Granica niewłaściwa:
±∞
=
→
)
(
lim
x
f
0
x
x
• Def: Cauchego:
M
x
f
x
x
0
0
x
f
0
R
M
x
x
0
>
⇒
δ
<
−
<
>
δ
∃
∀
⇔
+∞
=
∈
→
)
(
:
)
(
lim
dla
M
x
f
<
⇒
∞
−
)
(
• Def: Heinego:
{ }
{
}
+∞
→
⇒
≠
→
⊂
∀
⇔
+∞
=
∞
→
→
n
0
n
0
n
n
x
x
x
f
x
x
x
x
D
x
x
f
0
)
(
,
)
(
lim
strona 16;
•
(
)
ε
<
−
⇒
>
∃
∀
⇔
=
∈
>
ε
+∞
→
g
x
f
M
x
g
x
f
R
M
0
x
)
(
)
(
lim
; strona 17
•
e
n
1
1
n
n
=
+
∞
→
lim
• Def: Prawostronnym sąsiedztwem liczby
E
x
0
∈ nazywamy zbiór
(
) {
δ
+
<
<
<
∈
=
δ
+
0
0
0
x
x
E
x
E
x
x
S
:
,
}
• Def: Cauchyego:
(
)
ε
<
−
=
δ
+
<
<
∀
∃
∀
⇔
=
∈
>
δ
>
ε
→
+
g
x
f
x
x
x
g
x
f
0
0
D
x
0
0
x
x
0
)
(
:
)
(
lim
(
)
ε
<
−
=
<
<
δ
−
∀
∃
∀
∈
>
δ
>
ε
g
x
f
x
x
x
0
0
D
x
0
0
)
(
:
⇔
=
→
−
g
x
f
x
x
0
)
(
lim
;
• Def: Heinego:
{ }
(
)
g
x
f
x
x
x
x
D
x
g
x
f
n
0
n
n
0
n
f
n
x
x
0
=
=
→
>
⊂
∀
⇔
=
+∞
→
→
+
)
(
,
:
)
(
lim
;
• Funkcje ciągłe:
• Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x
0
)
(
)
(
lim
0
x
x
x
f
x
f
0
=
⇔
→
; definicje strona 18;
• Funkcja ciągła prawo / lewostronnie. Funkcja ciągła w przedziale. Funkcja ciągła w przedziale
domkniętym. x
0
w którym funkcja nie jest ciągła nazywamy punktem nieciągłości funkcji.
• Punkt x
0
nazywamy pkt nieciągłości:
Usuwalnej jeśli: istnieje f(x
0
), granice właściwe równe sobie;
I rodzaju gdy granice istnieją, są właściwe ale różne;
II rodzaju w pozostałych przypadkach;
• Własności funkcji ciągłych:
Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i rosnącej / malejącej jest funkcją ciągłą i rosnącą / malejącą.
Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach.
• Twierdzenie o ciągłości funkcji złożonej:
Jeśli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x
0
zaś funkcja u=g(x) jest ciągła w punkcie y=f(x
0
) to funkcja
złożona u=g(f(x))=(gof)(x) jest funkcją ciągłą w punkcie x
0
.
• Twierdzenie o wprowadzaniu granicy do argumentu funkcji ciągłej:
Jeśli istnieje granica właściwa
g
x
f
0
x
x
=
→
)
(
lim
(
)
)
(
h
x
f
h
x
=
→
oraz funkcja u=h(y) jest ciągła w punkcie y
0
=g, to istnieje
granica
oraz
- przykład strona 21
(
)
(
lim
x
f
h
0
x
x
→
)
)
(
)
(
lim
lim
g
h
x
f
0
0
x
x
x
=
→
• Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku:
Jeśli funkcja y=f(x) jest ciągła w punkcie x
0
oraz f(x
0
)>x
0
[f(x
0
)<x
0
]to istnieje takie otoczenie Q tego
punktu x
0
, że
∀x
0
∈Q jest f(x)>0 [f(x)<0].
• Twierdzenie Weierstrassa – o przyjmowaniu kresów przez funkcję ciągłą w przedziale domkniętym i
ograniczonym: Jeśli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym <a,b>, to jest w tym
przedziale ograniczona oraz istnieją takie dwa punkty c
1
i c
2
∈<a,b> że f(c
1
)=inf f(x) zaś f (c
2
)=sup f(x).
• Twierdzenie Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich: Jeśli funkcja y=f(x) jest ciągła w przedziale
<a,b> oraz f(a)
≠f(b), to dla dowolnego y leżącego pomiędzy f(a) i f(b) istnieje punkt x∈(a,b), że y=f(x).
• Twierdzenie Bolzano – Cauchyego: Jeśli funkcja y=f(x) jest ciągła w przedziale <a,b> oraz iloczyn
f(a)f(b)<0 to w przedziale (a,b) istnieje taki punkt x, że f(x)=0.
• Pochodne:
• Iloraz różnicowy
h
x
f
h
x
f
x
x
x
f
x
f
y
x
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
−
+
=
−
−
=
∆
∆
;
• Jeśli istnieje i jest właściwa granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost argumentu dąży do 0, to tę
granicę nazywamy pochodną funkcji w punkcie x
0
i oznaczamy f’(x).
• Pochodna funkcji jest równy tangensowi kąta, który tworzy styczna do wykresu funkcji w punkcie x
0
;
• Pochodne jednostronne: Pochodna funkcji w punkcie istnieje ⇔ istnieją, są właściwe i równe pochodne
jednostronne.
• Twierdzenie: Jeśli funkcja ma pochodną w punkcie x
0
to jest ciągła w tym punkcie.
• Twierdzenie: Z tego że funkcja jest ciągła w punkcie nie wynika że ma pochodną w tym punkcie.
• Wzory na obliczanie pochodnych!!! Strona 25.
• Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na pochodnych!!! Strona 26.
• Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej: Jeśli funkcja x=g(y) jest ściśle monotoniczna i posiada
pochodną różną od 0, to funkcja y=f(x) odwrotna do niej posiada pochodną
)
(
'
)
(
'
y
g
1
x
f
=
;
• Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej: Jeśli funkcja y=f(x) ma pochodną f’(x) zaś funkcja u=g(y)
ma pochodną g’(y) to funkcja złożona h(x)=(gof)(x)=g(f(x)) posiada pochodną h’(x) gdzie
h’(x)=g’(f(x))f’(x);
• Pochodna logarytmiczna:
[
]
)
(
)
(
'
'
)
(
ln
x
f
x
f
x
f
=
[
]
'
)
(
ln
)
(
)
(
'
x
f
x
f
x
f
⋅
=
;
• Różniczką funkcji jednej zmiennej f(x) nazywamy iloczyn jej pochodnej przez niezerowy przyrost
zmiennej niezależnej
∆x. df(x,
∆
x)=f’(x)
∆
x.
∆x, dx – różniczka zmiennej niezależnej. Rys strona 28.
f(x
0
+
∆
x)=f(x
0
)+f’(x
0
)
∆
x.
• Druga pochodna:
[
]
(
)
[
]
I
1
n
n
n
I
dt
x
f
x
f
y
x
f
x
f
y
)
(
)
(
)
(
'
)
(
''
''
)
(
−
=
=
=
=
;
• Funkcję posiadającą w zbiorze D ciągłą pochodną do rzędu “n” włącznie nazywamy funkcją klasy C
n
z
w zbiorze D, co zapisujemy
D
n
C
x
f
∈
)
(
;
• Twierdzenie de l’Hospitala – Bernoulliego:
1. jeśli funkcje
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
x
g
x
f
i
x
g
x
f
są określone w sąsiedztwie S punktu x
0
2.
∞
−
∞
=
=
=
=
→
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
lub
)
(
lim
)
(
lim
x
g
x
f
0
x
g
x
f
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
3. istnieje granica właściwa (lub nie)
)
(
)
(
'
lim
x
g
x
f
0
x
x
→
T!!!: To istnieje granica:
)
(
'
)
(
'
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
0
0
x
x
x
x
→
→
=
(Symbole nieoznaczone:
0
0
0
1
0
0
0
∞
−∞
⋅
∞
∞
⋅
∞
∞
∞
,
,
,
,
,
,
);
• Twierdzenie Rolle’a: Jeśli funkcja f(x) jest ciągła dla x∈<a,b>, jest różniczkowalna (ma pochodną) w
przedziale (a,b), f(a)=f(b) to istnieje punkt c
∈<a,b>, taki, że f’(c)=0.
• Twierdzenie Lagrange’a: Jeśli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale <a,b>, różniczkowalna (ma
pochodną) to istnieje punkt c
∈<a,b> taki że
a
b
a
f
b
f
c
f
−
−
=
)
(
)
(
)
(
'
;
• Inne sformułowanie: )
)(
(
'
)
(
)
(
0
0
0
x
x
x
x
f
x
f
x
f
−
∆
+
=
−
Wnioski z twierdzenia L-a:
1. Jeśli f(x)=A, x
∈
<a,b>
⇔
f’(x)=0 dla x
∈
(a,b)
2. Jeśli f’(x)>0 dla każdego x
∈(a,b) to funkcja y=f(x) jest rosnąca w całym tym przedziale;
3. Jeśli f’(x)<0 dla każdego x
∈(a,b) to funkcja y=f(x) jest malejąca w całym tym przedziale;
• Maksimum i minimum lokalne:
Maksimum lokalne
Minimum lokalne
istnieje taka liczba
δ>0 że dla wszystkich
x
∈S(x
0
,
δ) jest spełniony warunek:
f(x)<f(x
0
) f(x)>f(x
0
)
Określamy je ekstremami lokalnymi i nie są
wartościami naj(większymi/mniejszymi)
badanej funkcji globalnie.
• WK: istnienia ekstremum: f(x
0
)=0 (f-a może mieć ekstrema w punktach f’(x
0
)=0 lub f’(x
0
) nie istnieje);
WW I:
Minimum Maksimum
f’(x)<0 dla x
0
-
δ
<x<x
0
f’(x)>0 dla x
0
<x<x
0
+
δ
f’(x)>0 dla x
0
-
δ
<x<x
0
f’(x)<0 dla x
0
<x<x
0
+
δ
WW II: f”(x)<0 – maksimum; f”(x)>0 – minimum;
WW III: jeśli funkcja ma w pewnym otoczeniu punktu x
0
pochodne do rzędu n włącznie, pochodna
f
(n)
(x) jest ciągła w punkcie x
0
i n jest liczbą parzystą n=2k a ponadto f
(i)
(x
0
)=0 dla i=1,2,3...(n-1) oraz
f
(n)
(x)
≠
0 to funkcja f(x)=y ma w punkcie x
0
maks. właściwe gdy f
(n)
(x)< 0 oraz minim. gdy f
(n)
(x)> 0
• Punkt w którym f’(x)=0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji;
• Twierdzenie Taylora:
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
n
0
n
1
n
0
0
1
n
2
0
0
0
0
0
x
x
n
c
f
x
x
1
n
x
f
x
x
2
x
f
x
x
1
x
f
x
f
x
f
−
⋅
+
−
⋅
−
+
+
−
⋅
+
−
⋅
=
−
−
−
!
)
(
!
)
(
...
!
)
(
''
!
)
(
'
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
n
n
1
n
0
1
n
2
0
0
0
0
h
n
c
f
h
1
n
x
f
h
2
x
f
h
1
x
f
x
f
h
x
f
⋅
+
⋅
−
+
+
⋅
+
⋅
=
−
+
−
−
!
)
(
!
)
(
...
!
)
(
''
!
)
(
'
)
(
)
(
• Definicja
Mówimy że krzywa o równaniu y=f(x) jest wypukła
w przedziale
ku dołowi
w przedziale
ku górze
Krzywa jest położona
nad pod
Styczna poprowadzoną do tej krzywej
poprowadzonej w dowolnym punkcie x
0
∈(a,b)
• WW wypukłości:
Wypukła ku dołowi y">0
∪
Wypukła ku górze y">0
∩
• Punkt przegięcia wykresu funkcji P
0
(x
0
,f(x
0
)) jest jeśli w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu
x
0
funkcja jest wypukła ku dołowi a w prawostronnym wypukła ku górze i na odwrót.
WK: f”(x
0
)=0 ; WW:
WW istnienia punktu przegięcia:
f"(x)<0 dla x
0
-
δ
<x<x
0
f”(x)>0 dla x
0
<x<x
0
+
δ
f’(x)>0 dla x
0
-
δ
<x<x
0
f’(x)<0 dla x
0
<x<x
0
+
δ
• Asymptoty:
Lewostronna Obustronna Prawostronna
x
∈(c-δ;c) (c-δ;c)∪(c;c+δ) (c;c+δ)
−∞
=
+∞
=
−
−
→
→
)
(
lim
)
(
lim
c
f
c
f
c
x
c
x
Jednocześnie
lewo i prawo-
stronną
−∞
=
+∞
=
+
+
→
→
)
(
lim
)
(
lim
c
f
c
f
c
x
c
x
• Asymptota ukośna y=ax+b
[
]
ax
x
f
b
x
x
f
a
x
x
−
=
=
±∞
→
±∞
→
)
(
lim
)
(
lim
• Badanie przebiegu zmienności funkcji:
I. Analiza wzoru funkcyjnego:
1. znajdowanie dziedziny;
2. znajdowanie granic na krańcach dziedziny;
3. wyznaczanie asymptot;
4. sprawdzenie czy funkcja ma istotne cechy (parzystość, nieparzystość, okresowość)
II. Analiza pierwszej pochodnej:
1. wyznaczenie dziedziny pierwszej pochodnej;
2. wyznaczenie punktów stacjonarnych f’(x)=0;
3. znajdowanie przedziałów gdzie f jest rosnąca / malejąca;
4. wyznaczenie ekstremów;
III. Analiza II ej pochodnej:
1. wyznaczenie dziedziny;
2. znajdowanie przedziałów wypukłości ku górze i dołowi;
3. wyznaczenie punktów przegięcia;
IV. Sporządzenie tabeli.
V. Sporządzenie wykresu.
• LICZBY ZESPOLONE
1
i
1
b
a
z
2
−
=
−
+
=
; a-Rez-rzeczywista; b-Imz-urojona;
• z
1
+z
2
=(a+bi)+(c+di) z
1
z
2
=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi
2
z
1
=z
2
⇔ a=c i b=d
bi
a
z
bi
a
z
−
=
∀
+
=
- sprzężenie zespolone
=
= z
z
2
2
2
2
b
a
bi
a
bi
a
bi
a
z
z
+
=
−
=
−
+
=
⋅
)
)(
(
i
d
c
bc
ad
d
c
bd
ac
di
c
di
c
di
c
bi
a
di
c
bi
a
2
2
2
2
+
+
+
+
−
=
−
+
−
+
=
+
+
)
)(
(
)
)(
(
• długość
z
z
z
b
a
z
2
2
=
⋅
=
+
=
2
2
2
2
b
a
b
z
b
b
a
a
z
a
+
=
=
ϕ
+
=
=
ϕ
sin
cos
(
)
)
,
sin
cos
π
∈
ϕ
ϕ
+
ϕ
=
2
0
ryczna
trygonomet
postać
z
z
;
•
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
ψ
−
ϕ
+
ψ
−
ϕ
=
ψ
+
ϕ
+
ψ
+
ϕ
=
⋅
cos
sin
cos
sin
2
1
2
1
2
1
2
1
z
z
z
z
z
z
z
z
(
)
z
yi
x
yi
x
z
N
n
n
n
z
z
n
n
n
n
=
+
+
=
∈
ϕ
+
ϕ
=
)
(
sin
cos
;
• II wzór Moivre’a:
)
,...(
,
,
sin
cos
1
n
2
1
0
k
n
k
2
i
n
k
2
z
z
n
k
−
=
π
+
ϕ
+
π
+
ϕ
=
• RACHUNEK CAŁKOWY:
• Każdą funkcję y=F(x) określoną i różniczkowalną w zbiorze I taką że F’(x)=f(x) nazywamy funkcją
pierwotną albo całką nieoznaczoną w sensie Newtona i oznaczamy.
• Tw: Dwie różne całki tych samych funkcji różnią się o stałą
• Wzory całek !!!! strona 51 (ściągi).
• Jeśli funkcja jest ciągła w zbiorze I to posiada w tym zbiorze funkcję pierwotną.
•
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
∫
=
+
=
+
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
A
x
Af
x
g
x
f
x
g
x
f
(
)
dx
x
f
dx
x
f
d
)
(
)
(
=
∫
• Całkowanie przez części:
∫
∫
⋅
−
⋅
=
⋅
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
Dowód
[
]
∫
+
=
)
(
)'
(
'
)
(
)
(
f
x
g
x
f
x
g
x
f
)
(
'
)
(
x
g
x
• Całkowanie przez podstawienie: Jeśli funkcja klasy C
1
jest ciągła w zbiorze I oraz funkcja x=
ϕ
(t) jest
ciągła w zbiorze I a ponadto przyjmuje wartości w zbiorze I to:
( )
∫
∫
ϕ
ϕ
=
dx
t
t
f
dx
x
f
)
(
'
)
(
)
(
•
c
x
f
dx
x
f
x
f
+
=
∫
)
(
ln
)
(
)
(
'
• Ułamki proste: I rodzaju
(
)
n
0
x
x
1
y
−
=
; II rodzaju
(
)
0
c
bx
ax
1
y
n
2
<
∆
+
+
=
• Całki funkcji trygonometrycznych: strona 61 (ściąga);
• Całki funkcji niewymiernych: strona 63 (ściąga);
• CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA:
<a,b>
⊂R y=f(x) – określona i ograniczona w zbiorze <a,b> ∆
n
-n-ty podział przedziału <a,b> na „n”
przedziałów dowolnie;
1. wykonujemy podział dobierając n-1 punktów podziału – k-ty podział na długość
∆
xk
=x-x
k-1
;
2. ponieważ podział dokonał się za pomocą dowolnie wybranych punktów, więc przedziały tego
podziału mają różne długości, zatem oznaczmy literą d
n
=max
∆x
i
– średnica n-tego podziału i=1...n;
3. rozważając podziały
∆n dla n∈N uzyskujemy ciąg podziałów {∆n} przedziału <a,b>;
Ciąg podziału <a,b> nazywamy normalnym jeśli
n
a
b
d
0
d
n
n
n
−
=
=
∞
→
;
lim
- normalny ciąg podz.;
4. wybieramy dowolne tzw. punkty pośrednie
ζ
k
∈
<x
k-1
,x
k
> i tworzymy
5. n-tą sumę całkową
∑
=
∆
ζ
=
∆
ζ
+
+
∆
ζ
+
∆
ζ
=
n
1
k
k
k
n
n
n
2
2
1
1
n
x
f
S
x
f
x
f
x
f
S
)
(
)
(
...
)
(
)
(
6. jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału <a,b> ciąg sum całkowych S
n
jest zbieżny
do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów pośrednich
ζ
k
to tę granicę nazywamy
całką oznaczoną funkcji f(x) w przedziale <a,b> i oznaczamy
∫
∑
=
∆
ζ
=
→
∞
→
b
a
n
1
k
k
k
0
d
n
dx
x
f
x
f
n
)
(
)
(
lim
;
• Interpretacja geometryczna
∫
{
}
≤
≤
≤
≤
=
=
b
a
x
f
y
0
b
x
a
y
x
D
I
dx
x
f
)
(
;
:
)
,
(
)
(
• Warunki całkowalności:
WK: Jeśli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale <a,b> to jest w nim ograniczona;
I WW: Jeśli f(x) jest ciągła w <a,b> to jest w nim całkowalna.
II WW: Jeśli f(x) jest w <a,b> ciągła poza skończoną ilością punktów nieciągłości I rodzaju, to funkcja
jest całkowalna w przedziale <a,b>.
• Własności całek nieoznaczonych:
1.
(
)
∫
∫
∫
∫
∫
λ
=
λ
+
=
+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Jeśli f(x) i g(x) całkowalne to f(x)g(x) jest całkowalna;
2. Jeśli całkowalna w <a,b> to całkowalna w <
α,β> takich a<α<β<b;
3. Jeśli c
∈(a,b) przedziału <a,b> to
;
∫
∫
∫
+
=
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
4.
∀
;
)
(
)
(
)
(
)
(
,
a
b
M
dx
x
f
a
b
m
M
x
f
m
jest
b
a
x
b
a
−
≤
≤
−
≤
≤
>
∈<
∫
5. Twierdzenie o wartości średniej. Jeśli ... to istnieje
ζ∈(a,b) taki że prawdziwy jest wzór:
)
(
)
(
ζ
=
−
∫
f
a
b
dx
x
f
b
a
- wartość średnia.
• I główne twierdzenie rachunku całkowego:
Jeśli funkcja jest całkowalna w przedziale <a,b> to
jest: a) ciągła w przedziale <a,b>;
dowód strona 70;
dt
x
f
x
x
a
∫
=
Φ
)
(
)
(
b) ma pochodną
Φ(x)=f(x) w każdym punkcie x, w którym f(x) jest ciągła (dowód z wartości średniej);
• II główne twierdzenie rachunku całkowego: związek między c ozn i nieozn Tw. Newtona Leibniza;
)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a
−
=
=
∫
;
• Twierdzenie:
∫
∫
−
=
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
;
• Twierdzenie o zmiennej:
(
)
∫
∫
β
α
=
ϕ
=
β
ϕ
=
α
=
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
ϕ
dt
t
f
b
a
t
b
a
x
dt
dx
x
t
x
dx
x
x
f
b
a
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
Lub obliczyć całkę nieoznaczoną i policzyć później oznaczoną.
• Punkt osobliwy gdy: x
0
=
±∞ albo x
0
jest skończone lecz funkcja jest nieograniczona w sąsiedztwie;
Jeśli funkcja jest ciągła w przedziale <a,
β>, gdzie a<β<b, b jest punktem osobliwym, to istnieją całki i
granica właściwa
lim
tę granicę nazywamy całką niewłaściwą funkcji w przedziale
<a,b). Jeśli granica ta nie istnieje to mówimy że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
∫
∫
β
→
β
=
a
b
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
Gdy dolna granica jest punktem osobliwym a<
α<b, istnieje granica i jest właściwa to:
∫
∫
∫
∫
α
∞
−
−∞
→
α
α
→
α
=
=
b
b
b
b
a
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
• Całkami niewłaściwymi są również całki, w których obydwie granice są punktami osobliwymi, lub
punkt osobliwy znajduje się wewnątrz obszaru całkowania.
• Zastosowanie geometryczne całki oznaczonej:
-
{
}
)
(
;
);
,
(
)
(
x
f
y
0
b
x
a
y
x
D
D
x
f
b
a
≤
≤
≤
≤
=
=
∫
-
(
)
∫
∫
∫
∫
=
+
−
+
=
b
x
b
a
x
x
x
a
2
2
1
1
dx
x
f
dx
x
f
x
f
dx
x
f
D
)
(
)
(
)
(
)
(
-
[
]
( )
{
}
∫
∫
∫
≤
≤
≤
≤
=
−
=
−
b
a
b
a
b
a
x
f
y
x
g
b
x
a
y
x
D
dx
x
g
x
f
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
;
;
,
)
(
)
(
)
(
)
(
Po przesunięciu o k -
(
) (
)
[
]
[
∫
∫
=
−
=
+
−
+
=
b
a
b
a
D
dx
x
g
x
f
dx
k
x
g
k
x
f
D
)
(
)
(
)
(
)
(
~
]
• Równanie parametryczne opisujące krzywą: x=x(t) y=y(t) t
∈
<
α
,
β
>
• Łuk zwykły jest to krzywa o równaniach parametrycznych, taka że różnym wartościom parametru t
odpowiadają różne punkty linii.
• Jeśli krzywa l o równaniach parametrycznych jest klasy C
1
, przy czym x’(t)
≥0 to pole obszaru
zawartego miedzy tą krzywą i osią
dt
t
x
t
y
D
)
(
'
)
(
∫
β
α
=
;
• Cykloida: x=a(t-sint) y=a(1-cost) t
∈
<0,2
π
>
;
[
]
∫
π
π
=
−
−
=
2
0
2
a
3
dt
t
t
a
t
1
a
D
)'
sin
(
)
cos
(
• “Walec”
( )
∑
∫
∑
=
=
π
=
⇒
∆
ζ
π
=
=
n
1
i
b
a
2
i
i
2
n
1
i
i
n
dx
x
f
V
x
f
V
S
)
(
• Wokół x wiruje obszar D ograniczony Ox i krzywą l dana równaniami parametrycznymi,
∫
β
α
π
=
dt
t
x
t
y
V
2
)
(
'
)
(
• Torus:
(
)
(
)
R
r
2
dx
x
r
R
dx
x
r
R
V
r
R
y
x
2
2
r
r
2
2
r
r
2
2
2
2
2
π
=
−
−
π
−
−
+
π
=
=
−
+
∫
∫
−
−
)
(
• Objętość cykloidu (I łuk):
(
) (
)
3
2
2
0
t
x
y
2
2
a
5
dt
t
1
a
t
1
a
V
2
π
=
−
⋅
−
π
=
∫
π
)
('
cos
cos
• Długość łuku: {∆
n
}- normalny ciąg podziałów przedziału <
α
,
β
> A
i
=(x(t
i
),y(t
i
)) - tworzy łamaną
A
0
(A),A
1
,...,A
n
(B) – długość łamanej jest przybliżeniem długości łuku =
∑
=
−
n
1
i
i
1
i
A
A ,
(
)
( ) ( )
(
) ( ) ( )
(
)
[
]
( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
2
i
i
2
1
i
1
i
i
i
1
i
1
i
i
1
i
i
1
i
t
y
t
x
t
y
t
x
t
y
t
x
t
y
t
x
d
A
A
d
A
A
,
,
,
,
,
,
,
+
=
=
=
−
−
−
−
−
−
Ponieważ x(t) i y(t) należą do klasy C
1
więc spełniają twierdzenie o wartości średniej dla pochodnych
[
]
[
]
[
]
[
]
i
2
i
2
i
2
i
i
2
i
i
t
y
x
t
y
t
x
∆
θ
+
θ
≈
∆
θ
+
∆
θ
)
~
(
'
)
(
'
)
~
(
'
)
(
'
Długość łamanej
[
]
[
]
∑
=
∆
θ
+
θ
n
1
i
i
2
i
2
i
t
y
x
)
~
(
'
)
(
'
. Jeśli istnieje granica i jest właściwa to jest ona
długością łuku – ta granica jest całką
[
]
[
]
∫
β
α
θ
+
θ
=
dt
y
x
l
2
i
2
i
)
~
(
'
)
(
'
.Wyrażenie podcałkowe nazywamy
różniczką łuku i oznaczamy dl
•
Długość łuku:
y=f(x) dla x
∈
<
α
,
β
>
[
]
∫
+
=
b
a
2
dx
x
f
1
l
)
(
'
;
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka Sem 2 Wykład Całki Powierzchniowe
EGZAMI~2, Egzamin matematyka sem
zakres matarialu z matematyki sem 3, PG Budownictwo, sem. 3, Matematyka
Matematyka sem II
STR1A, ATH, Matematyka, SEM 2
Matematyka sem III wyklad 1
Matematyka Sem 2 Wykład Funkcje Uwikłane
Matematyka Sem 2 Wykład Na Egzamin Obowiązuje
Matematyka 3 sem FiU
EGZAMI~3, Egzamin z matematyki sem
Matematyka sem III wyklad 1
kolokwium matematyka sem 2
Cwiczenia10-plan, Matematyka sem I, 1 sem
Twierdzenie Cauchy, Matematyka sem I wyższa
Matematyka 3 sem FiU
Matematyka sem III wyklad 2, Studia, ZiIP, SEMESTR III, Matematyka
STR2A, ATH, Matematyka, SEM 2
matma - pytania na egzamin ustny biotechnologia, Biotechnologia i, Rok I, Matematyka Sem 1, Matematy
więcej podobnych podstron