3. FUNKCJE ZESPOLONE.

1. Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną

funkcji zespolonej

a)

f z

iz

i

( )

.

b)

2

)

(

z

z

f

c) f z

ze

z

( )

.

d)

f z

z

( )

1

e) f z

z

( )

2

f)

f z

z

( )

arg

g)

1

3

2

)

(

2

z

z

z

f

h)

f z

z

( )

1

1

2

i) f z

z

z

( )

1

2. Sprawdzić, czy następujące funkcje są

holomorficzne.

a)

x

y

iarctg

y

x

z

f

)

ln(

)

(

2

2

2

1

b)

f z

i

x

x

y

y

x

y

( )

2

2

2

2

c)

f z

i

x

x

y

y

x

y

( )

2

2

2

2

d)

i

y

x

xy

y

y

x

x

z

f

)

(

4

)

6

(

)

(

2

2

4

2

2

4

e)

f z

e

xy i

xy

x

y

( )

(cos

sin

)

2

2

2

2

3.

Znaleźć część urojoną pewnej funkcji holomorfi-
cznej

),

( z

f

jeśli znana jest jej część rzeczywista

.

a)

y

e

x

y

x

u

x

cos

)

,

(

b)

)

ln(

)

,

(

2

2

y

x

y

x

u

oraz

i

i

f

3

2

ln

)

1

(

c)

xy

y

x

y

x

u

2

2

)

,

(

d)

3

2

2

3

2

3

6

)

,

(

y

xy

y

x

x

y

x

u

4.

Znaleźć część rzeczywistą pewnej funkcji holo-
morficznej

),

( z

f

jeśli znana jest jej część urojona.

a)

2

2

)

,

(

y

x

y

x

v

b)

v x y

y

x

y

( , )

2

2

c)

y

xy

y

x

v

2

4

)

,

(

oraz

i

i

f

12

5

)

2

1

(

5. Obliczyć

a)

)

1

(

Ln

b)

)

3

(

8

i

Ln

c)

)

5

5

(

i

Ln

d)

)

cos(

3

i

e)

sin(

)

1 i

f)

cos(

)

5 i

g)

i

2

h)

i

i)

1

(

6. Wykazać, że

a)

1

cos

sin

2

2

z

z

b)

z

z

cos

cos

c)

)

cos(

sin

2

z

z

Odpowiedzi.
1.

a)

u

y v

x

,

1

b)

2

2

y

x

u

,

xy

v

2

c)

)

sin

cos

(

),

sin

cos

(

y

x

y

y

e

v

y

y

y

x

e

u

x

x

d)

2

2

2

2

y

x

y

y

x

x

, v

u

e)

2

2

y

x

u

,

xy

v

2

f)

u

arctg

v

y
x

,

0

g)

y

xy

v

x

y

x

u

3

4

,

1

3

2

2

2

2

h)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

)

1

(

2

4

)

1

(

1

,

y

x

y

x

xy

y

x

y

x

y

x

v

u

i)

2

2

2

2

,

1

y

x

y

v

y

x

x

u

2.

a,c,d,e tak

b) nie

3.

a)

C

y

e

y

y

x

v

x

sin

)

,

(

b)

C

arctg

y

x

v

x

y

2

)

,

(

)

2

(

)

ln(

)

(

2

2

C

arctg

i

y

x

z

f

x

y

,

3

2

1

C

c)

C

x

y

xy

y

x

v

2

2

2

1

2

1

2

)

,

(

d)

C

y

xy

y

x

x

y

x

v

3

2

2

3

6

3

2

)

,

(

4.

a)

C

xy

y

x

u

2

)

,

(

b)

C

y

x

u

y

x

x

2

2

)

,

(

c)

C

y

x

x

y

x

u

2

2

2

2

2

)

,

(

)

2

4

(

2

2

2

)

(

2

2

y

xy

i

C

y

x

x

z

f

,

9

C

5.

a)

i

k

)

1

2

(

b)

)

2

(

16

ln

6

11

k

i

c)

ln

(

)

5 2

2

1

4

i

k

d)

1

1

2

3

2

1

sh

i

ch

e)

ch

ish

1

1

1

1

sin

cos

f)

ch

ish

1

5

1

5

cos

sin

g) h) wskazówka

A

e

A

ln

g)

e

i

k

2

2

2

(cosln

sinln )

h)

e

i

k

4

2

2

2

(cosln

sinln

)