FUNKCJE ZESPOLONE CWICZENIA 3 – Ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych

ZAD.1
Korzystając z definicji, sprawdzić czy dane ciągi są ograniczone:

1.

n

i

z

n

+

=

1

2.

n

n

n

i

i

z

)

3

(

)

1

(

+

+

−

=

3.

i

i

z

n

n

n

+

−

+

=

)

1

(

)

3

(

4.

in

n

e

z

3

1

)

(

+

=

5.

n

i

z

n

3

1

+

=

, zrobić odp. Rys. dla tego

przykładu

ZAD.2

Pokazać, że

1

lim

=

+

∞

→

i

n

n

n

( 2 sposobami, z definicji i z twierdzenia)

ZAD.3
Zbadać zbieżność podanych ciągów o wyrazach:

a)

1

3

3

1

1

2

+

−

+

+

+

=

n

n

n

i

n

n

z

,

b)

,

n

e

z

in

n

=

c)

n

n

i

z

)

(

−

=

d)

1

)

1

(

+

−

=

i

z

n

n

e)

3

2

2

1













−













+

=

n

i

n

i

z

n

f)

2

n

i

n

z

n

+

=

ZAD.4
Wyznaczyć Re i Im ciągów o wyrazach, obliczyć granicę tych ciągów:

1.

1

2

2

2

−

+

=

in

ni

n

z

n

2.

i

n

ni

n

z

n

4

2

3

+

+

+

=

3.

i

n

ni

z

n

3

5

2

1

+

−

=

4.

ZAD.5
Obliczyć ( wynik przedstawić w postaci

bi

a

+

):

1.





























+













+

+

+

∞

→

2

2

2

2

cos

3

3

5

lim

i

n

i

n

i

n

n

n

π

2.

(

)













+

+

+

+

−

∞

→

3

3

3

10

2

4

2

8

lim

2

n

in

i

n

i

e

n

n

n

3.

(

)













+

+

+

+

−

∞

→

i

n

n

i

n

i

e

n

n

n

3

3

13

6

2

3

5

2

lim

2

4.

























+

−

+

−

∞

→

)

1

(

1

cos

2

8

lim

n

n

n

e

i

n

i

ZAD.6
Korzystając z ciągu geometrycznego obliczyć sumy :

1.

Z

k

k

x

nx

x

x

S

n

n

∈

+

≠

−

+

+

−

=

−

,

2

,

sin

)

1

(

...

2

sin

sin

1

π

π

2.

Z

k

k

x

nx

x

x

S

n

∈

≠

+

+

+

+

=

,

2

,

cos

...

2

cos

cos

2

/

1

π