3

SZEREG POTĘGOWY.

1. Określić promień zbieżności oraz przedział zbieżności szeregów potęgowych.

(a)

n

n

x

n

1

2

1

(b)

n

n

n

x

n

1

1

3

(c)

n

n

x

n

1

!

(d)

n

n

x

n

n

1

)!

2

(

!

(e)

n

n

n

n

x

n

1

2

!

(f)

n

n

n

x

2

1

)

2

(

(g)

n

n

x

n

n

2

2

1

(h)

n

n

x

n

)

1

(

1

2

1

(i)

n

n

x

n

)

1

3

(

1

2

1

(j)

n

n

x

n

)

2

(

1

(k)

1

1

)

1

2

(

)

3

(

n

n

n

n

x

(l)

1

3

)

3

4

(

8

n

n

n

x

n

(m)

n

n

n

n

x

n

n

5

5

2

3

2

1

1

3

2. Korzystając z własności szeregu geometrycznego lub ze znanych rozwinięć w szereg
potęgowy pewnych funkcji, znaleźć rozwinięcia w szereg Maclaurina dla funkcji:

(a)

2

x

e

(b)

x

e

(c)

x

cosh

(d)

x

2

cos

(e)

x

arctg3

(f)

3

5

x

x

(g)

)

1

ln(

3

2

x

(h)

x

x cos

sin

3. Określić rozwinięcie w szereg Taylora dla funkcji:

(a)

x

x

f

1

1

)

(

,

4

0

x

(b)

x

x

f

1

)

(

,

2

0

x

(c)

x

e

x

f

)

(

,

3

0

x

Odpowiedzi.

1. (a)

1

R

,

)

1

,

1

x

(b)

3

1

R

,

)

,

3

1

3

1

x

(c)

0

R

,

0

x

(d) (e) R

,

)

,

(

x

(f)

2

1

R

,

)

,

(

2

1

2

1

x

(g)

2

R

,

)

2

,

2

(

x

(h)

1

R

,

2

,

0

x

(i)

3

2

R

,

)

,

1

3

1

x

(j)

1

R

,

)

3

,

1

(

x

(k)

1

R

,

)

1

,

4

(

x

(l)

2

R

,

)

2

,

2

(

x

(m)

8

5

R

,

)

,

(

8

5

8

5

x

2. (a)

n

x

n

n

0

!

1

, R

(b)

n

n

x

n

n

0

!

1

)

1

(

, R

(c)

n

x

n

n

2

0

)!

2

(

1

, R

(d)

n

n

x

n

n

n

2

2

1

0

1

2

)!

2

(

2

)

1

(

, R

(e)

1

2

0

1

2

1

2

3

)

1

(

n

n

x

n

n

n

,

3

1

R

(f)

1

0

1

3

1

)

5

(

n

x

n

n

,

3

R

(g)

1

0

1

)

(

3

2

1

1

n

n

n

x

n

,

2

3

R

(h)

1

2

0

2

)!

1

2

(

2

)

1

(

n

n

x

n

n

n

, R

3. (a)

n

n

x

n

n

)

4

(

3

0

1

1

)

1

(

1

,

3

R

(b)

n

x

n

n

)

2

(

2

0

1

1

)

1

(

,

2

R

(c)

n

x

e

n

n

)

3

(

0

!

1

3

, R