1 Funkcje zespolone

Parametryczne postacie zespolone:

a) prostej przechodzącej przez punkt o kierunku : dla b) odcinka o końcach i : dla

c) okręgu o środku w punkcie i promieniu : dla d) stycznej do krzywej dla w punkcie: dla . Pochodna i całka funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej a) gdy funkcjei mają pochodną w przedziale, to dla a) gdy funkcje isą całkowalne w przedziale ,to ; b)gdyjest funkcją pierwotną funkcji ciągłejdla ,to Funkcje zespolone zmiennej zespolonej: a) funkcja liniowa dla ; b) inwersja dla ; b) wielomian m-tego stopnia dla ; c) funkcja wymierna gdziei wielomiany stopnia m i n; d) funkcja wykładniczadla e) funkcje trygonometryczne:; ; f) funkcje hiperboliczne; ;

g)logarytm główny: dla i ; h ) pierwiastek stopnia główny dla .

Pochodna funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

a) Jeśli funkcja zespolona ma pochodną w punkcie , to część rzeczywista i urojona funkcji ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w punkcie spełniające warunki Cauchyego-Riemanna b) Jeśli pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji isą ciągłe w punkcie i spełniają w nim warunki Cauchyego-Riemanna, to funkcja ma w punkcie pochodną oraz . Całka funkcji zespolonej zmiennej zespolonej po łuku regularnym a)Gdy funkcjajest ciągła na łuku regularnym zorientowanym o opisie parametrycznym dlazgodnym z orientacją, to b) Gdy funkcja zespolona ma funkcję pierwotną w obszarze ,to całka po dowolnym łuku wyraża się wzorem c) Jeśli funkcja jest holomorficzna w obszarze jednospójnym i jest dowolną krzywą regularną różnowartościową zamkniętą , to. d) Jeśli funkcja jest holomorficzna w obszarze jednospójnym i jest dowolną krzywą regularną różnowartościową zamkniętą , to zachodzą wzory całkowe Cauchyego oraz dla Punkty osobliwe funkcji zespolonej

a) punkt jest pozornie osobliwy funkcji, gdy granica jest właściwa b) punkt jest biegunem funkcji, gdy granica ; przy czym jest to biegun k-krotny gdy i c) punkt jest istotnie osobliwy funkcji, gdy granica nie istnieje. d) Residuum funkcji w biegunie jednokrotnym e)Residuum funkcji w biegunie k-krotnym f) Jeśli funkcja jest holomorficzna w obszarze jednospójnym z wyjątkiem co najwyżej punktów , a jest dowolną krzywą regularną różnowartościową zamkniętą zorientowaną dodatnio ioraz zawierającą wskazane punkty, to zachodzi wzór 1. Na płaszczyźnie zespolonej C naszkicować krzywą : a) dla b) dla c) dla d)

2.Znależć parametryczną postać zespoloną:

a) odcinka łączącego punkty i ; b) okręgu o środku i promieniu ; c) paraboli zawartej między punktami i ; d) stycznej do krzywej dla ; e) stycznej do krzywej dla . 3) Obliczyć całki funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej

a) b) c)

4. Obliczyć a) b) c) d) 5. Wyznaczyć część rzeczywista i część urojoną funkcji zespolonej a) ; b) ; c) d) 6. Wyznaczyć obszary holomorficzności funkcji zespolonej: a) ; b) ; c) d) e) ; f) ; g) ; 7. Znaleźć funkcję holomorficzną wiedząc, że a); b); c); d)8.Obliczyć podane całki po zadanych łukach regularnych: a) gdzie odcinek o początku i końcu ; b) gdzie półokrąg o początku i końcu ; c) gdzie łuk paraboli o początku i końcu d) gdzie dowolny łuk o początku i końcu ; e) gdzie dowolny łuk o początku i końcu ; f) gdzie dowolny łuk o początku i końcu ;

9. Wyznaczyć punkty osobliwe funkcji zespolonej oraz określić ich rodzaj. W przypadku biegunów określić ich krotność:

a) ; b) ; c) ; d).

10.Stosując wzór całkowy Cauchyego lub obliczyć całkę

a) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza. b) gdzie trójkąt o wierzchołkach zorientowany dodatnio. c) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza. d) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza

11. Wyznaczyć residua funkcji w punktach osobliwych:

a) ; b) ; c) ; d).

12.Korzystając twierdzenia całkowego o residuach obliczyć całki: a) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza. b) gdzie okrąg zorientowany dodatnio c) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza. d) gdzie okrąg zorientowany dodatnio względem wnętrza

13.Zastosować twierdzenie całkowe o residuach do obliczenia całki niewłaściwej a) ; b) ; c); d)