4. Lokalny i Globalny Dyfeomorfizm

Definicja Dyfeomorfizmu

wzajemnie jednoznaczna klasy

z

klasy

nazywa się dyfeomorfizmem.

Lokalny Dyfeomorfizm

Jeśli funkcja odwrotna istnieje lokalnie to f nazywamy lokalnym dyfeomorfizmem. Tw. o funkcji
odwrotnej podaje warunek bycia lokalnym dyfeomorfizmem. Jeśli jesteśmy w stanie udowodnid
istnienie funkcji odwrotnej w otoczeniu lokalnym to to f nazywamy lokalnym dyfeomorfizmem.

Globalny Dyfeomorfizm

Nie są znane warunki konieczne i wystarczające na dyfeomorfizm globalny. Jeśli jesteśmy w stanie
wyznaczyd funkcję odwrotną to taki dyfeomorfizm istnieje.

Twierdzenie Hadamarda-Levy’ego

Niech

będzie lokalnym dyfeomorfizmem. Jeżeli

dla pewnego M>0,

to f jest dyfeomorfizmem globalnym (

Przyklad

Z faktu, że detDf(0) nie równe 0 wynika, że Df(0) jest rzędu n, Korzystając z tw. o f. Odwrotnej wiemy,
że w pewnym otoczeniu punktu zerowego istnieje funkcja odwrotna do f(x). Skoro funkcja odwrotna
istnieje to f(x) nazywamy lokalnym dyfeomorfizmem.

Korzystamy z twierdzenie Hadamarda –Levy’ego aby udowodnid sprawdzid czy f(x) jest globalnym
dyfeomorfizmem.

Norma Frobeniusa:

M = 2, więc mamy wystarczający warunek na istnienie globalnego dyfeomorfizmu.