Analiza matematyczna 2

Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08

Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.

A

1 2 3 4 5 6 Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !

ZADANIA

1.

Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

√

0.9 ln

1.2
0.9

.

2.

Znaleźć największy iloczyn I trzech dodatnich liczb x, y, z, których suma jest równa 27.
Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.

3.

Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f

(17)

(0),

f

(18)

(0),jeżeli

f

(x) =

x

2

3x

2

− 2

.

4.

Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywymi x = y

2

, x = 2 − y

2

. Obliczyć

całkę podwójną

ZZ

D

xy dxdy.

5.

Obliczyć pole tej części półsfery z =

q

R

2

− x

2

− y

2

, która leży wewnątrz walca x

2

+ y

2

= r

2

,

gdzie 0 < r < R. Sporządzić rysunek.

6.

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y

′′

+ y =

1

sin t

, (t ∈ (0, π)) .

Analiza matematyczna 2

Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08

Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.

B

1 2 3 4 5 6 Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !

ZADANIA

1.

Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

(1.1)

0.9

√

0.9.

2.

Na płaszczyźnie z = 2 znaleźć punkt C, którego suma kwadratów odległości od punktów
A

= (1, 0, 0) i B = (0, −2, 0) jest najmniejsza. Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.

3.

Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f

(17)

(0),

f

(18)

(0),jeżeli

f

(x) =

x

2x

2

+ 3

.

4.

Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywą x = y

2

+ 1 i prostymi y = x, y = 1

i y =

√

3. Obliczyć całkę podwójną

ZZ

D

1

x

2

+

1

y

2

!

dxdy.

5.

Obliczyć pole tej części sfery x

2

+ y

2

+ (z − 2)

2

= 4, która leżący poniżej płaszczyzny z = 1.

Sporządzić rysunek.

6.

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y

′′

+ y = cos

2

t.

Analiza matematyczna 2

Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08

Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.

C

1 2 3 4 5 6 Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !

ZADANIA

1.

Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

√

1.1 arc tg

0.3
1.1

.

2.

Na wykresie funkcji z =

1

xy

znaleźć punkt C, którego kwadrat odległości od początku układu

współrzędnych jest najmniejszy. Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.

3.

Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f

(17)

(0),

f

(18)

(0),jeżeli

f

(x) =

x

2

4 − 2x

2

.

4.

Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywą xy = 1 i prostymi y = x, y = 2.
Obliczyć całkę podwójną

ZZ

D

x

2

y

2

dxdy.

5.

Obliczyć pole części powierzchni paraboloidyz =

1
2



x

2

+ y

2



leżącej między powierzchniami

x

2

+ y

2

= r

2

i x

2

+ y

2

= R

2

, gdzie 0 < r < R. Sporządzić rysunek.

6.

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y

′′

+ y =

1

cos t

,



t ∈



−

π

2

,

π

2



.

Analiza matematyczna 2

Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08

Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.

D

1 2 3 4 5 6 Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !

ZADANIA

1.

Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

ln



√

1.1 +

4

√

0.8 − 1



.

2.

Na płaszczyźnie x + y + z = 0 znaleźć punkt C, którego kwadrat odległości od punktu
A

= (1, 2, 3) jest najmniejszy. Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.

3.

Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f

(17)

(0),

f

(18)

(0),jeżeli

f

(x) =

x

4x

2

+ 3

.

4.

Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywyą y = ln x i prostymi y = 1, x = e

2

.

Obliczyć całkę podwójną

ZZ

D

y

x

dxdy.

5.

Obliczyć pole części paraboloidy z = x

2

+ y

2

leżącej wewnątrz stożka z = 2 −

q

x

2

+ y

2

.

Sporządzić rysunek.

6.

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y

′′

+ y = sin

2

t.