Podstawy automatyki i regulacji automatycznej

Dynamika układów liniowych

Trzy rodzaje elementów podstawowych

- elementy rozpraszaj ce energi

- elementy magazynuj ce energi w postaci kinetyczne

- elementy magazynuj ce energi w postaci potencjalnej

Własno ci dynamiczne układów najogólniej ujmuje równanie Lagrange’a:

n

n

s

n

p

n

k

n

k

f

x

P

x

E

x

E

x

E

dt

d

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

∂

∂

•

•

2

1

x

n

– współrz dna uogólniona

f

n

– pobudzenie zwi zane ze współrz dn uogólnion x

n

E

k

– energia kinetyczna

E

p

– energia potencjalna

P

s

– moc strat

Wyra enia opisuj ce moc strat, energi kinetyczn i potencjaln dla układów o

ró nej naturze fizycznej

Układy

Układy mech.

Układy mech.

Układy

elektryczne

o ruchu post.

o ruchu obr.

pn. i hyd.

Moc

P

s

= i

2

R

P

s

= v

2

R

m

P

s

=

2

R

r

P

s

= i

p

2

R

p

strat

Energia

kinet.

Energia

potenc.

C

q

E

p

2

2

=

m

p

C

x

E

2

2

=

r

p

C

E

2

2

α

=

p

p

C

V

E

2

2

=

2

2

Li

E

k

=

2

2

mv

E

k

=

2

2

ϖ

r

k

M

E

=

2

2

p

p

k

i

m

E

=

2

2

Cu

E

p

=

2

2

f

C

E

m

p

=

2

2

r

r

p

f

C

E

=

2

2

p

C

E

p

p

=

Opis układu dynamicznego za pomoc transmitancji

operatorowej

Dany jest

jednowymiarowy układ o schemacie blokowym:

Dla obiektu liniowego, stacjonarnego, który mo na opisa równaniem

ró niczkowym postaci:

)

(

...

)

(

)

(

...

)

(

0

0

t

u

b

dt

t

u

d

b

t

y

a

dt

t

y

d

a

m

m

m

n

n

n

+

+

=

+

+

i przy zało eniu zerowych wszystkich warunków pocz tkowych, mo na napisa

transformat Laplace’a postaci:

a

n

s

n

Y(s)+...+a

o

Y(s) = b

n

s

n

U(s)+...+b

o

U(s)

gdzie:

∞

−

=

0

)

(

)

(

dt

e

t

y

s

Y

st

∞

−

=

0

)

(

)

(

dt

e

t

u

s

U

st

Transmitancja operatorowa:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

s

M

s

L

s

a

s

b

S

U

s

Y

s

G

n

i

i

i

m

j

j

j

=

=

=

=

=

Pierwiastki równania L(s) = 0 –

zera transmitancji operatorowej

Pierwiastki równania M(s) = 0 –

bieguny transmitancji operatorowej

Charakterystyki czasowe

Charakterystyja skokowa i impulsowa elementu ró niczkuj cego

rzeczywistego.

Transmitancja widmowa.

Dany jest

jednowymiarowy układ liniowy o schemacie blokowym:

Wymuszeniem jest sygnał sinusoidalny u(t) = Usin( t)

Odpowiedzi (ustalon ) jest równie sygnał sinusoidalny y(t) = Ysin( t+ )

Transmitancja widmowa G(j ):

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

j

U

j

Y

j

G

=

G(j ) = P( ) + jQ( )

P( ) = Re[G(j )]

Q( ) = Im[G(j )]

)

(

)

(

ctg(

)

(

)

(

ω

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

P

Q

ar

e

j

G

j

G

j

=

=

Charakterystyki cz stotliwo ciowe

Charakterystyka amplitudowo-fazowa.

Charakterystyki amplitudowa i fazowa

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa.

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowo-fazowa.

Podstawowe człony dynamiczne – charakterystyki

Proporcjonalny, bezinercyjny

y(t) = ku(t)

G(s) = k

Inercyjny pierwszego rz du

ku

y

dt

dy

T

=

+

1

)

(

+

=

sT

k

s

G

Inercyjny drugiego rz du, Oscylacyjny

ku

y

dt

dy

T

dt

y

d

T

=

+

+

ξ

2

2

2

2

1

2

)

(

2

2

+

+

=

Ts

s

T

k

s

G

ξ

Ró niczkuj cy idealny i rzeczywisty

dt

du

T

y

dt

dy

k

T

d

d

d

=

+

1

)

(

+

=

s

k

T

s

T

s

G

d

d

d

T

d

- czas ró niczkowania

k

d

- wzmocnienie dla du ych

cz stotliwo ci

Całkuj cy

ku

dt

dy =

s

k

s

G

v

=

)

(

Opó niaj cy

)

(

)

(

0

T

t

ku

t

y

−

=

0

)

(

sT

ke

s

G

−

=

Układy regulacji automatycznej

Schemat blokowy układu regulacji automatycznej

Gr(s)

Go(s)

u(t)

y(t)

x(t)

e(t)

z

1

(t)

z

r

(t)

z

2

(t)

-

Przykład - schemat ideowy URA poziomu cieczy w zbiorniku.

G

r

(s)

G

ob

(s)

Schemat obliczeniowy z zakłóceniami na wej ciu obiektu

Równanie operatorowe układu

=

=

Z(S)

s

X

s

S

Z

s

X

s

G

s

G

s

G

s

G

s

Y

s

E

yz

ez

e

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

G

+

−

+

+

+

=

)

(

1

)

(

)

(

1

)

(

)

(

1

)

(

)

(

1

1

)

(

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

o

ob

o

o

o

ob

o

G

Schemat obliczeniowy z zakłóceniami na wyj ciu obiektu

+

−

+

+

+

=

)

(

1

1

)

(

1

)

(

)

(

1

1

)

(

1

1

)

(

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

o

o

o

o

o

G

-

Gr(s)

Go(s)

u(t)

y(t)

x(t)

e(t)

z(t)

-

-

Gr(s)

Go(s)

u(t)

y(t)

x(t)

e(t)

-

z(t)

Schemat rzeczywistego układu regulacji automatycznej

Przebiegi przej ciowe uchybu w czasie wywołane wymuszeniem

skokowym

Zwi zek rozmieszczenia biegunów zespolonych z chrakt. skokow

Kształt odpowiedzi układu g(t) na wymuszenie impulsowe przy

ró nych poło eniach biegunów.

Regulatory

Regulator proporcjonalny - P

u(t) = k

p

*e(t)

G(s) = k

p

u(t) = k

p

1(t)

Regulator całkuj cy - I

=

t

i

d

e

T

t

u

0

)

(

1

)

(

τ

τ

i

sT

1

G(s)

=

)

(

1

1

)

(

t

t

T

t

u

i

=

Regulator proporcjonalno-całkuj cy - PI

+

=

t

i

p

d

e

T

t

e

k

t

u

0

)

(

1

)

(

)

(

τ

τ

+

=

i

sT

1

1

G(s)

p

k

)

(

1

1

1

)

(

t

t

T

k

t

u

i

p

+

=

Regulator ró niczkuj cy idealny - D

)

(

)

(

t

e

dt

d

T

t

u

d

=

d

sT

s

G

=

)

(

)

(

1

)

(

)

(

t

t

T

t

u

d

δ

=

Regulator ró niczkuj cy rzeczywisty - D

)

(

)

(

)

(

t

e

dt

d

T

t

u

t

u

dt

d

T

d

=

+

1

)

(

+

=

sT

sT

s

G

d

t

T

d

e

T

T

t

u

1

)

(

−

=

Regulator proporcjonalno-ró niczkuj cy - PD

+

=

)

(

)

(

)

(

t

e

dt

d

T

t

e

k

t

u

d

p

(

)

d

p

sT

k

s

G

+

=

1

)

(

(

)

)

(

1

)

(

1

)

(

t

t

T

k

t

u

d

p

δ

+

=

Regulator proporcjonalno-ró niczkuj co-całkuj cy - PID

+

+

=

t

d

p

d

e

t

e

dt

d

T

t

e

k

t

u

0

)

(

)

(

)

(

)

(

τ

τ

+

+

=

i

d

p

sT

sT

k

s

G

1

1

)

(

)

(

1

)

(

1

)

(

t

t

T

T

t

k

t

u

d

i

p

+

+

=

δ

Rodzaje korekcji

Realizacje regulatorów bezpo redniego działania

Statyczny regulator ci nienia

1 trzpie

2 spr yna

3 membrana

4 grzybek zaworu

Astatyczny regulator ci nienia

Regulator temperatury