1

Tw. Gaussa- Markowa i własności MNK

t

kt

k

t

1

1

0

t

x

...

x

y

ε

Xα

y

Założenia KMNK:

1. zmienne objaśniające są nielosowe o ustalonych wartościach (lub losowe i nieskorelowane ze

składnikiem losowym modelu)

2. rz(X)=k+1
3.

0

)

(

E

t

4.

0

)

,

cov(

s

t

,

const

)

var(

2

t

I

εε

2

T

2

)

(

D

5.

)

,

0

(

N

:

2

t

Metoda najmniejszych kwadratów:

Xa

yˆ

y

y

e

ˆ

n

1

t

2

t

T

min

e

e

e

y

X

X)

(X

a

T

1

T

1

2

2

(

)

(

D

X)

X

a

T

α

a)

(

E

Estymator KMNK jest:

- zgodny
- nieobciążony
- najefektywniejszy w klasie estymatorów liniowych nieobciążonych (BLUE)

Własności algebraiczne (dla modelu z wyrazem wolnym):

n

1

t

t

0

e

0

e

X

T

0

ˆ

T

e

y

y

X

a

y

y

T

T

T

ˆ

ˆ

Współczynnik determinacji

Współczynnik determinacji zwykły (scentrowany)

2

T

T

T

T

2

T

T

n

1

t

2

t

n

1

t

2

t

t

n

1

t

2

t

n

1

t

2

t

2

)

y

(

n

y

y

y

X

a

y

y

1

)

y

(

n

y

y

e

e

1

)

y

y

(

)

yˆ

y

(

1

)

y

y

(

)

y

yˆ

(

R

0

1

0

2

R

R

R

R

T

Skorygowany współczynnik determinacji

)

R

1

(

)

1

k

(

n

k

R

R

2

2

2

,

Niescentrowany współczynnik determinacji

y

y

e

e

T

T

N

R

1

2

2

Średnie błędy oszacowań parametrów

1

2

2

(

)

(

D

X)

X

a

T

)

1

k

(

n

e

e

)

1

k

(

n

)

yˆ

y

(

S

T

n

1

t

2

t

t

2

nieobciążony estymator

2

1

2

2

(

S

)

(

D

ˆ

X)

X

a

T

,

Istotność zmiennych objaśniających

a. badanie istotności pojedynczej zmiennej objaśniającej – test t-Studenta
H

0

:

0

j

H

1

:

0

j

Przy założeniu normalności rozkładu składnika losowego statystyka

j

a

j

S

a

t

ma rozkład t-Studenta z n-(k+1) stopniami swobody.

b. badanie istotności zestawu zmiennych objaśniających – test F
H

0

:

0

...

k

2

1

H

1

: przynajmniej jedna zmienna objaśniająca jest istotna

Jeżeli składnik losowy ma rozkład normalny, to statystyka

)

1

k

n

/(

)

R

1

(

k

/

R

F

2

2

ma rozkład F-Snedecora z r

1

=k oraz r

2

=n-(k+1) stopniami swobody.

Czynnik inflacji wariancji (CIW)

(VIF - Variance Inflation Factor) :

2

1

1

j

j

R

CIW

Przy braku współliniowości zmiennych

0

2

j

R

, CIW

j

=1.

Autokorelacja składnika losowego

Schemat autokorelacyjny pierwszego rzędu AR(1).

t

1

t

t

,

gdzie

,

0

)

(

E

t

I

ηη

2
0

T

2

)

(

D

Testowanie autokorelacji pierwszego rzędu – test Durbina-Watsona
Procedura testu:

1. Szacujemy współczynnik autokorelacji na podstawie próby

n

2

t

2

1

t

n

2

t

2

t

n

2

t

1

t

t

e

e

e

e

ˆ

2. Przy hipotezie zerowej H

0

:

0

stawiamy hipotezę alternatywną

H

1

:

0 , jeżeli

0

ˆ

(autokorelacja dodatnia)

lub

H

1

:

0

, jeżeli

0

ˆ

(autokorelacja ujemna)

3

3. Obliczamy wartość statystyki

n

1

t

2

t

n

2

t

2

1

t

t

e

)

e

e

(

d

4. Podejmujemy decyzję:
H

1

:

0

decyzja

H

1

:

0

l

d

d

H

0

odrzucamy

l

d

4

d

u

d

d

nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej

u

d

4

d

Uwaga: Dla dużej liczby obserwacji n można zauważyć, że

)

ˆ

1

(

2

d

.

Błąd prognozy:

P

P

y

y

e

Prognoza punktowa

a

x

T

P

ˆ

y

xˆ

- wektor przewidywanych wartości zmiennych objaśniających

0

)

e

(

E

P

(predykcja nieobciążona)

)

)

(

1

(

)

e

(

D

1

T

T

2

P

2

x

X

X

x

Średni błąd prognozy ex ante

)

)

(

1

(

S

)

(

D

ˆ

S

S

1

T

T

2

2

T

2

P

x

X

X

x

x

a

x

Średni względny błąd prognozy ex ante

%

100

y

S

v

P

P

Prognoza przedziałowa

Jeżeli składnik losowy modelu ma rozkład normalny, to zmienna losowa

P

P

S

e

u

ma rozkład t-Studenta z n-(k+1) stopniami swobody

Przedział ufności dla zmiennej prognozowanej (przedział wiarygodności)

1

)

t

u

(

P

*

*

P

P

*

P

P

t

S

y

y

t

S

y

Miary dokładności prognoz ex post

 błąd średni

ME=

)

y

y

(

P

m

1

m

1

 średni błąd absolutny

MAE=

|

y

y

|

P

m

1

m

1

4

 błąd średniokwadratowy

MSE=

2

P

m

1

m

1

)

y

y

(

RMSE=

MSE

 Współczynnik rozbieżności

m

P

m

m

m

m

P

m

y

y

y

y

U

1

2

1

1

2

1

1

2

1

 Współczynnik Theila

m

1

2

m

1

2

P

y

)

y

y

(

I