3
SZEREG POTĘGOWY 3.
1. Określić promień zbieżności oraz przedział zbieżności szeregów potęgowych.
(a)
n
n
x
n
1
2
1
(b)
n
n
n
x
n
1
1
3
(c)
n
n
x
n
1
!
(d)
n
n
x
n
n
1
)!
2
(
!
(e)
n
n
n
n
x
n
1
2
!
(f)
n
n
n
x
2
1
)
2
(
(g)
n
n
x
n
n
2
2
1
(h)
n
n
x
n
)
1
(
1
2
1
(i)
n
n
x
n
)
1
3
(
1
2
1
(j)
n
n
x
n
)
2
(
1
(k)
1
1
)
1
2
(
)
3
(
n
n
n
n
x
(l)
1
3
)
3
4
(
8
n
n
n
x
n
(m)
n
n
n
n
x
n
n
5
5
2
3
2
1
1
3
2. Korzystając z własności szeregu geometrycznego lub ze znanych rozwinięć w szereg
potęgowy pewnych funkcji, znaleźć rozwinięcia w szereg Maclaurina dla funkcji:
(a)
2
x
e
(b)
x
e
(c)
x
cosh
(d)
x
2
cos
(e)
x
arctg3
(f)
3
5
x
x
(g)
)
1
ln(
3
2
x
(h)
x
x cos
sin
3. Określić rozwinięcie w szereg Taylora dla funkcji:
(a)
x
x
f
1
1
)
(
,
4
0
x
(b)
x
x
f
1
)
(
,
2
0
x
(c)
x
e
x
f
)
(
,
3
0
x
Odpowiedzi.
1. (a)
1
R
,
)
1
,
1
x
(b)
3
1
R
,
)
,
3
1
3
1
x
(c)
0
R
,
0
x
(d) (e) R
,
)
,
(
x
(f)
2
1
R
,
)
,
(
2
1
2
1
x
(g)
2
R
,
)
2
,
2
(
x
(h)
1
R
,
2
,
0
x
(i)
3
2
R
,
)
,
1
(
3
1
x
(j)
1
R
,
)
3
,
1
(
x
(k)
1
R
,
2
,
4
x
(l)
2
R
,
)
2
,
2
x
(m)
8
5
R
,
)
,
(
8
5
8
5
x
2. (a)
n
x
n
n
2
0
!
1
, R
(b)
n
n
x
n
n
0
!
1
)
1
(
, R
(c)
n
x
n
n
2
0
)!
2
(
1
, R
(d)
n
n
x
n
n
n
2
2
1
0
1
2
)!
2
(
2
)
1
(
, R
(e)
1
2
0
1
2
1
2
3
)
1
(
n
n
x
n
n
n
,
3
1
R
(f)
1
0
1
3
1
)
5
(
n
x
n
n
,
3
R
(g)
1
0
1
)
(
3
2
1
1
n
n
n
x
n
,
2
3
R
(h)
1
2
0
2
)!
1
2
(
2
)
1
(
n
n
x
n
n
n
, R
3. (a)
n
n
x
n
n
)
4
(
3
0
1
1
)
1
(
1
,
3
R
(b)
n
x
n
n
)
2
(
2
0
1
1
)
1
(
,
2
R
(c)
n
x
e
n
n
)
3
(
0
!
1
3
, R