4. Lokalny i Globalny Dyfeomorfizm

Definicja Dyfeomorfizmu

f : Rⁿ → Rⁿ wzajemnie jednoznaczna klasy C^k z f⁻¹ klasy C^k nazywa się dyfeomorfizmem.

Lokalny Dyfeomorfizm

Jeśli funkcja odwrotna istnieje lokalnie to f nazywamy lokalnym dyfeomorfizmem. Tw. o funkcji odwrotnej podaje warunek bycia lokalnym dyfeomorfizmem. Jeśli jesteśmy w stanie udowodnić istnienie funkcji odwrotnej w otoczeniu lokalnym to to f nazywamy lokalnym dyfeomorfizmem.

Globalny Dyfeomorfizm

Nie są znane warunki konieczne i wystarczające na dyfeomorfizm globalny. Jeśli jesteśmy w stanie wyznaczyć funkcję odwrotną to taki dyfeomorfizm istnieje.

Twierdzenie Hadamarda-Levy’ego

Niech f : Rⁿ → Rⁿ będzie lokalnym dyfeomorfizmem. Jeżeli ∥(D(f(x))⁻¹∥<Mdla pewnego M>0, to f jest dyfeomorfizmem globalnym (∥∥ → jakas norma operatorowa

Przyklad

f : R³ → R³,  f(x) = (x₃,x₂,x₁−sinx₂),   x₀ = 0

$$\text{Df}\left( x \right) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & - cosx_{2} & 0 \\ \end{bmatrix}\ \text{Df}\left( x_{0} \right) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\ \text{\ detDf}\left( x_{0} \right) = - 1\ \neq 0$$

Z faktu, że detDf(0) nie równe 0 wynika, że Df(0) jest rzędu n, Korzystając z tw. o f. Odwrotnej wiemy, że w pewnym otoczeniu punktu zerowego istnieje funkcja odwrotna do f(x). Skoro funkcja odwrotna istnieje to f(x) nazywamy lokalnym dyfeomorfizmem.

Korzystamy z twierdzenie Hadamarda –Levy’ego aby udowodnić sprawdzić czy f(x) jest globalnym dyfeomorfizmem.

$$(D\left( f\left( x \right) \right)^{- 1} = \begin{bmatrix} 0 & \cos x_{2} & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Norma Frobeniusa: ∥(Df(x))⁻¹∥_F² = x₂ + 3 ≤ 4; ∥Df(x)⁻¹∥_F ≤ 2

M = 2, więc mamy wystarczający warunek na istnienie globalnego dyfeomorfizmu.