Typowe pytania:
tw. dot. rozwiązywalności ukł. równań liniowych
jak określamy kąt między prostą (podaj jej równania parametryczne) a plaszczyzną (podaj jej
rownanie ogólne)? Podaj warunki na to, aby prosta i plaszczyzna byly:
A równoległe
B prostopadle
Podaj def poch. cząstk. f(x,y) funkcji z=f(x,y) w punkcie P(x,y) wraz z interpretacją geom
def min i max
def całki podwójnej funkcji z=f(x,y) po prostokącie coś tam
Podaj dwa zastosowania geom calki podwójnej
podaj interpretację geom całki krzywoliniowej nieskierowanej
Podaj wzór postaci tryg l. zesp. "z" wyjaśniając występujące w nim symbole. jak wykonujemy
mnożenie i dzielenie liczb zesp jeśli podane są one w post tryg. podaj odpowiednie wzory
Wykłady
Wyznaczniki:
1. Istnieją tylko dla macierzy kwadratowych
2. Jest to taka liczba, że:
•
det [a ]=a
•
dla macierzy stopnia
k 1
:
det A=
∑
k=1
n
−
1
k j
a
kj
M
kj
Własności wyznaczników:
1. Przestawienie dwóch wierszy lub kolumn powoduje zmianę znaku wyznacznika na
przeciwny
2. Wyznacznik nie zmieni się jeśli do wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (inną
kolumnę) pomnożony(ą) przez stałą.
3. Pomnożenie jednego wiersza (kolumny) wyznacznika przez stałą jest równoważne z
pomnożeniem tego wyznacznika przez tę stałą
Macierz
I
[
n×n ]
=
[
1
0 ... 0
0
1 ... 0
... ... ... ...
0
0 ... 1
]
jest elementem neutralnym ze względu na mnożenie
macierzy, tzn.
∀ [
A]
n×n
jest
A
[
n×n]
∗
I
[
n×n ]
=
I
[
n×n]
∗
A
[
n×n ]
=
A
[
n× n]
;
Minor stopnia
r
macierzy
A
- wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia
r
powstałej z
macierzy
A
poprzez skreślenie
m−r
jej wierszy i
n−r
jej kolumn.
Liczbę
r
nazywamy rzędem macierzy
A
jeśli istnieje jej niezerowy minor stopnia
r
zaś
wszystkie minory stopni wyższych niż
r
są równe zero.
R A=rz A=r
Uwagi:
1. Macierz zerowa
A=[0]
ma rząd 0.
A=
[
0 0 ... 0
0 0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 0
]
2. Rząd macierzy jednowierszowej lub jednokolumnowej o co najmniej jednym
elemencie różnym od zera jest równy 1.
3. Rząd macierzy
A
i rząd macierzy
A
T
są równe
rz A=rz A
T
4.
rz A
[
m ×n]
=
min m , n
Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, gdy wykonamy jedną z operacji na wierszach lub kolumnach:
1. przestawienie dwóch wierszy (kolumn)
//niezerowy minor co najwyżej zmieni znak ale na pewno pozostanie niezerowy
2. dowolny wiersz (kolumnę) pomnożymy przez dowolną liczbę różną od zera
//niezerowy minor zostanie pomnożony przez tę liczbę ale na pewno pozostanie niezerowy
3. do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez
dowolną stałą
//niezerowy minor pozostanie niezerowy
Element kierunkowy – pierwszy niezerowy element w dowolnym niezerowym wierszu macierzy
Rodzaje macierzy:
•
diagonalna
A
[
m×n]
=
[
1
0 ... 0
0
1 ... 0
... ... ... ...
0
0 ... 1
]
•
osobliwa
det A=0
•
odwrotna
Jeśli macierz
A
jest nieosobliwa, tzn.
∃
A
−
1
(odwrotna do macierzy
A
), że
A
[
n×n]
∗
A
[
n×n ]
−
1
=
A
[
n×n ]
−
1
∗
A
[
n×n]
=
I
[
n×n ]
•
zerowa
A=
[
0 0 ... 0
0 0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 0
]
•
trójkątna
A=
[
a
1
x
21
... x
m1
0
a
2
... x
m2
...
... ...
...
0
0
...
a
n
]
pierwsza niezerowa kolumna zawiera element kierunkowy I wiersza
każdy następny wiersz ma element kierunkowy w kolumnie dalszej niż poprzedni
wiersze zerowe stoją poniżej wierszy niezerowych
Równanie postaci
a
1
x
1
a
2
x
2
...a
n
x
n
=
b
1
nazywamy równaniem liniowym n
zmiennych, gdzie:
•
a
1,
a
2,
... , a
n
współczynniki przy niewiadomych
x
1,
x
2,
... , x
n
•
b
wyraz wolny
Rozwiązanie równania
1
– uporządkowany układ (ciąg) liczb
˚
x
1,
˚
x
2,
... , ˚x
n
spełniających
równanie
1
.
Rozwiązać równanie – znaleźć wszystkie jego rozwiązania /czyli wszystkie ciągi
n
-elementowe
˚
x
1,
˚
x
2,
... , ˚x
n
Rodzaje równań liniowych:
•
(nie)jednorodne
b=0
(
b≠0
)
Układ
m
równań liniowych o
n
niewiadomych ma postać:
{
a
11
x
1
a
12
x
2
...a
1n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
a
22
x
2
...a
2n
x
n
=
b
2
...
a
m1
x
1
a
m2
x
2
...a
mn
x
n
=
b
m
}
2
Rodzaje układów równań liniowych:
•
(nie)jednorodny wszystkie
b
1
=
b
2
=
...=b
n
=
0
(
∃
b
i
≠
0
,
i=1, 2, ... , m
)
Macierz postaci:
A=
[
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
...
...
...
...
a
m1
a
m2
... a
mn
]
nazywamy macierzą współczynników układu
2
.
Macierz postaci:
[
A , b]=
[
a
11
a
12
... a
1n
b
1
a
21
a
22
... a
2n
b
2
...
...
...
...
...
a
m1
a
m2
... a
mn
b
m
]
nazywamy macierzą uzupełnioną.
Jednokolumnową macierz
B=
[
b
1
b
2
...
b
m
]
nazywamy kolumną wyrazów wolnych.
Jednokolumnową macierz
X =
[
x
1
x
2
...
x
m
]
nazywamy kolumną niewiadomych.
Wtedy układ
2
możemy zapisać jako
A⋅X =B
Rozwiązanie układu równań
2
– uporządkowany układ (ciąg) liczb
˚
x
1,
˚
x
2,
... , ˚x
n
spełniających układ równań
2
.
Rozwiązać układ równań
2
– znaleźć wszystkie jego rozwiązania /czyli wszystkie ciągi
n
-
elementowe
˚
x
1,
˚
x
2,
... , ˚x
n
Przestrzeń
n−wymiarowa
w
ℝ
n
- zbiór wszystkich uporządkowanych układów
n
liczb
rzeczywistych
n1
.
Układy
x
1,
x
2,
... , x
n
nazywamy punktami przestrzeni
ℝ
n
, a liczby
x
1,
x
2,
... , x
n
-
współrzędnymi prostokątnymi tych punktów.
d
AB
=
a
1
b
1
2
a
2
−
b
2
2
...a
n
−
b
n
2
- odległość dwóch punktów A
a
1,
a
2,
... , a
n
i B
b
1,
b
2,
... , b
n
w przestrzeni
ℝ
n
Otoczenie
Q P
0
; r
punktu
P
0
a
1,
a
2,
... , a
n
o promieniu
r
to zbiór wszystkich punktów
P x
1,
x
2,
... , x
n
, dla których
d
P
0
P
r
Sąsiedztwo
S P
0
; r
punktu
P
0
a
1,
a
2,
... , a
n
o promieniu
r
to zbiór wszystkich punktów
P x
1,
x
2,
... , x
n
, dla których
0d
P
0
P
r
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka 1semestr, Politechnika Lubelska, Studia, sem I - II, materialy na studia
Egzamin II termin Matematyka sem 3
algebra analiza, INŻYNIERIA ŚRODOWISKA ZUT, sem II, matematyka
Matematyka egzamin 2006 Zaoczne sem II
Sem II Transport, Podstawy Informatyki Wykład XXI Object Pascal Komponenty
podstawy zarz dzania, Sem I+II
test na inteligencję emocjonalną, OŚ, sem II 1 SOWiG, Negocjacje, testy
Caki pojedyncze, WIP, Sem.II, MATE2
refstadniny2, sem II
CO POWINNO ZAWIERAC SPRAWOZDANIE wytyczne, sem II, pod teorii okrętw, lab
bablowica, sem II
lekarski ii rok ii sem, II rok, II rok CM UMK, Giełdy, 2 rok, inne
EMULSJEs, Postaci leku sem. I i II
społeczna odpowiedzialnosc przedsiebiorstw, Zarządzanie, Sem II, PODSTAWY ZARZĄDZANIA
techniki sterowania przebiegiem, OŚ, sem II 1 SOWiG, Negocjacje
rozr·d- budowa uk-adu rozrodczego, sem II
Praca semestralna toksykologia sem II
więcej podobnych podstron