Kody liczbowe

Naturalny Kod Binarny (NKB)

Naturalny kod binarny (NKB) otrzymamy, je

ś

li

zapiszemy liczb

ę

w dwójkowym pozycyjnym systemie

liczbowym

1111

15

0111

7

1110

14

0110

6

1101

13

0101

5

1100

12

0100

4

1011

11

0011

3

1010

10

0010

2

1001

9

0001

1

1000

8

0000

0

NKB

L

(10)

NKB

L

(10)

Naturalny Kod Binarny (NKB)

Zakres liczb przedstawianych w naturalnym kodzie binarnym
za pomoc

ą

n bitów wynosi: 0

≤

L

≤

2

n

-1

0 ÷ 4 294 967 295

4 294 967 296

32

0 ÷ 65 535

65 536

16

0 ÷ 1 023

1 024

10

0 ÷ 255

256

8

0 ÷ 31

32

5

0 ÷ 15

16

4

0 ÷ 7

8

3

0 ÷ 3

4

2

0 ÷ 1

2

1

Zakres liczb

2

n

Liczba bitów n

Kody BCD

Binary Coded Decimal

Cyfry dziesi

ę

tne s

ą

kodowane czterobitowym kodem

binarnym

Łatwa konwersja liczb do i z systemu dziesi

ę

tnego

Jest kodem nadmiarowym (wykorzystuje tylko 10
czterobitowych układów z 16 mo

ż

liwych )

Zastosowanie

urz

ą

dzenia elektroniczne z wy

ś

wietlaczem cyfrowym (np.

kalkulatory, mierniki cyfrowe)

zastosowania finansowe informatyki (ujednoznacznia zapis
cz

ęś

ci ułamkowych kwot i ułatwia dziesi

ę

tne zaokr

ą

glanie)

Wiele procesorów posiada rozkazy umo

ż

liwiaj

ą

ce

wykonanie operacji arytmetycznych w kodzie BCD

Kody BCD

Zalety:

prostsza konwersja do postaci dogodnej do wy

ś

wietlenia

niektóre warto

ś

ci niecałkowite (np. 0,2) maj

ą

w kodzie BCD,

w przeciwie

ń

stwie do NKB, sko

ń

czon

ą

reprezentacj

ę

, dzi

ę

ki

temu system BCD wprowadza mniejsze bł

ę

dy oblicze

ń

mniejsze bł

ę

dy zaokr

ą

glenia liczb w systemie o podstawie

dziesi

ęć

Wady:

operacje arytmetyczne w kodzie BCD s

ą

bardziej

skomplikowane i wolniejsze ni

ż

w NKB, wymagaj

ą

korekcji

dziesi

ę

tnej

Naturalny kod BCD (8421)

Cyfry dziesi

ę

tne s

ą

kodowane w NKB

Nazwa BCD 8421 pochodzi od pierwszych czterech
wag w systemie dwójkowym naturalnym

1000

8

1001

9

0111

7

0110

6

0101

5

0100

4

0011

3

0010

2

0001

1

0000

0

BCD 8421

Cyfra (10)

Naturalny kod BCD (8421)

7249

(10)

= 0111 0010 0100 1001

(BCD)

1000 0110 0111 0010 0101

(BCD)

= 86725

(10)

Formaty BCD

Format upakowany

–

2 cyfry dziesi

ę

tne w

jednym bajcie

Format nieupakowany

–

jedna cyfra

dziesi

ę

tna w bajcie

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

8

5

1

5

8

1

185

(10)

Dodawanie liczb BCD

Dodawanie liczb BCD polega na wykonaniu
zwykłego binarnego dodawania, po którym
wykonuje si

ę

korekcja dziesi

ę

tna

otrzymanego wyniku

Korekcja dziesi

ę

tna przy dodawaniu polega

na dodaniu liczby 6

(10)

(

0110

(2)

) do tych cyfr

dziesi

ę

tnych wyniku

których warto

ść

okazała si

ę

wi

ę

ksza od 9

(nieprawidłowa warto

ść

cyfry dziesi

ę

tnej)

lub

podczas dodawania powstało przeniesienie ze
starszego bitu tetrady

Rejestr znaczników procesora

CF – Carry Flag

–

przeniesienie

AF – Auxiliary Carry Flag

–

przeniesienie

pomocnicze

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

NT

OF DF IF TF S F ZF

AF

PF

CF

IOPL

FLAGS

0

1

2

3

4

5

6

7

AF=1

CF=1

Dodawanie upakowanych liczb BCD

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

+

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

8

7

+

3

5

9

5

4

6

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

?

+

5

4

6

Dodawanie upakowanych liczb BCD

DAA

–

instrukcja korekcji dziesi

ę

tnej po dodawaniu

upakowanych liczb BCD

mov

al, 12h

; AL

12

(BCD)

add

al, 39h

; AL

12+39

(BCD)

daa

; korekcja wyniku

je

ś

li (AF=1) lub (3..0 > 9)



AL+6

oraz

je

ś

li (CF=1) lub (7..4 > 9)



AL+60h

0

1

2

3

4

5

6

7

AF=1

CF=1

AL

12h

+ 39h

4Bh

+ 6

51h

Odejmowanie liczb BCD

Odejmowanie liczb BCD polega na
wykonaniu zwykłego binarnego odejmowania,
po którym wykonuje si

ę

korekcja dziesi

ę

tna

otrzymanego wyniku

Korekcja dziesi

ę

tna przy odejmowaniu polega

na odj

ę

ciu liczby 6

(10)

(

0110

(2)

) od tych cyfr

dziesi

ę

tnych wyniku

których warto

ść

okazała si

ę

wi

ę

ksza od 9

(nieprawidłowa warto

ść

cyfry dziesi

ę

tnej)

lub

podczas dodawania powstała po

ż

yczka do

starszego bitu tetrady

Odejmowanie upakowanych liczb BCD

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

-

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

_

3

0

7

1

2

9

1

7

8

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

?

-

1

7

8

Odejmowanie upakowanych liczb BCD

DAS

–

instrukcja korekcji dziesi

ę

tnej po odejmowaniu

upakowanych liczb BCD

mov

al, 35h

; AL

35

(BCD)

sub

al, 27h

; AL

35-27

(BCD)

das

; korekcja wyniku

je

ś

li (AF=1) lub (3..0 > 9)



AL-6

oraz

je

ś

li (CF=1) lub (7..4 > 9)



AL-60h

0

1

2

3

4

5

6

7

AF=1

CF=1

AL

35h

- 27h

0Eh

- 6

08h

Dodawanie nieupakowanych liczb BCD

AAA

–

instrukcja korekcji dziesi

ę

tnej po dodawaniu

nieupakowanych liczb BCD

mov

ax, 9

; AH

0,AL

9

add

al, 8

; AL

11h

aaa

; korekcja wyniku

je

ś

li (AF=1) lub (3..0 > 9)



AL (3..0)+6, AL (7..4)

0

AH=AH+1

AF=1

AL

AH

AX

1 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 1

0 1 1 1

Odejmowanie nieupakowanych liczb BCD

AAS

–

instrukcja korekcji dziesi

ę

tnej po odejmowaniu

nieupakowanych liczb BCD

mov

ax, 8

; AH

0,AL

8

sub

al, 9

; AL

8-9

aas

; korekcja wyniku

je

ś

li (AF=1) lub (3..0 > 9)



AL (3..0)-6, AL (7..4)

0

AH=AH-1

AF=1

AL

AH

1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0 1 1

-1

Mno

ż

enie nieupakowanych liczb BCD

AAM

–

instrukcja korekcji dziesi

ę

tnej po mno

ż

eniu

nieupakowanych liczb BCD

mov

bl,6

; BL

6

mov

al, 4

; AL

4

mul

bl

; AX

AL*BL=24

aam

; korekcja wyniku

AH

AL/10, AL

AL mod 10

0

1

0

0

AL

0

0

1

0

AH

AX

0

0

0

1

1

0

0

0

Dzielenie nieupakowanych liczb BCD

AAD

–

instrukcja korekcji dziesi

ę

tnej przed dzieleniem

nieupakowanych liczb BCD

mov

ax,0204h

; AX

24

(BCD)

mov

bl, 4

; BL

4

aad

; korekcja operandów

div

bl

; AX/BL

AL

AH*10+AL, AH

0

0

1

0

0

AL

0

0

1

0

AH

AX

0

0

0

1

1

0

0

0

Kody BCD

1111

1000

1001

1010

1011

0100

0101

0110

0111

0000

84-2-1

1111

1110

1101

1100

1011

0100

0011

0010

0001

0000

2421

1100

1011

1010

1001

1000

0111

0110

0101

0100

0011

Excess-3

1000

8

1001

9

0111

7

0110

6

0101

5

0100

4

0011

3

0010

2

0001

1

0000

0

8421

Cyfra (10)

Kod Excess-3 (XS3)

Powstaje poprzez dodanie warto

ś

ci 3 do cyfry dziesi

ę

tnej i

zapisanie jej w kodzie BCD

Cyfry 5-9 s

ą

lustrzanym odbiciem cyfr 0-4 z zanegowanymi

bitami

Jest kodem samouzupełniaj

ą

cym –negacja liczb dwójkowych w

tych kodach daje uzupełnienie do 9 odpowiednich liczb
dziesi

ę

tnych

1011

8

1100

9

1010

7

1001

6

1000

5

0111

4

0110

3

0101

2

0100

1

0011

0

Excess-3

Cyfra (10)

Kod BCD 2421 (Aikena)

Jest kodem wagowym o wagach 2, 4, 2, 1

Waga nie jest prost

ą

funkcj

ą

pozycji, nie jest to kod pozycyjny

Cyfry 5-9 s

ą

lustrzanym odbiciem cyfr 0-4 z zanegowanymi

bitami

Jest kodem samouzupełniaj

ą

cym

1110

8

1111

9

1101

7

1100

6

1011

5

0100

4

0011

3

0010

2

0001

1

0000

0

BCD 2421

Cyfra (10)

Kod BCD 84-2-1

Jest kodem wagowym o wagach 8, 4, -2, -1

Cyfry 5-9 s

ą

lustrzanym odbiciem cyfr 0-4 z zanegowanymi

bitami

Jest kodem samouzupełniaj

ą

cym

1000

8

1111

9

1001

7

1010

6

1011

5

0100

4

0101

3

0110

2

0111

1

0000

0

BCD 84-2-1

Cyfra (10)

Kod Johnsona

Kod kołowy stosowany do kodowania cyfr
dziesi

ę

tnych

Wymaga

pi

ę

ciu bitów

do zakodowania ka

ż

dej cyfry

dziesi

ę

tnej

Charakteryzuje si

ę

specyficznym rozkładem zer i

jedynek

11

000

8

1

0000

9

111

00

7

1111

0

6

11111

5

0

1111

4

00

111

3

000

11

2

0000

1

1

00000

0

Kod Johnsona

Cyfra (10)

Kod Johnsona

Liczba jedynek zwi

ę

ksza si

ę

(pocz

ą

wszy od najmniej

znacz

ą

cego bitu) a

ż

do wszystkich bitów równych 1

Nast

ę

pnie jedynek zaczyna ubywa

ć

(pocz

ą

wszy od

najmniej znacz

ą

cego bitu)

Stosowany jest w elektronice. Łatwe dekodowanie

Jest kodem nadmiarowym

11

000

8

1

0000

9

111

00

7

1111

0

6

11111

5

0

1111

4

00

111

3

000

11

2

0000

1

1

00000

0

Kod Johnsona

Cyfra (10)

Kody 1 z N (pier

ś

cieniowe)

Długo

ść

słowa jest równa N czyli liczbie kodowanych

słów

Najbardziej rozpowszechnionym jest kod 1 z 10

Jest to kod wagowy o wagach 9876543210

Jest kodem nadmiarowym, detekcyjnym

0

1

00000000

8

1

000000000

9

00

1

0000000

7

000

1

000000

6

0000

1

00000

5

00000

1

0000

4

000000

1

000

3

0000000

1

00

2

00000000

1

0

1

000000000

1

0

Kod 1 z 10

Cyfra (10)

Kod 2 z 5

5-bitowy kod

posiada stał

ą

liczb

ę

jedynek w

zapisie (ka

ż

dy 5-bitowy kod

ma 2 jedynki i pozostałe bite
zerowe)

Jest

to

kod

wagowy,

wyst

ę

puj

ą

ró

ż

ne

wersje,

zale

ż

nie od przyj

ę

tych wag

(np. 01236, 74210)

Jest kodem nadmiarowym,
detekcyjnym

Stosowany

w

kodach

kreskowych

00011

00101

01001

10001

00110

01010

10010

10100

11000

01100

Kod 2 z 5

(01236)

10010

8

10100

9

10001

7

01100

6

01010

5

01001

4

00110

3

00101

2

00011

1

11000

0

Kod 2 z 5

(74210)

Cyfra

dziesiętna

Kod Graya

Kod dwójkowy bezwagowy, niepozycyjny

Dwa kolejne s

ł

owa kodowe ró

ż

ni

ą

si

ę

tylko stanem

jednego bitu
Jest kodem cyklicznym - ostatni i pierwszy wyraz
tego kodu spełniaj

ą

zasad

ę

ró

ż

nicy tylko na jednym

bicie
Ma wiele zastosowa

ń

w technice cyfrowej,

automatyce, robotyce

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

2

3

4

5

6

7

Konstruowanie kodu Graya

Dopisa

ć

te same słowa kodowe, ale w

odwrotnej kolejno

ś

ci (odbicie lustrzane)

Do pocz

ą

tkowych wyrazów dopisa

ć

bit o

warto

ś

ci zero, natomiast do odbitych

lustrzanie – bit o warto

ś

ci 1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

Konwersja liczb NKB









kod Graya

Liczb

ę

w postaci binarnej przesun

ąć

o jeden bit w

prawo, młodszy bit odrzucamy, na pocz

ą

tku

zapisujemy bit o warto

ś

ci 0

Wykona

ć

operacj

ę

XOR na poszczególnych bitach

liczby binarnej NKB oraz liczby otrzymanej po
przesuni

ę

ciu

20

(10)

= 10100

(NKB)

a

b

0

0

0

1

1

0

1

1

0

XOR

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

XOR

(GRAY)

(

)

(NKB)

Konwersja kod Graya









NKB

Przepisa

ć

najstarszy bit z kodu

Graya do najstarszego bitu
słowa dwójkowego

Dla obliczenia ka

ż

dej kolejnej

cyfry wykona

ć

operacj

ę

XOR

na odpowiednim bicie kodu
Graya oraz poprzednio
wyznaczonej cyfrze kodu NKB

1011

(GRAY)

= 1101

(NKB)