1

MATEMATYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ

GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH

Wyniki badań i pomiarów w geologii inżynierskiej charakteryzują się

rozrzutem wartości:

Zmienność badanego ośrodka

Dokładność metod badawczych

- Sedymentologia

- Sposób opróbowania

- Tektonika

- Sposób transportu i

przechowywania próbek

- Zjawiska geodynamiczne

- Przygotowanie próbek do badań

- Niedokładność metod

badawczych

- Błędy i zaokrąglenia wyników

Celem matematycznego opracowania wyników badań geologiczno-

inżynierskich jest określenie bezpiecznych wartości ocenianych parametrów

oraz określenie ich przedziałów zmienności.

Prowadzona jest ocena parametrów (właściwości gruntów – np.: c,

φ

, I

D

)

w populacji (ośrodku gruntowym) na podstawie próby statystycznej (wyników

badań na pobranych próbkach gruntów).

Próba statystyczna – wyniki oznaczeń danej cechy gruntu określone na

wszystkich próbkach z danej warstwy geotechnicznej.

Liczebność próby statystycznej:

n <30 – próba mała

n =>30 – próba duża

2

CHARAKTERYSTYKA PRÓBY JEDNEJ ZMIENNEJ

W każdym z 10 otworów badawczych odwierconych na obszarze badań pobrano

z tej samej warstwy geotechnicznej po 3 próbki gruntów do oceny wilgotności

naturalnej Wn%. Uzyskano 30 różnych wartości Wn% - jaka wartość Wn%

najlepiej charakteryzuje stan faktyczny? Jaka wartość będzie bezpieczną z

punktu widzenia przyszłego obiektu inżynierskiego?

WARTOŚĆ ŚREDNIA wartość mianowana

∑

=

⋅

=

n

i

i

x

n

X

1

1

HISTOGRAM I KRZYWA ROZKŁADU

1. Określenie minimalnej i maksymalnej wartości wyników oznaczeń, podział

tego zakresu na równe klasy

2. Zliczenie ilości obserwacji mieszczących się w poszczególnych klasach

n

i

– liczebność obserwacji w klasach

k

i

– częstość obserwacji w klasach

%

100

⋅

=

∑

i

i

i

n

n

k

Wartość cechy

3

3. Wykonanie rysunku – histogram i krzywa rozkładu

4. Wstępna ocena rodzaju rozkładu w próbie statystycznej

symetryczny

modalny

asymetryczny

amodalny

wielomodalny

KRZYWA KUMULACYJNA

Σ

n

i

- liczebność skumulowana

Σ

k

i

- częstość skumulowana

Σ

n

i

Σ

k

i

klasy

n

i

k

i

4

MEDIANA Me wartość mianowana

Jeśli wyniki oznaczeń zostaną uporządkowane rosnąco lub malejąco, to wartość

centralna tak uporządkowanego ciągu jest medianą

MODA M wartość mianowana

Wartość badanej cechy, która pojawia się najczęściej lub klasa histogramu, w

której występuje najwięcej obserwacji jest wartością modalną

WARIANCJA S

2

wartość mianowana, dodatnia

Ś

rednie kwadratowe odchylenie badanej cechy od wartości średniej

(

)

∑

=

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

1

próba duża

(

)

∑

=

−

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

1

1

)

próba mała – wariancja skorygowana

ODCHYLENIE STANDARDOWE S wartość mianowana, dodatnia

Ś

rednie odchylenie wartości badanej cechy od wartości średniej

2

s

s

)

)

=

próba mała

2

s

s

=

próba duża

Wartość cechy

5

WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI

υυυυ

wyrażony w %

Miara względnego rozproszenia badanej cechy w próbie statystycznej

%

100

⋅

=

′

x

s)

ν

próba mała

%

100

⋅

=

x

s

ν

próba duża

Wyniki oznaczeń

Wn%

ś

rednia

wariancja

Odchylenie

standardowe

Współczynnik

zmienności

Próba 1

1%; 2%; 3%; ....

2%

1,96

1,4

70%

Próba 2

16%; 18%; 19%;..

17%

1,96

1,4

8%

BŁĄD STANDARDOWY

σ

x

wartość mianowana, dodatnia

σ

x

pozwala na ocenę błędu jaki może być popełniony gdy chcemy oszacować

ś

rednią wartość badanej cechy w ośrodku gruntowym za pomocą średniej z

pobranych próbek.

σ

x

jest odchyleniem standardowym wartości średnich z szeregu prób

statystycznych pobranych z populacji.

n

x

σ

σ

=

n- liczebność próby statystycznej,

σ

- odchylenie standardowe (średnie) w całej populacji

Gdy

σ

nie jest znane, można je oszacować za pomocą wartości odchylenia

standardowego

n

s

x

≅

σ

lub

n

s

x

ˆ

≅

σ

Błąd standardowy pozwala oszacować przedział w jakim zawarta będzie

wartość badanej cechy w populacji

σ

σ

x

x

x

m

x

+

≤

≤

−

m – wartość średnia w populacji

6

USTALANIE WARTOŚCI OBLICZENIOWYCH PARAMETRÓW

GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH

Wartość obliczeniowa parametru (cechy) geologiczno-inżynierskiego jest to

taka wartość, która uwzględnia możliwe odchylenia od wartości średniej

parametru w populacji

- Jako wartość obliczeniową parametru geologiczno-inżynierskiego

przyjmuje się najbardziej niekorzystną jego wartość, obliczoną jedną z

metod pozwalających określić przedział zmienności parametru

- Jako najbardziej niekorzystną wartość należy przyjmować tę granicę

przedziału zmienności parametru, która z punktu widzenia celu badań

daje gorszą wartość parametru.

- Jako przedział zmienności parametru należy rozumieć przedział, w

którym rzeczywista wartość parametru powinna znaleźć się przy

założonym poziomie ufności

SPRAWOZDANIE

OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH

Wykonano 3 otwory badawcze, w których pobrano próbki gruntów. Po

zinterpretowaniu profilu warstw wydzielone zostały warstwy geotechniczne.

Należy przeprowadzić statystyczną analizę wyników oznaczeń wykonanych na

próbkach z jednej warstwy geotechnicznej.

Opracowanie wyników :

1. Na podstawie wartości oznaczeń zestawić tabelę danych (1).

Lp

Wartość parametru (x

i

)

x

x

i

−

(

x

x

i

−

)

2

1

2

3

4

1.

...

20.

n=20

ΣΣΣΣ====

-

ΣΣΣΣ====

7

2. Dla wyników oznaczeń przeprowadzić:

- podział na klasy (optymalnie 6 lub 7 klas), określić liczbę obserwacji

w klasach, częstość obserwacji w klasach oraz częstość skumulowaną

- wyniki zestawić w tabeli (2),

- wykreślić histogram, krzywą rozkładu i skumulowaną krzywą rozkładu,

- obliczyć i zestawić wartości: średniej, mody, mediany, odchylenia

standardowego, wariancji, współczynnika zmienności, błędu

standardowego.

- określić granice przedziału zmienności.

- określić wartość obliczeniową parametru.

Średnia

n

x

x

i

∑

=

Moda

Najczęściej spotykana wartość cechy

Mediana

Wartość cechy dla centralnego punktu

uporządkowanego ciągu obserwacji

Wariancja

(

)

∑

=

−

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

1

1

)

Odchylenie standardowe

2

s

s

)

)

=

Współczynnik zmienności

%

100

∗

=

′

x

s)

ν

Błąd standardowy

n

s

x

)

≅

δ

Granice przedziału zmienności

x

x

x

m

x

δ

δ

+

≤

≤

−

Nr klasy

Granice klas

od do

Liczba

obserwacji

Częstość

obserwacji

[%]

Częstość

skumulowana

[%]

1

-

2

-

3

-

4

-

5

-

6

-

7

-