POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA - Inżynieria i Ochrona Środowiska

Rysunek techniczny, Geometria wykreślna i grafika inżynierska - ćwiczenie nr 04

1

Zad.01. Odwzorowanie powierzchni stożka, walca, sfery oraz punktów leżących na tych powierzchniach.

Przy odwzorowaniu powierzchni stożka, walca, sfery przyjmiemy reprezentację konturową, co oznacza,

ż

e rzutem powierzchni jest brzeg rzutu tej powierzchni (figury rozumianej jako zbiór rzutów wszystkich punktów

powierzchni). Rzutem każdej z omawianych tu powierzchni jest trójkąt, prostokąt, koło (w reprezentacji
konturowej - okrąg). Rysunek II15 przedstawia rzuty Monge'a: (a) - powierzchni stożka, (b) - powierzchni
walca, (c) - sfery. Znależć rzuty (poziome i pionowe) punktów leżących na powierzchni stożka, walca i sfery.
Dane są rzuty punktów A”, B”, C”, należy znaleźć rzuty poziome tych punktów (A’, B’,C’oraz rzuty poziome
punktów D’, E’, F’ należy znaleźć rzuty pionowe tych punktów D”, E”, F”.

Każda z powierzchni stożka, walca i sfery ma oś symetrii. Przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi symetrii w
każdym przypadku jest okręgiem, zaś przekrój płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii jest w przypadku:
stożka - parą prostych (tworzących stożka) przecinających się, walca - parą prostych (tworzących walca)
równoległych, sfery - okręgiem (równoleżnikiem sfery) (Rys.II19).

o1"

o2"

o3"

o1'

o2'

o3'

o1"

o2"

o3"

o1'=o2'=o3'

o1"
o2"

o3"

o1'

o2'

o3'

O"

O'

l"

l"

l'

l'

(a)

(b)

(c)

"=

"=

"=

"=

"=

"=

"=

"=

"=

Rys.II19.

γ3

γ1

γ2

γ1

γ2

γ2

γ2

γ2

γ2

O"

O'

l"

l"

l'

l'

(a)

(b)

(c)

Rys.II15.

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA - Inżynieria i Ochrona Środowiska

Rysunek techniczny, Geometria wykreślna i grafika inżynierska - ćwiczenie nr 04

2

Przynależność punktu do powierzchni (figury) oprzemy na zasadzi: Punkt należy do figury jeżeli leży na
pewnej krzywej (prostej, okręgu) zawartej w tej figurze. Przynależność prostej do płaszczyzny - na znanym
fakcie: Prosta leży na płaszczyźnie jeżeli należą do niej dwa punkty leżące na tej płaszczyźnie.
Rysunek II22(a,a1,a2,a3) pokazuje rozwiązanie zadania w odniesieniu do powierzchni stożkowej.
Zadanie. Mamy daną powierzchnię stożkową

Γ

oraz rzut pionowy A" punktu A. Należy wyznaczyć rzut poziomy

punktu A tak, by punkt ten leżał na powierzchni

Γ

(Rys.II22a). Rozwiązanie: Prowadzimy przez szukany punkt A

płaszczyznę poziomą p, t.zn. przez punkt A" prowadzimy prostą p" (Rys.II22a1). Płaszczyzna p przecina
powierzchnię stożkową w okregu o (Rys.II22a2). Później przekonamy się, że w przeciwieństwie do rozwiązania
zadania II.7.1 płaszczyzna p musi być pozioma lub (por. zadanie II.7.3) poziomorzutująca i przechodząca przez
wierzchołek powierzchni. Rzutem pionowym okręgu jest odcinek o" prostej p" zawarty w konturze pionowym
powierzchni stożkowej, czyli w trójkącie. Rzut poziomy o' jest okręgiem o środku W' i promieniu równym
połowie długości odcinka o". Istnieją dwa punkty A

1

, A

2

których rzutem pionowym jest punkt A". Aby znaleźć

ich rzuty poziome A'

1

, A'

2

prowadzimy odnoszącą z punktu A" do przecięcia z okręgiem o (Rys.II22a3).

Zadanie II.7.3. Mamy daną powierzchnię stozkową

Γ

oraz rzut poziomy B' punktu B. Należy wyznaczyć rzut

pionowy punktu B tak, by punkt ten leżał na powierzchni

Γ

(Rys.II22(b)). Rozwiązanie: Prowadzimy przez

szukany punkt B i przez wierzchołek W stożka płaszczyznę poziomorzutującą v, t.zn. przez punkt B' prowadzimy
prostą v' (Rys.II22b1). Płaszczyzna v przecina powierzchnię stożkową w prostych a, b, z których interesuje nas
tylko jedna, mianowicie prosta a, do której należy punkt B (Rys.II22(b2)). Rzut poziomy a' prostej a pokrywa się
z prostą v'. Prosta v ma ślad poziomy H

a

w punkcie przecięcia z okręgiem podstawy stożka. Rzut pionowy a"

przechodzi przez H"

a

i przez W". Punkt B" znajdujemy na prostej a" i na odnoszącej poprowadzonej z punktu

B' (Rys.II22(b3)).

Powierzchnie stożka, walca, sfery, znane ze szkoły, w przekroju płaszczyzną dają prostą (odcinek lub łamaną)
lub okrąg a więc dwie figury, które potrafimy wykreślić linijką i cyrklem, czyli t.zw. klasycznymi (platońskimi)
ś

rodkami kreślenia.

Przekrojem sfery, stożka, walca jest zawsze stożkowa. Przekrojem, pomijając przypadki zdegenerowane, w
przypadku sfery jest okrąg, w przypadku walca elipsa (okrąg), w przypadku stożka elipsa (okrąg), parabola
lub hiperbola w zależności od kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do osi stożka (Rys.10A1a,b, 10A2a).
Rzutem prostokątnym okręgu i elipsy jest elipsa lub odcinek, paraboli - parabola lub półprosta lub prosta,
hiperboli - hiperbola, prosta lub dwie półproste zawarte w jednej prostej.

A"

W'

W'

A"

A"

W'

A"

W'

A'

A'

2

1

W'

B'

B'

W'

W'

B'

B'

W'

B"

(a)

(a1)

(a2)

(a3)

(b)

(b1)

(b2)

(b3)

'

o'

o'

' =a'

=a'

'

a"

a"

a

H

H"a

a

H

H"a

W"

W"

W"

W"

W"

W"

W"

W"

"

γ

o"

o"

Rys.II21.

"

γ

γ

"

"

γ

γ

γ

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA - Inżynieria i Ochrona Środowiska

Rysunek techniczny, Geometria wykreślna i grafika inżynierska - ćwiczenie nr 04

3

elipsa

elipsa

parabola

parabola

Rys.10A1.

(a)

(b)

hiperbola

F

k

elipsa

2

1

1

F

k

(kierownica)

(ognisko)

(kierownica)

(ognisko)

sfera

sfera

e

1

(płasz. przekroju)

πσ

(a)

(B)

Rys.10A2.

πσ

π

2

2

hiperbola

kierunki asymptot

Rys.10A3.

(f)

(a)

(b, c)

(d)

(e)

(g)

1

1

2

2

3

3

3

3

2

2

1

1

1

1

2

2

3

3

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA - Inżynieria i Ochrona Środowiska

Rysunek techniczny, Geometria wykreślna i grafika inżynierska - ćwiczenie nr 04

4

Elipsa jest jednoznacznie wyznaczona na przykład przez swoje średnice sprzężone. Średnice sprzężone

są to dwie połowiące się cięciwy elipsy, przechodzące przez jej środek, o tej własności, że każda z tych średnic
połowi odcinki równoległe do drugiej średnicy. Średnice elipsy, jako połowiące się odcinki, możemy wybrać
dowolnie (Rys.10A3a ). Konstrukcję elipsy na podstawie średnic sprzężonych przedstawiają rysunki
(Rys.10A3b-g).
Uzupełnienie pozostałych ćwiartek elipsy zrealizujemy w podobny sposób (Rys.10A3g).

Parabola jest jednoznacznie określona przez prostą styczną, punkt styczności, kierunek osi i inny punkt

(Rys. 10A4a). Konstrukcję (siatkową) paraboli przedstawiają rysunki (Rys.10A4b-e)

Zad.02. Wykreślić rzuty przekroju stożka płaszczyzną (Rys.10A5a), wkreślić rzuty bryły będącej częścią kuli po
wycięciu płaszczyznami (Rys.10A5b), wkreślić rzuty bryły będącej częścią stożka po wycięciu płaszczyznami
(Rys.10A5c). W ostatnim przypadku jedna z płaszczyzn tnących jest równoległa do tworzącej stożka, druga jest
równoległa do podstawy.

(a)

(b)

(c)

(e)

(d)

Rys.10A4.

1

1

3

2

3

2

4

4

1

1

2

2

3

4

3

4

1

2

2

1

3

3

4

4

1

1

2

2

3

3

4

4

(a)

Rys.10A5.

(b)

(c)

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA - Inżynieria i Ochrona Środowiska

Rysunek techniczny, Geometria wykreślna i grafika inżynierska - ćwiczenie nr 04

5

Na rysunkach 10A6 zilustrowano konstrukcję przekroju stożka płaszczyną wraz z konstrukcją siatkową elipsy.

Elispę przekroju wyznaczamy poprzez rzuty jej osi (średnic sprzężonych prostopadłych AB (A'B',A"B"),
CD(C'D',C"D") (Rys.10A6). Średnice te są podstawą konstrukcji siatkowej elipsy (Rys.10A7).

Zad.03.
Wykreślić rzuty bryły będącej częścią stożków oraz kól po wycięciu płaszczyznami z rys.Fig 11,12,13,14,15
(zgodnie z karta przydziału tematu).

Rys.10A6.

A"

A'

B'

B"

C"=D"

B"

A"

A'

B'

Rys.10A7.

A'

B'

B'

B'

A'

A'

C'

D'

D'

C'

C'

D'

C"=D"

A"

B"

B"

B"

A"

A"

C"=D"

C"=D"

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA - Inżynieria i Ochrona Środowiska

Rysunek techniczny, Geometria wykreślna i grafika inżynierska - ćwiczenie nr 04

6

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA - Inżynieria i Ochrona Środowiska

Rysunek techniczny, Geometria wykreślna i grafika inżynierska - ćwiczenie nr 04

7

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA - Inżynieria i Ochrona Środowiska

Rysunek techniczny, Geometria wykreślna i grafika inżynierska - ćwiczenie nr 04

8

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA - Inżynieria i Ochrona Środowiska

Rysunek techniczny, Geometria wykreślna i grafika inżynierska - ćwiczenie nr 04

9