I. CAŁKA OZNACZONA 1. Definicja całki oznaczonej. Jeśli dla każdego normalnego ciągu Δn podziałów [a,b] istnieje granica skończona ciągu sum całkowych σn niezależna od wyboru punktów pośrednich ci to nazywamy ją całką oznaczoną funkcji f na przedziale [a,b] i oznaczamy: krótko: Jeżeli istnieje całka * to funkcja f jest całkowalna w [a,b] w sensie Riemanna: 2. Które funkcje są całkowalne. - Każda funkcja ciągła jest całkowalna, - Jeżeli zbiór punktów nieciągłości funkcji f jest skończony lub przeliczalny, to funkcja f Zbiór jest przeliczalny jeżeli można jego elementy ustawić w ciąg (skończony lub nieskończony).	3. Własności funkcji całkowalnych. - Jeżeli to |f| , f^2 są również całkowalne - Jeżeli funkcja f całkowalna, to : - Jeżeli f,g całkowalne, to również f•g całkowalne, - jeżeli f całkowalna w przedziale [a,b] to jest również całkowalna w dowolnym przedziale [c,d] ⊂ [a,b] . Ponadto dla każdego c ∈ (a,b): - jeżeli funkcja całkowalna w [a,b] to ograniczona w [a,b]. 4. Przykład funkcji nie całkowalnej. Δn : a = xo< x1< ...<xn = b dla wymiernych punktów pośrednich:	Bierzemy niewymierne punkty pośrednie ci: zatem a - b ≠ b - a granica ciągu sum całkowych zależy od ci. 5. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. f : [a,b] → R jest ciągła i nieujemna. 6. Związek całki oznaczonej i nieoznaczonej. Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale [a,b] tj. F`(x) = f(x), to : F(b) - F(a) nie zależy od stałej całk. C. str. prawa F(x)|^ba	7. Funkcja górnej granicy całkowania (tw. podst r. całk). Niech . Funkcja górnej granicy całkowania: Jeżeli f jest całkowalna to funkcja górn. gran. całkow. F jest ciągła i ma pochodne w każdym punkcie x ∈ [a,b] w którym funkcja f jest ciągła. Ponadto w każdym punkcie przedziału zachodzi związek F`(x) = f(x). 8. Obliczanie całki oznaczonej. - podstawienie pkt. 9 - części pkt.24	10. Średnia całkowa funkcji f. - jeżeli f całkowalna oraz : to: lub * : Wielkość naz. średnią całkową funkcji f w przedziale [a,b]. - Tw. o wartości średniej dla całek: Jeżeli f : [a,b] →R jest ciągła, to istnieje takie c ∈ [a,b] że: 11. Zastosowania całki oznaczonej. - do obliczania pól powierzchni fig. płaskich: D = {(x,y) : a ≤ x ≤ b i f(x) ≤ y ≤ g(x)} jeżeli funkcje f i g są ciągłe w [a,b] oraz dla każdego x ∈ [a,b] f(x) ≤ g(x) to D nazywa się obszarem normalnym względem osi x. Pole obszaru D wynosi	- objętość i pole bryły obrotowej, f : [a,b] →R ciągła nieujemna pole przez obrót y = f(x): ponadto gdy f w [a,b] ma ciągłą pochodną, to pole pow. bocznej:
12. Łuk zwykły i jego długość. Łukiem zwykłym nazywamy linię daną równaniem parametry-cznym x = x(t) y = y(t) α ≤ t ≤ β jeżeli funkcja w [α,β] jest ciągła i nie ma samoprzecięć (różnowartościowa). Łuk dzielę punktami Ai = (x(ti),y(ti)) i =0,1,...,n podział łuku: Δxi = x(ti) - x(ti-1) Δyi = y(ti) - y(ti-1) i =0,1,...,n Długość odcinka Ai Ai-1 wynosi : Długość łączącej punkty podziału Ai : Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [α,β] Δn : α =to ≤ t1 ≤....≤ tn = β odpowiedni ciąg {ln} dług. łamanych wpisanych w łuk AB zmierza dz tej samej skończonej granicy l, to granicę tą (L) nazywamy długością łuku AB, a łuk prostowalnym (można zmierzyć jego długość).	13. Łuk gładki. Długość łuku gładkiego. Łuk x = x(t) y = y (t) α ≤ t ≤ β nazywamy łukiem gładkim jeśli jest łukiem zwykłym oraz funkcje x(t) y(t) mają w przedziale [α,β] ciągłe pochodne. Ponadto x^2+ y^2 > 0 dla każdego t∈[α,β]. Jeżeli łuk jest gładki, to jest prostowalny, a jego długość wynosi: 14. Całki niewłaściwe funkcji nieograniczonych. Założenia: f : (a,b]→R , f jest nieograniczona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu a, oraz istnieją całki |^ac f(x)dx dla każdego c∈(a,b).Określenie całki: f : [a,b)→R , f jest nieograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu b, oraz istnieją całki |^ca f(x)dx dla każdego c∈(a,b).Określenie całki:	f : [a,b]→R , f jest nieograniczona w sąsiedztwie punktu c c∈(a,b). Zakładam, że całki są zbieżne . Określenie całki: 15. Całki niewłaściwe w przedziałach nieskończonych. Zakładam: f : [a,b]→R , f jest całkowalna w każdym przedziale [a,b], gdzie: a < b. Jeżeli istnieje granica skończona : to nazywamy ją całką od a do +nieskończoność funkcji f: Jeżeli ta granica jest skończona to całka jest zbieżna, jeżeli nie to rozbieżna. Całkę od „-nieskończoność” do „b” gdy f: R→R jest całkowalna w każdym przedziale [a,b], i obie z prawej zbieżne,to:	19. Własność średniej całkowej dla f ograniczonej i całkowalnej.

---