L

ABORATORIUM FIZYCZNE

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

ĆWICZENIE

12

Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu

właściwego metali

Ćwiczenie 12

2

ĆWICZENIE

12

Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali

Małgorzata Duraj

1. Wprowadzenie

Opór elektryczny (rezystancja), oznaczany najczęściej literą R, jest podstawowym parametrem

makroskopowym substancji przewodzących prąd elektryczny. Definiujemy go jako stosunek przyło-
żonego napięcia U do natężenia prądu I, który popłynie pod wpływem tego napięcia.

(1)

Wielkość ta, wyrażana w omach [Ω]=V/A, jest szczególnie przydatna, kiedy nie zależy ani od na-

pięcia, ani od natężenia prądu (R= const), co ma miejsce dla szerokiej klasy substancji, w szczególno-
ści dla metali. Mówimy, że materiały te spełniają

prawo Ohma

:

(2)

Oznacza to, że wykresem natężenia prądu od napięcia będzie prosta, której współczynnik nachylenia
jest równy 1/R. Przewodniki, spełniające prawo Ohma, nazywamy zatem

przewodnikami liniowymi.

Jeżeli materiał przewodzący uformowany jest w obiekt o dobrze określonych parametrach geo-
metrycznych jak długość l i pole przekroju poprzecznego S oraz ma jednorodny skład chemiczny, jego

opór możliwy jest do opisania prostym wzorem:

(3)

Współczynnik proporcjonalności nosi nazwę

oporu właściwego (rezystywności)

. Opór właściwy

wyrażany w





m jest oporem ciała przewodzącego o jednostkowej długości i jednostko-

wym przekroju.

Jest to stała materiałowa - zależy od rodzaju materiału przewodzącego. Dla danego materiału,

opór właściwy może być funkcją parametrów opisujących warunki zewnętrzne - temperatury, ciśnie-
nia, pola magnetycznego. Dlatego pomiary oporu elektrycznego są przydatne do wyznaczania innych,
nieelektrycznych wielkości fizycznych, co znajduje zastosowanie w czujnikach pomiarowych.

Prąd elektryczny przewodzą zarówno ciała stałe jak i ciekłe (elektrolity) oraz gazy. Pod względem

przewodnictwa elektrycznego, ciała stałe dzielimy na przewodniki, półprzewodniki i izolatory. Charak-
terystyczne dla tych grup zakresy oporu właściwego podaje tabela 1.

Jak widać z tej tabeli, wartości oporu właściwego najlepszego przewodnika (srebro) i najlepszego

izolatora (polistyren) dzieli rozpiętość 29 rzędów, co stanowi rekord w przyrodzie. Półprzewodniki
stanowią grupę pośrednią - ich opór właściwy nie jest, na ogół, tak mały, jak przewodników ani tak
duży, jak izolatorów. Charakterystyczny dla półprzewodników jest spadek oporu ze wzrostem tempe-

Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali

3

R

2

R

1

U

1

U

R

R

1

U

U

1

Rys.1. Dzielnik napięcia: a) z opornikami stałymi R

1

i R

2

, b) z

potencjometrem suwakowym R , którego suwak znajduje się
w położeniu R

1

.

a)

b)

ratury, przeciwnie, niż dla przewodników - ich opór rośnie z temperaturą. Wynika to z faktu, że w
półprzewodnikach liczba nośników prądu, biorących udział w przewodnictwie, rośnie wraz z podwyż-
szaniem temperatury. W przewodnikach liczba ta jest praktycznie stała.

Odrębną grupę stanowią nadprzewodniki - substancje, które przy obniżaniu temperatury poniżej

tzw. temperatury krytycznej przechodzą w stan nadprzewodzący. W stanie tym opór elektryczny sta-
je się równy zeru, co oznacza, że prąd raz wzbudzony w nadprzewodzącym obwodzie będzie płynął,
teoretycznie, nieskończenie długo.

Tab. 1. Zakresy oporu właściwego i przykłady materiałów należących do różnych grup przewodnictwa

Rodzaj

Opór właściwy



∙m



Przykład materiału

Przewodnik









miedź, srebro, złoto, glin, żelazo, ołów, grafit

Półprzewodnik

10

-6

<



10

9

krzem, german, arsenek galu GaAs, azotek galu GaN

Izolator

10

9

<



10

20

woda destylowana, olej transformatorowy, szkło, dia-
ment, porcelana, teflon, polistyren

Nadprzewodnik



= 0

rtęć (T < 4 K), ołów (T < 7 K), stop NbTi (T < 9 K), MgB

2

(T < 39 K), ceramika YBa

2

Cu

3

O

7

(T < 93 K)

.

W każdym innym przypadku, przepływ prądu elektrycznego powoduje wydzielanie w obwodzie

ciepła Joule'a - Lenza

, gdzie I oznacza natężenie prądu a R - opór obwodu. Aby prąd płynął,

obwód musi być stale pod napięciem, bowiem wydzielanie ciepła oznacza stratę energii elektrycznej.
Istnienie rezystancji jest zatem przyczyną strat w energetycznych liniach przesyłowych. W innych
przypadkach rezystancja odgrywa pożyteczną rolę, np. przy konstrukcji grzejników elektrycznych. W
obwodach elektronicznych oporniki służą do ograniczania napięcia lub natężenia prądu. Często uży-
wany jest układ zwany

dzielnikiem napięcia

(rys.1.):

Ćwiczenie 12

4

Napięcie zasilające układ wynosi U. Prąd płynący przez oporniki R

1

i R

2

na rys.1a można obliczyć,

korzystając z prawa Ohma:

Napięcie wyjściowe U

1

jest równe spadkowi potencjału na oporniku R

1

:

(4)

Dzielnik napięcia "dzieli" zatem napięcie zasilania w stosunku R

1

/( R

1

+ R

2

). W taki sam sposób

działa układ z rysunku 1b. W tym przypadku dwa oporniki stałe zastąpiono potencjometrem suwa-
kowym. Zmieniając położenie suwaka, zmieniamy wartość rezystancji R

1

między dolnym zaciskiem

potencjometru a suwakiem. W ten sposób można ustawiać napięcie wyjściowe U

1

w przedziale od 0

do U.

Pomiaru oporu elektrycznego można dokonać różnymi metodami, m. in.:

a) miernikiem elektrycznym, zwanym omomierzem, który przepuszcza przez badany opór

prąd o ustalonym natężeniu i mierzy spadek napięcia na tym oporze, podając wynik w
omach, kiloomach lub megaomach,

b) bezpośrednio z definicji – mierząc napięcie U na zaciskach oporu oraz natężenie prądu I

płynącego przez ten opór,

c) metodami mostkowymi (np. mostkiem Wheatstone’a dla średnich wartości oporów),

1.1 Mostek Wheatstone’a - zasada działania

Schemat mostka Wheatstone’a przedstawiony jest na rys. 2a. Obwód mostka składa się z

dwóch równoległych gałęzi ACB i ADB, które można uważać za dwa dzielniki napięć zasilane ze
wspólnego źródła zasilania w punktach A i B. Badany opór oznaczony jest przez R

x

; R

N

oznacza

opór wzorcowy o znanej wartości. Napięcie w punkcie C jest równe:

, zaś napięcie

w punkcie D :

. Między tymi punktami wpięty jest czuły miernik natężenia prądu

(galwanometr), oznaczony na rysunku literą G. Dobierając odpowiednio opory R

1

i R

2

można do-

prowadzić do stanu, w którym przez galwanometr nie będzie płynął prąd. Stan, w którym galwa-
nometr pokazuje zero, nazywa się stanem równowagi mostka. Brak przepływu prądu oznacza, że
napięcia w punktach C i D są wtedy równe:

czyli:

a stąd otrzymujemy:

Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali

5

(5)

Jest to warunek równowagi mostka, z którego wynika możliwość obliczenia nieznanego opo-

ru R

x

, jeżeli znamy R

1

, R

2

i R

N

:

(6)

W mostkach Wheatstone'a zwanych laboratoryjnymi, opory R

1

i R

2

są opornicami dekado-

wymi, co umożliwia łatwy odczyt nastawionych wartości.

Inna konstrukcja, zwana mostkiem szkolnym, przedstawiona jest na rysunku 2b. Zamiast

opornic R

1

i R

2

między punktami A i B, na podziałce milimetrowej, rozciągnięty jest kalibrowany

drut oporowy o długości l = 1,000 m. W punkcie D znajduje się suwak, który można przesuwać po
drucie w celu zrównoważenia mostka. W stanie równowagi, suwak dzieli całkowitą długość drutu
l na odcinki a i b. Jeżeli drut można uważać za jednorodny, zachodzi:

,

, przy czym:

Korzystając z tych zależności, możemy stosunek oporów

we wzorze (6) zastąpić

stosunkiem odpowiednich długości drutu oporowego:

(7)

G

R

1

R

2

R

x

R

N

A

B

C

D

U

a)

Rys. 1. Schemat mostka Wheatstone’a: a) ilustracja zasady działania, b) mostek szkolny.

G

R

1

R

2

R

x

R

N

A

B

C

D

U

a

b

b)

R

Ćwiczenie 12

6

B G

(x) (:)

x

1000 100 10

B G

0,1

G

1 0,1



R

x

Rys. 4. Wygląd płyty czołowej mostka
laboratoryjnego MW-78

Dokładność pomiaru oporu mostkiem szkolnym zależy, przede wszystkim, od niepewności

wyznaczenia położenia suwaka a . Można udowodnić, że niepewność względna jest najmniejsza,
kiedy suwak w stanie równowagi mostka znajduje się w połowie długości drutu, czyli kiedy

. Należy zatem starać się tak dobierać opór wzorcowy, aby był bliski orientacyjnej warto-

ści oporu mierzonego, jeśli ją znamy.

1.2 Mostek laboratoryjny

Odmianą mostka Wheatstone’a jest tzw. mostek laboratoryjny, który umożliwia pomiar R

x

z

większą dokładnością, niż mostek szkolny.

Jego schemat przedstawiony jest na rys. 3. Oznaczenia oporów są takie same, jak na po-

przednich rysunkach. Aby zrównoważyć mostek, ustalamy najpierw "mnożnik" (x) R

1

i "dzielnik"

(:) R

2

, a następnie dobieramy dekadowo odpowiedni opór R

N

.

Galwanometr G i bateria (zasilacz) B są przyrządami zewnętrznymi, dołączanymi do odpowied-
nich zacisków płyty czołowej (rys.4). Dwa przełączniki oznaczo-
ne (x) i (:), umożliwiają podział napięcia zasilającego w stosunku
od 1:1000 do 1000:1. Przez wybranie pierwszym (x) i drugim (:)
przełącznikiem oporów R

1

i R

2

równych odpowiednio: 1, 10, 100

lub 1000



zmienia się stosunek: R

1

/R

2

, a tym samym zakres

pomiaru. Przycisk B służy do włączania zasilania.

Przycisk G

0,1

służy do włączania galwanometru przez wewnętrz-

ny szeregowy opornik, który 10-krotnie zmniejsza jego czułość.
Umożliwia to zgrubne doprowadzenie do równowagi mostka. Do
dokładnego ustawienia służy przycisk G, który włącza galwano-

Rys.3. Schemat laboratoryjnego mostka Wheatstone'a typu MW-78.

B

R

1

R

2

1000





1000





100





100





(

X

)

(:)

10





10









1





1





+

G

G

x10

x1

x0,1



50k



x100

R

x

R

N

B

x1000

Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali

7

metr już bez opornika - z pełną, dostępną czułością. Pięć przełączników dekadowych umożliwia do-
branie oporu porównawczego R

N

do maksymalnej wartości 11111



z rozdzielczością 0,1



.

Dokładne pomiary oporów, w przedziale od 1Ω do 10 MΩ, przy pomocy mostka Wheatstone’a
były przez ponad sto lat najważniejszą metodą pomiarową. Obecnie częściej stosuje się dokładne
omomierze cyfrowe, wobec powszechnej ich dostępności i niskiej ceny. Sama zasada pomiaru most-
kowego jest jednak stosowana w układach obsługujących czujniki pomiarowe, gdzie interesują nas
pomiary małych zmian oporu, np. w tensometrach (czujnikach naprężeń), ciśnieniomierzach czy
próżniomierzach. Czujniki, umieszczone w jednej z gałęzi mostka, zmieniają swój opór pod wpływem
badanej wielkości nieelektrycznej, a przedmiotem bezpośredniego pomiaru jest napięcie niezrówno-
ważenia mostka.

2. Przebieg ćwiczenia

2.1 Zadanie 1. Wyznaczanie oporu przy pomocy woltomierza i ampe-

romierza

2.1.1

Opis metody pomiarowej

Przedmiotem pomiaru są dostarczone druty oporowe rozpięte na izolatorach. Aby wyznaczyć ich

opór bezpośrednio z definicji (1) potrzebujemy woltomierza, amperomierza i źródła zasilania. Teore-
tycznie możemy je podłączyć na dwa sposoby: tak jak na rysunku 5a lub 5b.

W przypadku idealnych mierników, tzn. woltomierza o nieskończenie wielkim oporze wewnętrz-

nym i amperomierza o oporze równym zeru nie miało by to znaczenia. Rzeczywiste przyrządy mogą
wprowadzić błąd systematyczny związany z ich niedoskonałością. W przypadku 5a, część prądu mie-
rzonego przez amperomierz płynie nie przez badany opór, lecz przez woltomierz. W przypadku 5b,
część mierzonego przez woltomierz napięcia odkłada się na amperomierzu. Znając opory wewnętrz-
ne używanych przyrządów możemy wprowadzić poprawki, wynikające z praw Kirchhoffa, które kom-
pensują te błędy.

W przypadku schematu 5a:

(8)

gdzie R

V

oznacza opór wewnętrzny woltomierza.

W przypadku schematu 5b:

Rys. 5. Schemat obwodu do pomiaru oporu elektrycznego R

x

przy pomocy woltomierza

i amperomierza.

R

R

x

I

A

V

R

x

I

A

V

a)

b)

Ćwiczenie 12

8

(9)

Jeżeli opór woltomierza jest znacznie większy, niż opór badany, bardziej odpowiedni jest schemat

5a, a poprawkę wynikającą ze wzoru (8) można pominąć, stosując wzór:

(10)

W przypadku, kiedy badany opór jest znacznie większy, niż opór amperomierza, a porównywalny

z oporem woltomierza, lepiej zastosować schemat 5b i również, pomijając poprawkę (9) użyć wzoru
(10).

2.1.2

Wykonanie zadania

1. Połączyć układ w/g schematu 5a, używając mierników analogowych. Uzyskać informację o

ich opornościach wewnętrznych.

2. Wykonać kilka pomiarów spadku napięcia na oporze R

x

, zmieniając opornicą suwakową R

wartość natężenia prądu w obwodzie.

3. Wyniki pomiarów zapisać w tabeli 1, wyznaczając opór i obliczając odpowiednie poprawki.

Tabela 1

Lp.

U [V]

I [A]

R

x

*

[



]

R

x

[



]

1

...

*

x

R

= ...

x

R = ...

4. Zastąpić woltomierz analogowy miernikiem cyfrowym. Wykonać 7-8 pomiarów, jak

poprzednio. Wyniki zapisać w tabeli 2. Opór R

x

znaleźć, na podstawie prawa Ohma, jako

współczynnik nachylenia prostej U(I), dopasowanej do danych przy pomocy komputera.
Niepewność standardowa, wynikająca z dopasowania, podawana jest przez program
WYKRESLAB.

Lp.

I [A]

U[V]

1

2

3

...

Tabela 2

Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali

9

2.2 Zadanie 2. Wyznaczanie oporu przy pomocy szkolnego mostka

Wheatstone’a

Łączymy układ według schematu przedstawionego na rys. 1b. Przyjmujemy długość l =100,0

cm. Dla każdego drutu wykonujemy trzy pomiary dla różnych wartości R

N

, zbliżonych do orienta-

cyjnej, znanej wcześniej wartości R

x

. Wynik każdego pomiaru obliczamy ze wzoru (6). Wyniki za-

pisujemy w tabeli 3.

Aby oszacować niepewność pomiaru długości a, wyznaczamy przedział graniczny 2Δa przy

pomiarze długości drutu oporowego. Po zrównoważeniu mostka, przesuwamy suwak w niewiel-
kim zakresie w jedną i drugą stronę tak, aby uzyskać widoczną zmianę odczytu wskaźnika rów-
nowagi mostka (galwanometru), np. pół działki. Notujemy położenia suwaka.

Niepewność standardową pomiaru długości znajdujemy jako:

. Niepewność zna-

jomości oporu wzorcowego

, gdzie ΔR

N

= 0.1Ω.

Niepewność złożoną pomiaru oporu obliczamy ze wzoru:

2.3 Zadanie 3. Wyznaczanie oporu właściwego drutu przy użyciu la-

boratoryjnego mostka Wheatstone’a.

1. Podłączamy zasilacz oraz galwanometr do odpowiednich zacisków mostka MW-78.
2. Na podstawie wstępnej znajomości rzędu wielkości badanego oporu, dobieramy właści-

we opory R

1

i R

2

mostka przełącznikami (x) i (:), zgodnie z danymi w tabeli 4.

Tabela 3

Drut 1

Drut 2

Lp.

R

N

[



]

a [cm]

l-a [cm]

R

x

[



]

R

N

[



]

a [cm]

l-a [cm]

R

x

[



]

1

...



x

R

…

...



x

R

…

...

Ćwiczenie 12

10

1. Po połączeniu badanego opornika do zacisków mostka sprawdzamy „0” galwanometru bez

włączania w obwód źródła prądu. Następnie należy nacisnąć przycisk B, potem przycisk G

0,1

i

za pomocą pięciu dekad R

N

, poczynając od najwyższej, doprowadzamy do zrównoważenia

mostka (I

g

= 0).

2. Po zrównoważeniu mostka, przy ograniczonej czułości pomiaru, należy nacisnąć przycisk G i

dokładniej zrównoważyć mostek (przy pełnej czułości pomiaru). Odczytujemy z położenia
przełączników dekadowych wartość mierzonego oporu, uwzględniając mnożnik i dzielnik.
Odczyty dla obu drutów wpisujemy do tabeli 5.

Tabela 5

Drut

R

1

[



]

R

2

[



]

R

N

[



]

1.

2.

3. Dokładność zrównoważenia mostka zależy od stałej prądowej galwanometru, oporów

obwodu i napięcia zasilającego układ. Przedział graniczny odczytu znajdujemy w następu-
jący sposób: po zrównoważeniu mostka badamy, czy zmiana załączonego oporu R

N

o



R

N

= 0,1



powoduje wychylenie wskaźnika galwanometru. Jeśli nie, to próbujemy z więk-

szymi oporami, aż uzyskamy wychylenie o parę działek (



x). Obliczamy wówczas prze-

dział graniczny



R =



R

N

/(2



x), tj. przyrost oporu powodujący wychylenie wskaźnika o

pół działki. Niepewność wyznaczenia równowagi mostka obliczamy ze wzoru:

.

Niepewność pomiaru związaną z klasą mostka (dokładność 0,1%) obliczamy ze wzoru:

Niepewność złożoną pomiaru R

x

obliczamy ze wzoru:

4. Do obliczenia oporu właściwego drutu ze wzoru (3) potrzebna jest jeszcze znajomość je-

go długości l oraz pola przekroju poprzecznego S. Mierzymy pięciokrotnie długość l każ-

Opór mierzony R

x

[



]

(x) R

1

[



]

(:) R

2

[



]

1–10

1

1000

10

–10

2

10

1000

10

2

–10

3

100

1000

10

3

–10

4

1000

1000

Tabela 4

Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali

11

dego drutu za pomocą nitki, a śrubą mikrometryczną mierzymy dziesięciokrotnie ich
średnice d. Wyniki pomiarów wpisujemy do tabeli 6.

Tabela 6

Lp.

Drut 1

Drut 2

l [m]

d [mm]

l [m]

d [mm]

Opór właściwy każdego drutu obliczamy ze wzoru:

l

d

R

l

S

R

x

x

x

4

2











Obliczamy niepewności standardowe typu A dla średnicy drutu oraz jego długości.

Niepewność złożoną wyznaczenia oporu właściwego obliczamy ze wzoru:

Aby wykonać te obliczenia, podstawiamy za R

x

, l i d średnie arytmetyczne zmierzonych wielkości.

3. Uzupełnienie

Klasyczną teorię przewodnictwa elektrycznego metali podał Drude, według której elektrony

walencyjne traktowane są jak cząstki swobodne, podlegające prawom klasycznej statystyki
Maxwella-Boltzmanna. Elektrony przewodnictwa zachowują się podobnie, jak cząsteczki gazu do-
skonałego, poruszają się chaotycznie i ciągle się zderzają z drgającymi jonami, tworzącymi sieć
krystaliczną (zderzenia elektronów między sobą są niezmiernie rzadkie), zmieniając prędkości i

kierunki ruchu. Pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego o natężeniu chaotyczny ruch
elektronów ulega pewnemu uporządkowaniu i przemieszczają się one w kierunku przeciwnym do
kierunku pola ze stałą prędkością unoszenia

, dając prąd elektryczny. Możemy sobie wyobrazić,

że na poruszające się elektrony, oprócz siły pola elektrycznego:

(e – wartość ładunku

elementarnego), działa dodatkowo siła hamująca ich ruch, a spowodowana zderzeniami elektro-

nów z drgającymi jonami:

e

u

F













ham

. Siły te równoważą się wzajemnie:

E

e

u

e















(1)

i stąd wartość prędkości unoszenia

e

u

wyrażona wzorem:

Ćwiczenie 12

12

E

E

e

u

e

e













(2)

jest stała i jest rzędu kilku cm/s. Występujący we wzorze (13) współczynnik



e

nosi nazwę

ru-

chliwości elektronów.

Ładunek zgromadzony w objętości: V = lS przewodnika dany jest wyrażeniem:

Q = eNV = eNSl

(3)

gdzie: N jest liczbą swobodnych elektronów w jednostce objętości, a S, l – przekrojem i dłu-

gością przewodnika.

Zatem natężenie prądu, które jest równe stosunkowi ładunku Q przepływającego przez prze-

krój poprzeczny przewodnika do czasu przepływu t wyrazi się wzorem:

e

eNSu

t

eNlS

t

Q

I







(4)

gdzie prędkość unoszenia:

e

u

= l/t.

Wyraźmy teraz opór właściwy metali poprzez wielkości mikroskopowe, tj. u

e

, e, N. Wstawia-

jąc

e

u

ze wzoru (13) do wzoru (15) i uwzględniając, że E = U/l otrzymujemy:

l

U

S

N

e

E

S

N

e

I

e

e

























(5)

Ze wzoru (16) obliczamy opór:

S

l

eN

I

U

R

e









1

(6)

a następnie podstawiając (17) do wzoru (2) liczymy opór właściwy



:

)

(

1

e

eN







(7)

Widzimy, że wielkość ta jest odwrotnie proporcjonalna do koncentracji elektronów w metalu

i do ich ruchliwości.

Lepszą zgodność z doświadczeniem daje kwantowa teoria przewodnictwa elektrycznego me-

tali oparta na kwantowej statystyce Fermiego-Diraca [1, 2].

Pomiar oporu elektrycznego i wyznaczanie oporu właściwego metali

13

4. Literatura

[1] J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla inżynierów, cz. 2, WNT, Warszawa 1975.

[2] D. Halliday, R. Resnick, Fizyka, t. 2, PWN, Warszawa 1984.

[3] I.W. Sawieliew, Kurs fizyki, t. 2, PWN, Warszawa 1989.